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课后作业(六十五)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．C　[对于AB，当沿海地区气温高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误．
对于CD，因为沿海地区气温与海水表层温度相关，且样本相关系数为正，故随着沿海地区气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
故C正确，D错误．故选C．]
2．B　[零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关，
因为χ2＝2.954>2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个推断犯错误的概率不超过0.1．故选B．]
3．A　[因为经验回归直线过样本点中心，即，将其代入＝－3x＋，可得8＝－3×10＋，
解得＝38，当x＝9时，＝－3×9＋38＝11，所以残差为10－11＝－1．故选A．]
4．C　[因为＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设＝y＋，＞0，则＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．故选C．]
5．C　[令＝ln ，由＝可得＝ln ＝x－0.6，如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y e e3 e4 e6 e7
u 1 3 4 6 7
由表格中的数据可得＝＝4.2，
则有3－0.6＝4.2，解得＝1.6，故＝e1.6x-0.6，
当x＝6时，＝e1.6×6-0.6＝e9．故选C．]
6．B　[分析表格数据，分别分析毕业生的选择意愿与性别和专业关联关系，列出列联表：
计算可得：它们观测值分别为：≈9.091，因为≈9.091，明显大于7.879，小于10.828，所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以A错误；因为，故B正确；分析表格知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均错误．故选B．]
7．BCD　[A：经验回归直线＝x＋不一定经过，…，中的任何一个点，
但一定会经过样本点的中心，故A错误；
B：直线x＋y＋2＝0的斜率k＝－1，且所有样本点都落在直线x＋y＋2＝0上，
所以这组样本数据完全负相关，且样本相关系数达到最小值－1，即样本相关系数r＝－1，故B正确；
C：若散点图的散点均落在一条斜率非零的直线上，
所以残差平方和为0，则决定系数R2＝1，C正确；
D：样本点的残差为y2－2＝2 022－2 025＝－3，故D正确．故选BCD．]
8．ACD　[由已知得4a＋3b＝400，又b＝12a，所以a＝10，b＝120．
任意一人不患疾病A的概率为＝0.9，所以A正确；
任意一人不过量饮酒的概率为＝，所以B错误；
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为＝，所以C正确；
对于D，2×2列联表如下：
单位：人
饮酒 患疾病情况 合计
患疾病A 不患疾病A
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
零假设为H0：过量饮酒与患疾病A无关．
则χ2＝＝≈26.67，
由于26.67>10.828＝x0.001，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为过量饮酒与患疾病A有关，此推断犯错误的概率不超过0.001，所以D正确．故选ACD．]
9．15　[根据等高堆积条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，
所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，
按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为×23＝15．]
10．－0.3　0.98　[因为f＝cWk，所以两边取对数可得ln f＝ln c＋k ln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，
依题意经验回归直线＝x＋7.4必过样本点中心，
所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3，
又R2＝1－≈1－＝0.98．]
11．解：(1)根据题意可得列联表：
单位：件　　
车间 检验结果 合计
优级品 非优级品
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
零假设为H0：不能推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．根据2×2列联表，可得χ2＝＝＝4.687 5，
因为x0.05<4.687 5依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能以此推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；依据小概率值α＝0.01的独立性检验，不能以此推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
则p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.57，
可知>p＋1.65，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．
12．解：(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关．
因为＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以
＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
所以
＝＝≈≈0.98，
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
②由①知
所以y关于x的经验回归方程为＝2.72x，
所以当t＝8时，
则x＝8－3＝5，＝＋＝2.72×5＋12.16＝25.76，
所以预测2025年移动物联网连接数为25.76亿户．
[B组　在综合中考查关键能力]
13．解：(1)设模型①和②的样本相关系数分别为r1，r2．
由题意可得：r1＝＝≈≈0.97，
r2＝＝＝＝1．
所以<，由样本相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好．
(2)因为＝＝＝5，
得＝＝8.8－0.96×5＝4，
所以＝5v＋4，即经验回归方程为＝5ln x＋4．
当x＝6时，＝5ln 6＋4≈13，
因此当年广告费为6百万元时，产品的年销售量约是13百万辆．
(3)年净利润为200×－200x－ξ，令g＝200×－200x－ξ，
所以g′＝－200．
可得g在上单调递增，在上单调递减．
所以g＝g＝200×－ξ≈1 400－ξ，
由题意得：1 400－ξ>1 000，即ξ<400，
P＝P＝0.3，
即该公司年净利润大于1 000(百万元)的概率为0.3．
5 / 6课后作业(六十五)　成对数据的统计分析
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．(2024·上海高考)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是(　　)
A．沿海地区气温高，海水表层温度就高
B．沿海地区气温高，海水表层温度就低
C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2．(2025·江苏盐城模拟)根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(　　)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量Ⅰ与Ⅱ相关
B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
3．(2025·安徽蚌埠模拟)为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价x(单位：元)及其一天的销售量y(单位：件)进行调查，得到五对数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，经过分析、计算，得＝10，＝8，y关于x的经验回归方程为＝－3x＋，则相应于点的残差为(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．3
4．已知变量x和y满足关系＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
5．(2024·云南曲靖一模)已知变量y关于x的经验回归方程为＝，若对＝两边取自然对数，可以发现ln 与x线性相关．现有一组数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y e e3 e4 e6 e7
则当x＝6时，预测y的值为(　　)
A．9 B．8
C．e9 D．e8
6．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲、乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
公司 文史男 文史女 理工男 理工女
甲 10 10 20 10
乙 15 20 10 5
则下列说法正确的是(　　)
A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿更容易受到专业的影响
C．理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D．女性毕业生更倾向于选择甲公司
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
二、多项选择题
7．(2025·浙江宁波期中)已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，…，，由此得到的经验回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A．经验回归直线＝x＋至少经过点，…，中的一个点
B．若点，…，都落在直线x＋y＋2＝0上，则变量x，y的样本相关系数r＝－1
C．若散点图的散点均落在一条斜率非零的直线上，则决定系数R2＝1
D．若y2＝2 022，2＝2 025，则相应于样本点的残差为－3
8．(2025·河南洛阳模拟)某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b＝12a，则(　　)
单位：人
饮酒 患疾病情况 合计
患疾病A 不患疾病A
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：
χ2＝
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A．任意一人不患疾病A的概率为0.9
B．任意一人不过量饮酒的概率为
C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
三、填空题
9．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为________．
10．(2024·广东广州一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f (单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214．由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i(i＝1，2，…，8)，若残差平方和≈0.28，则决定系数
R2≈________．
四、解答题
11．(2024·全国甲卷改编)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
车间 优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
单位：件
车间 检验结果 合计
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
合计
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否以此推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否以此推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：χ2＝
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
12．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．如图所示是2018－2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018－2022对应的t分别为1～5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计；
②令变量x＝t－，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年移动物联网连接数．
附：样本相关系数
13．(2024·浙江台州二模)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)关系如图所示．令vi＝ln xi，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①＝x＋和②＝ln x＋两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数．
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型，由表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费)．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N，且满足P＝0.3．在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率．(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量)
附：①样本相关系数r＝
经验回归直线＝＋x中公式分别为＝，＝－；
②参考数据：＝8.06，≈20.1，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8．
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