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培优训练(六)
1．A　[由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，
由已知得＝10，＝＝＝－16．
故选A．]
2．B　[∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝．
由极化恒等式得＝||2－||2＝－1＝－．]
3．D　[如图，取AB的中点O，则由极化恒等式知，
＝||2－||2＝||2－，要求的取值范围，只需要||2最大，最小即可．
由图可知||2最大时，点P在点D处，即||2＝||2＝||2＋||2＝，此时＝||2－＝4，
||2最小时，点P在点O处，即||2＝0，此时＝||2－＝－．
综上可得，的取值范围为 ．故选D．]
4．B　[取CD的中点E，连接PE，
则＝2＝＝2，
两式分别平方再相减得＝||2－||2＝－4，
设AB的中点为O，连接OE交圆弧于点H，则当P与H重合时，PE最小，最小值为2，
当P与A或B重合时，PE最大，最大值为＝2，
所以∈ ＝ ．
故选B．]
5．A　[因为弦PQ所对的圆心角为120°，且圆的半径为2，所以＝2，取PQ的中点B，所以＝＝＝1，如图所示．
因为＝＝||2＋，
因为B是PQ的中点，所以＝0，＝－．
＝||2－＝||2－3，
所以若最大，只需最大，所以＝＋r＝1＋2＝3，
所以＝32－3＝6．故选A．]
6．D　[如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均为边长为4的等边三角形，
当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，取最小值，即＝4sin ＝2，所以，∈，
所以＝＝＝||2－4∈ ．
即的最小值为8．故选D．]
7．2　[如图，
取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，则OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝(当且仅当O，M，N三点共线时等号成立)，由极化恒等式得＝||2－||2＝||2－－＝2．]
8．3　[由＝)，知P为BC的中点，如图，取AD中点M，连接PM，则＝||2－||2＝4－1＝3．
]
9．[3－2，3＋2]　[由题意知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1，
又因为||∈[||－1，||＋1]，||＝，
所以||∈[－1，＋1]，
则∈[3－2，3＋2]．]
10．－　[如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD，
则＝＝||2－||2＝||2－，易知||∈[||，||]＝，
则＝||2－∈，
故的最小值为－．]
4 / 4培优训练(六)　极化恒等式的应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共50分
一、单项选择题
1．(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝(　　)
A．－16 B．16
C．－8 D．8
2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则＝(　　)
A．－　 B．－
C．－　　　 D．－
3．(2024·北京八一学校月考)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·福建莆田模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为(　　)
A．(0，16) B．[0，16]
C．(0，4) D．[0，4]
5．已知A，P，Q是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ所对的圆心角为120°，则的最大值为(　　)
A．6 B．3
C． D．
6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则的最小值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
二、填空题
7．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________．
8．已知菱形ABCD的边长为2，A＝60°，若点P满足＝)，则＝________．
9．(2025·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为正三角形ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为________．
10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为________．
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