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课后作业(六十六)　概率、统计的综合问题
1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50 kW·h到350 kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200 kW·h时，按每千瓦时0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200 kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位： kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式；
(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？
2．(2025·浙江温州期末)现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，……，依次进行到从n－1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当n＝2时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当n＝3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为Xn，求Xn的期望E．
3．近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对2020～2024年毕业季毕业生购买飞机票的数量y(单位：万张)进行了统计，得到如下相关数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码t 1 2 3 4 5
y/万张 30 36 51 60 78
(1)分析上述统计表可知y与t有较强的线性相关关系，求y关于t的经验回归方程．
(2)通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台(只出售飞机票和高铁票)购票的400名毕业生(每人只购一张票)作为样本，其中女性购买高铁票的有N名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名．
①当N＝190时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合(1)的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数(四舍五入保留整数)；
②用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为p，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为f，当f取得最大值时，求N的值．
参考公式：经验回归直线＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，＝－．
4．为了拓宽学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响．
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．
①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式；
②若E(Xi)>100，求i的最小值．
1 / 3课后作业(六十六)　
[A组　在基础中考查学科功底]
1．解：(1)根据题意，得
当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t；
当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100．
综上，宿舍的月用电费用为
y＝
(2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)．
2．解：(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P＝＝．
(2)由题可知ξ可取1，2，3，
P＝＝，
P＝＝，
P＝1－P－P＝，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
(3)记an－1为第n号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a1＝，bn－1为第n号盒子有两个红球和两个白球的概率，则b1＝，b2＝，
则第n号盒子有一个红球和三个白球的概率为1－an－1－bn－1，且bn－1＝bn－2＋an－2＋，
化简得bn－1＝bn－2＋(n≥3)，
得bn－1－＝(n≥3)，又b1－＝，
而b2－＝，则数列为等比数列，首项为b1－＝，公比为，所以bn＝，
又由an－1＝bn－2＋an－2(n≥3)，所以an＝an－1＋bn－1(n≥2)，即an＝an－1＋(n≥2)，an－＝ (n≥2)，而a1－＝0，所以an＝．
因此E＝3×an－1＋2×bn－1＋1×＝2an－1＋bn－1＋1＝2．
[B组　在综合中考查关键能力]
3．解：(1)由题意得＝＝51，
＝＝12，
＝＝51－12×3＝15，
所以y关于t的经验回归方程为＝12t＋15．
(2)①由题意知，400名毕业生中男性有400－190－90＝120(名)，
故样本中购买飞机票的男性有120－40＝80(名)，
样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例为＝，
所以估计一名购买飞机票的毕业生为男性的概率为．
因为2026年对应的年份代码t＝7，所以＝12×7＋15＝99，
因此估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数为×990 000≈465 882．
②由题意知，p＝，0≤N≤270，N∈N，则当N＝0时，p取得最大值1，当N＝270时，p取得最小值，即p∈，
且f＝p3＝10p3．
设函数g＝10x3，x∈，
则g′(x)＝30x2＋20x3＝10x2．
当x∈时，g′>0，g单调递增，当x∈时，g′<0，g单调递减．故当x＝时，g取得最大值．
由上可知，当p＝时，f取得最大值，此时＝，得N＝60．故N的值为60．
4．解：(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅答对一次，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率P(A)＝＝．
(2)①甲第1次答题得20分，10分的概率分别为，则E(X1)＝20×＋10×＝，
甲第2次答题得40分，20分，10分的概率分别为，
则E(X2)＝40×＋20×＋10×＝，显然E(X2)＝2＋10×＝E(X1)＋，
当i≥2，i∈N*时，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，
因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×＋10×＝E(Xi－1)＋，
所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是E(Xi)＝E(Xi－1)＋，i≥2，i∈N*，且E(X1)＝．
②由①知，E(X1)＝，当i≥2，i∈N*时，E(Xi)＋5＝[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝，
因此数列{E(Xi)＋5}是以为首项，为公比的等比数列，E(Xi)＋5＝＝15×，
于是E(Xi)＝15×－5，由15×－5>100，得>7，显然数列是递增数列，
而＝<7，＝>7，则有正整数imin＝5，
所以i的最小值是5．
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