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培优训练(八)
1．C　[由题意可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C．]
2．C　[如图所示，连接AC与BD交于点O，BB1⊥平面ABCD，AO 平面ABCD，
故AO⊥BB1，AO⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BDD1B1，故AO⊥平面BDD1B1，VA-BEF＝×S△BEF×AO＝×1×1×＝．
故选C．]
3．A　[连接CF．由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥底面ABC，又CF 底面ABC，所以C1C⊥CF，
故C1F＝＝，
故当CF⊥AB时，此时CF最小，线段C1F的长度最小，
由于线段C1F长度的最小值为，故此时CF＝，F为AB中点，故AB＝2．
连接DF，EF，则DF∥AC，故∠EDF或其补角即为异面直线AC与DE所成角，
DE＝＝，DF＝1，
FE＝＝，
cos ∠EDF＝
＝＝，
故异面直线AC与DE所成角的余弦值为．
故选A．]
4．D　[分别取BC，AD的中点E，F，则＝＝2，
所以＝，
故点P的轨迹是以E为球心，以为半径的球面，＝－＝－＝－＝4－，
又ED＝＝＝2，EF＝＝＝2，
所以＝EF－＝＝EF＋＝3，
所以的取值范围为 ．
故选D．]
5．AC　[A项，如图，取线段BC的中点Q，连接AQ，B1Q．
＝λ＋μ，λ，μ∈(0，1]，
若λ＝2μ，则＝2μ＝2μ，
则A，P，Q三点共线，即点P在线段AQ(不包含点A)上运动．
由Q，E分别是线段BC，AB的中点，则△ABQ与△DAE全等，
则∠QAB＝∠ADE，∠QAB＋∠DEA＝∠ADE＋∠DEA＝，
所以AQ⊥DE．
由AA1⊥平面ABCD，EF∥AA1，
得EF⊥平面ABCD，AQ 平面ABCD，所以EF⊥AQ，
又EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，
所以AQ⊥平面DEF，又AQ 平面AB1P，
所以平面AB1P⊥平面DEF，故A正确；
B项，＝λ＋μ，λ，μ∈(0，1]，
若λ＝μ，则＝λ＝λ，
则A，P，C三点共线，即点P在线段AC(不包含点A)上运动．
如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，
由＝λ＝(－2λ，2λ，0)，
则＝＝(2，0，－2)＋(－2λ，2λ，0)＝(2－2λ，2λ，－2)，
又＝(－2，2，0)，
所以cos 〈〉＝
＝＝，
＝＝1－，
因为λ∈，则λ2－λ＋1＝＋∈，1－∈，
∈，因为异面直线所成角的取值范围为，故D1P与A1C1所成角的取值范围为，故B错误；
C项， 如图，连接AC，过E作EG∥AC，交BC于点G，则G为BC的中点．
延长BA至T，使＝－．
取DC的中点N，连接TN，交DA于点M，则M为AD中点，连接D1M，D1N，MG，GC1．
由MG∥DC∥D1C1，且MG＝DC＝D1C1，
得四边形MGC1D1为平行四边形，则D1M∥GC1，
由AC∥A1C1，则EG∥A1C1，则E，A1，C1，G四点共面．
由MN∥AC，则EG∥MN，
又MN 平面D1MN，EG 平面D1MN，
则EG∥平面D1MN，同理，GC1∥平面D1MN，
又EG 平面EA1C1，GC1 平面EA1C1，GC1∩EG＝G，
故平面D1MN∥平面EA1C1．
若λ＝μ－，由0<λ≤1，0<μ≤1，可得<μ≤1，
＝＋μ＝－＋μ<μ≤1，
则M，P，N三点共线，即点P在线段MN(不包含点M)上运动．
又PD1 平面D1MN，故PD1∥平面A1C1E，故C正确；
D项，如图，取DC的中点N，BC的中点G，连接NG．
若λ＋μ＝，由0<λ≤1，0<μ≤1，可得≤μ≤1，
＝＋μ＝＋μ≤μ≤1，
与C项同理可得，点P在线段NG上运动．
连接FP，同选项B建系，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，F(2，1，2)，＝(0，2，0)，＝(－2，0，0)，
则＝＋μ＝(0，2，0)＋μ(－2，0，0)＝(－2μ，3－2μ，0)，
＝(0，1，2)，所以＝＝(2μ，2μ－2，2)，
则＝＝2，
故当μ＝时，线段PF长度的最小值为，故D错误．故选AC．]
6．ABD　[对于A，在正方体中易知MN∥CD1，CD1∥A1B，故NM∥A1B，
又A1B 平面AMN，MN 平面AMN，所以A1B∥平面AMN，故A正确；
对于B，因为点P为四边形A1B1C1D1(含边界)内一动点，且MP＝2，MD1＝1，
则D1P＝＝，所以P点轨迹为以点D1为圆心，为半径的圆与正方形A1B1C1D1相交的部分，
所以点P的轨迹长度为×2π×＝π，故B正确；
对于C，建立如图所示空间直角坐标系，
则A，M，N，P，
所以＝＝＝，
若存在点P，使得MP⊥平面AMN，
则
解得sin θ＝，cos θ＝，显然不满足同角三角函数的平方关系，
即不存在点P，使得MP⊥平面AMN，故C错误；
对于D，设平面AMN的法向量为n＝，则
取x＝1 y＝z＝2，即n＝为平面AMN的一个法向量，
则点P到平面AMN的距离d＝＝
＝，
显然θ＋φ＝时取得最大值dmax＝，故D正确．
故选ABD．]
7．　[当AP＝时，如图，点P的轨迹是在表面A′B′C′D′内以点A′为圆心，1为半径，圆心角为的弧，所以点P在正方体的表面A′B′C′D′上运动的轨迹长度为．
]
8．　[由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，垂足K为D在平面ABC上的射影，连接D′K，由翻折的特征知，
∠D′KA＝90°，故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一段弧，由AD＝1可知圆的半径是，如图，当E与C重合时，∠D′AC＝60°，所以AK＝，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠KOA＝，所以∠KOD′＝，
射影K的轨迹长度为＝．]
6 / 6培优训练(八)　立体几何中的动态问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共42分
一、单项选择题
1．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥A-BEF的体积为(　　)
A． B．
C． D．无法确定
3．(2025·陕西安康模拟)如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1＝，D，E分别为棱BC，BB1的中点，F为棱AB上的动点，且线段C1F长度的最小值为，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
4．正四面体A-BCD的棱长为4，空间中的动点P满足＝2，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
5．(2025·山西大同模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1B1的中点，动点P满足＝λ＋μ，其中λ，μ∈(0，1]，则下列命题正确的是(　　)
A．若λ＝2μ，则平面AB1P⊥平面DEF
B．若λ＝μ，则D1P与A1C1所成角的取值范围为
C．若λ＝μ－，则PD1∥平面A1C1E
D．若λ＋μ＝，则线段PF长度的最小值为
6．(2025·山东枣庄模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱DD1，DC的中点，点P为四边形A1B1C1D1(含边界)内一动点，且MP＝2，则(　　)
A．A1B∥平面AMN
B．点P的轨迹长度为π
C．存在点P，使得MP⊥平面AMN
D．点P到平面AMN距离的最大值为
三、填空题
7．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点P在该正方体的表面A′B′C′D′上运动，且PA＝，则点P的轨迹长度是________．
8．在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，点E在CD上，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C时，点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为________．
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