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培优训练(一)　函数性质的综合应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共52分
一、单项选择题
1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，当0A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
2．(2025广东博罗县模拟)若函数f (x)的定义域为R，其图象关于点(2，2)对称，且f (x＋1)是偶函数，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 050 D．－4 050
3．(2025浙江宁波模拟)已知函数f (x)的定义域为R，且f 是偶函数，f (x－1)是奇函数，则(　　)
A．f (0)＝0 B．f ＝0
C．f (1)＝0 D．f (3)＝0
4．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　)
A．(－3，1)
B．(－1，3)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0，且f (0)＝2．若i∈N*，则＝(　　)
A．506 B．1 012
C．2 025 D．4 048
6．(2024山东青岛一模) x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，f (－1)＝0，则f (2 024)的值为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
二、多项选择题
7．已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1，2)，x1≠x2，都有>0，则(　　)
A．f (x)是奇函数
B．f (2 025)＝0
C．f (x)的图象关于(1，0)对称
D．f (π)>f (e)
8．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f (b)－f (－a)B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
三、填空题
9．(2024福建龙岩一模)定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)f (1)的解集为________．
10．设f (x)是定义在R上的函数，且f (x＋2)＝，f (3)＝3，则f (5)f (2 023)＝________．
2/2培优训练(一)
1．C　[由题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，
可得f (x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x)＝f (x＋4)，
所以函数f (x)是周期为4的周期函数．
又由当0则f ＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－．]
2．C　[由f (x＋1)是偶函数知，f (x)的图象关于直线x＝1对称，f (2－x)＝f (x)，①
又f (x)的图象关于(2，2)中心对称，所以f (4－x)＝－f (x)＋4，②
则f (2＋x)＝－f (2－x)＋4，③
由①②③可得，f (4－x)＝f (2＋x)＝f (－x)，故函数f (x)的周期为4，
则f (2)＝2，f (1)＋f (3)＝4，f (4)＝f (0)＝f (2)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，
则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝2＋506×8＝4 050．
故选C．]
3．D　[因为函数f 为偶函数，则f ＝f ，
令t＝x可得f (1－t)＝f (1＋t)，所以f (1＋x)＝f (1－x)，
因为函数f (x－1)为奇函数，则f (－x－1)＝－f (x－1)，
所以，函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，关于点(－1，0)对称，
又因为函数f (x)的定义域为R，则f (－1)＝0，则f (3)＝f (－1)＝0，
f (1)，f ，f (0)的值都不确定．故选D．]
4．B　[因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，即f (x1)－x1＜f (x2)－x2，
令g(x)＝f (x)－x，则g(x)在R上单调递增，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (－2x－2)＝－f (2x＋2)，
由f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3得
f (x2－1)－(x2－1)＜－f (－2x－2)－(2x＋2)
＝f (2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，
所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2，
即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，
所以－1＜x＜3，即f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1，3)．故选B．]
5．C　[∵f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0，且f (0)＝2，
∴f (1)＋f (1)＝2，f (0)＋f (2)＝2，∴f (1)＝1，f (2)＝0，
∴f (1)－f (3)＝0，∴f (3)＝f (1)＝1，
∴f (0)－f (4)＝0，∴f (4)＝f (0)＝2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋0＋1＋2＝4．
由f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0两式相减可得：
f (2－x)＋f (4－x)＝2，
∴f (x)＋f (x＋2)＝2，f (x＋2)＋f (x＋4)＝2，两式相减可得：
f (x＋4)－f (x)＝0，∴f (x＋4)＝f (x)，∴f (x)的周期为4，
∴＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×506＋f (1)＋f (2)＝4×506＋1＋0＝2 025．故选C．]
6．B　[根据题意， x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，
令x＝－1可得：f (－1)＋f (2)＝1－f (－1)f (2)，
由于f (－1)＝0，则f (2)＝1，
再令x＝2可得：f (2)＋f (5)＝1－f (2)f (5)，可得f (5)＝0，
依次类推可得：f (－1)＝f (5)＝…＝f (6k－1)＝0，
f (2)＝f (8)＝…＝f (6k＋2)＝1，k∈Z，
故f (2 024)＝f (6×337＋2)＝1．故选B．]
7．BC　[因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即函数f (x)的图象关于(1，0)对称，C正确；由函数f (x)的图象关于(1，0)对称可知f (－x)＝－f (2＋x)，
又因为f (x＋2)为偶函数，所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，即函数f (x)的图象关于x＝2对称，则f (－x)＝f (x＋4)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)，
又f (1)＝0，所以f (2 025)＝0，B正确；
f (－x)＝－f (2＋x)＝－f (2－x)＝f (2－(2－x))＝f (x)是偶函数，A错误；
对任意的x1，x2∈(1，2)，且x1≠x2，都有>0，不妨设x1>x2，
则f (x1)－f (x2)>0，由单调性的定义可得函数f (x)在(1，2)上单调递增，
又由函数f (x)的图象关于(1，0)对称，所以f (x)在(0，2)上单调递增，
又f (π)＝f (π－4)＝f (4－π)，f (e)＝f (e－4)＝f (4－e)，4－π<4－e，
所以f (4－π)故选BC．]
8．AC　[函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，
由a>b>0，得f (a)对于A，f (b)－f (－a)0时成立)，所以A正确；
对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f (a)＋f (－b)对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)9．[－1，0]　[因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称，
又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
则由f (2x＋3)f (1)得|2x＋3－2||1－2|，
即|2x＋1|1，解得－1x0，则该不等式的解集为[－1，0]．]
10．　[∵f (x＋2)＝，
∴f (x＋4)＝＝＝－，
∴f (x＋8)＝－＝f (x)，
∴f (x)的周期为8，
∵f (x＋2)＝，f (3)＝3，
∴f (5)＝＝＝－2，
∴f (7)＝＝＝－，
∴f (2 023)＝f (7)＝－．
∴f (5)f (2 023)＝－2×＝．]
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