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培优训练(三)
1．A　[由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax＞ln (bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax＞ln (bx)＋bx，
构造函数f (x)＝ln x＋x，
可得f (eax)＞f (bx)．故选A．]
2．B　[由F (x)＝，得
F ′(x)＝，
因为f (x)－f ′(x)>0，则F ′(x)<0，可知F (x)在R上单调递减，且F (1)＝＝，
由不等式F (x)<可得F (x)1，
所以不等式F (x)<的解集为(1，＋∞)．故选B．]
3．C　[构造函数f (x)＝ex－ln x，x∈(0，1)，
f ′(x)＝ex－，当x→0时，f ′(x)＜0，当x＝1时，f ′(x)＞0，
∴f ′(x)＝ex－在(0，1)上有零点，
∴f (x)在(0，1)上有一个极值点，
∴f (x)在(0，1)上不单调，无法判断f (x1)与f (x2)的大小，故A，B错误；
令g(x)＝，x∈(0，1)，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在(0，1)上单调递减，
又∵x2＞x1，∴g(x1)＞g(x2)，∴＞，故选C．]
4．C　[由指数函数的性质得
a＝e-0.02＞＝＞＝0.01＝b，
设f (x)＝ex－1－x，
则f ′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，
因此f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f (0.01)＞f (0)，即e0.01－1－0.01＞0，
即e0.01＞1.01，
∴b＝0.01＞ln 1.01＝c，∴a＞b＞c．故选C．]
5．C　[构造函数g(x)＝f (x)cos x，x∈，
则g′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以fcos
即f则g>g，
所以fcos >fcos ，
即f>f，故B不正确；
则g(0)所以f (0)cos 0即2f (0)则g(0)所以f (0)cos 0即f (0)故选C．]
6．B　[不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y，
令f (x)＝ex－x，x>0，
则f (ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f (x)>f (ln y)，
∵f ′(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
由f (x)>f (ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y．
综上所述，x>ln y．故选B．]
7．ACD　[构造函数g(x)＝，其中x≠0，
因为函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，
所以g(－x)＝＝＝g(x)，故函数g(x)为偶函数，
当x<0时，g′(x)＝<0，
所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝0，则g(1)＝＝0，则g(－1)＝g(1)＝0．
因为e>2，所以g(e)>g(2)，即>，2f (e)>ef (2)，故A正确；
不妨取m＝1，则f (1)＝0，mf (1)＝0，B错误；
因为偶函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(－π)＝g(π)>g(3)，
即>，整理可得3f (－π)＋πf (3)<0，C正确；
当x<0时，由f (x)>0可得g(x)＝<0＝g(－1)，解得－1当x>0时，由f (x)>0可得g(x)＝>0＝g(1)，解得x>1．
综上所述，不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，D正确．故选ACD．]
8．ACD　[设f (x)＝ex－x(x>0)，则f ′(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确；
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y设h(x)＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝＝，
当0当x>1时，h′(x)＝>0，函数h(x)单调递增，
则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确；
设g(x)＝x·ex(x>0)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上单调递增，
所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即>，D正确．故选ACD．]
9．e　[由ex≥(a－1)x＋ln (ax)，
可得ex＋x≥ax＋ln (ax)，
即ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)，
令f (x)＝ex＋x，则f (x)≥f (ln (ax))，
因为f (x)在R上单调递增，
所以x≥ln (ax)，即a≤(x＞0)，
令h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝e，即a≤e，
所以a的最大值是e．]
10．解：由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即e^(ln x^2 ) ＋ln x2≤eax＋ax．
令g(x)＝ex＋x，易知g(x)为增函数．
由e^(ln x^2 ) ＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)，
则ln x2≤ax，即．
设h(x)＝，则h′(x)＝，
当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，
所以h(x)max＝h(e)＝，
所以，则a的取值范围为．
1/1培优训练(三)　导数中的函数构造及指、对同构问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共60分
一、单项选择题
1．已知不等式ax＋eax＞ln (bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是(　　)
A．f (x)＝ln x＋x　　 B．f (x)＝x ln x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝
2．已知函数f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝，对任意实数x都有f (x)－f ′(x)>0，设F (x)＝，则不等式F (x)<的解集为(　　)
A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
3．若0＜x1＜x2＜1，则(　　)
＞ln x2－ln x1
＜ln x2－ln x1
4．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则(　　)
A．c＞a＞b　　 B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．b＞c＞a
5．已知函数y＝f (x)对任意的x∈满足f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f>f　　 B．fC．2f (0)f
6．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　)
A．x>y　　 B．x>ln y
C．x二、多项选择题
7．已知函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，若当x<0时，xf ′(x)－f (x)<0，且f (1)＝0，则(　　)
A．2f (e)>ef (2)
B．当m<2时，f (m)>mf (1)
C．3f (－π)＋πf (3)<0
D．不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
8．(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ex－ey>x－y　　 B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－ >
三、填空题
9．对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln (ax)恒成立，则a的最大值是________．
四、解答题
10．已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
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