资源简介

培优训练(七)
1．解：(1)证明：由已知得a2n＋2＝a2n＋1＋2n＋1＝＋2n＋1＝a2n＋1，
所以a2n＋2－2＝，
其中a2＝，a2－2＝－≠0，
所以是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知a2n－2＝－，
所以a2n＝－＋2，
a2n－1＝6－4n－，
所以a2n－1＋a2n＝8－4n－3×，
所以S2n＝＋…＋
＝8n－4－3 ＝－2n2＋6n－3＋3×
＝－2＋＋3×，
当n≥2时，单调递减，其中S2＝，S4＝，S6＝－，
所以满足S2n>0的所有正整数n为1，2．
2．解：(1)由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，
所以等比数列{an}的公比q＝2，
an＝a1qn-1＝2n．
设等差数列{bn}的公差为d，则
2＝b3－2b1＝2d－b1，
S7＝＝7b4＝7a3，
所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n．
(2)因为bn＝2n，所以cn＝[lg (2n)]．
所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋…＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147．
3．解：(1)a＝2，b＝3，c＝4，第一次“和扩充”后得到数列2，5，3，7，4，
第二次“和扩充”后得到数列2，7，5，8，3，10，7，11，4，
P2＝9，S2＝2＋7＋5＋8＋3＋10＋7＋11＋4＝57．
(2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，则经第次“和扩充”后增加的项数为Pn－1，
所以Pn＋1＝Pn＋＝2Pn－1，
所以Pn＋1－1＝2Pn－2＝2，
其中数列a，b，c经过1次“和扩充”后，得到a，a＋b，b，b＋c，c，
故P1＝5，P1－1＝4，故是首项为4，公比为2的等比数列，
所以Pn－1＝4×2n-1＝2n+1，故Pn＝2n+1＋1，
则2n+1＋1≥2 024，即2n+1≥2 023．
又n∈N*，解得n≥10，最小值为10．
(3)因为S1＝a＋a＋b＋b＋b＋c＋c＝2a＋3b＋2c，S2＝S1＋3，
S3＝S2＋32，依次类推，Sn＝Sn－1＋3n-1，
故Sn＝Sn－1＋3n-1
＝Sn－2＋3n-2＋3n-1
＝…＝S1＋
＝2a＋3b＋2c＋
＝·3n＋，
若使为等比数列，
则 或
所以存在数列a，b，c(a，b，c∈R)，使得数列{Sn}为等比数列，a，b，c满足的条件为a＋c＝0，b≠0或2b＋a＋c＝0，a＋c≠0．
4．解：(1)由题意知，数列为：1，4，7，10，13，…，58．
由a3·a4＝7×10＝70，70不是数列中的项，
故数列不是“乘法封闭数列”．
(2)由题意数列递增可知1又数列为“除法封闭数列”，则都是数列中的项，
所以＝a2，即a3＝①；
且＝a2，＝a3，即a2a3＝8②，
联立①②，解得a2＝2，a3＝4．
(3)数列是等比数列．
证明：当k＝5时，设数列为1，a2，a3，a4，a5，
由题意数列递增可知1则有1＝<<<<＝a5，
由数列为“除法封闭数列”，
则这5个数都是数列中的项，
所以有1＝＝a1，＝a2，＝a3，＝a4，＝a5，
则有a5＝a1a5＝a2a4＝＝＝③；
同理，由1＝<<<＝a4，可得＝a2，＝a3，＝a4，
则有a4＝a1a4＝a2a3，即＝④；
由③④可得，＝＝＝>1，故是等比数列．
当k≥6时，由题意数列递增可知1则有1＝<<…<<<＝ak，
由数列为“除法封闭数列”，则这k个数都是数列中的项．
所以有1＝＝a1，＝a2，…，＝ak－2，＝ak－1，＝ak．
所以有ak＝a1ak＝a2ak－1＝…＝aka1，
即＝(1≤i≤k－1)⑤；
同理，由1可得1＝<<…<<＝ak－1，
所以1＝＝a1，＝a2，…，＝ak－2，＝ak－1．
则ak－1＝a1ak－1＝a2ak－2＝…＝ak－1a1，
即＝(1≤i≤k－2)⑥，
联立⑤⑥得，＝＝(1≤i≤k－2)，
则＝ak－i－1ak－i＋1，
所以有＝＝＝ak－2ak，
所以＝＝＝…＝＝>1，
故数列{an}是等比数列．
综上所述，数列{an}是等比数列．
4 / 4培优训练(七)　子数列、新情境、新定义问题
1．(2025·山东潍坊模拟)设Sn是数列的前n项和，已知a1＝1，an＋1＝
(1)证明：是等比数列；
(2)求满足S2n>0的所有正整数n．
2．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 5 2
第二行 4 3 10
第三行 9 8 20
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100．
3．(2025·湖北武汉模拟)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn．
(1)若a＝2，b＝3，c＝4，求P2，S2；
(2)若Pn≥2 024，求正整数n的最小值；
(3)是否存在数列a，b，c，使得数列为等比数列？请说明理由．
4．定义：已知数列为有穷数列．①对任意i，j(i，j∈N*，i≤j)，总存在k1∈N*，使得aiaj＝，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意i，j(i，j∈N*，i≤j)，总存在 k2∈N*，使得＝，则称数列为“除法封闭数列”．
(1)若an＝3n－2(1≤n≤20，n∈N*)，判断数列是否为“乘法封闭数列”；
(2)已知递增数列1，a2，a3，8，为“除法封闭数列”，求a2和 a3；
(3)已知数列是以1为首项的递增数列，共有k项，k≥5，k∈N*，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出证明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式．
1 / 3

展开更多......

收起↑