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阶段提能(三)　三角函数的化简求值
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共96分
一、单项选择题
1．(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，x轴的非负半轴为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　)
A．cos >0 B．tan >0
C．sin >0 D．cos <0
3．“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2025·广东汕头模拟)已知sin＝＝2，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．1
5．已知0<β<α<，sin ＝，tan α－tan β＝2，则tan αtan β＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·福建漳州模拟)已知cos ＝，则sin ＋sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．
7．(2024·九省联考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan ，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
8．已知β∈，且3sin α＝sin (2β－α)，则tan α的最大值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
二、多项选择题
9．(2025·河北张家口模拟)已知θ∈，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
10．若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是(　　)
A．tan 2θ＝－
B．＝
C．sin θ(sin θ－cos θ)＝
D．sin ＝
11．已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
三、填空题
12．已知α∈，25cos 2α－10sin α－1＝0，则tan ＝________．
13. sin 20°＝________．
14．(2025·海南海口模拟)已知cos ＝，tantan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值为________．
四、解答题
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求cos－sin 的值；
(2)若锐角β满足cos ＝，求sin β的值．
16．已知f (x)＝.
(1)若f (α)＝，求sin αcos α＋2sin2α的值；
(2)若f (α－β)＝－2，f (α)＝－3且α∈，β∈，求2α－β的值．
1 / 3阶段提能(三)　三角函数的化简求值
一、单项选择题
1．(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，x轴的非负半轴为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[如图，
由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝，
所以y＝sin＝(sin α＋cos α)＝＝.故选D.]
2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　)
A．cos >0 B．tan >0
C．sin >0 D．cos <0
B　[若α是第二象限角，则cos ＝cos α<0，
故A错误；为第一、三象限角，则tan >0，故B正确； sin ＝－sin α<0，故C错误；
cos ＝－cos α>0，故D错误．故选B.]
3．“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cos β)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的必要不充分条件．故选B.]
4．(2025·广东汕头模拟)已知sin＝＝2，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．1
C　[由＝＝＝2 sin x cos y＝2cos x sin y，
由sin ＝sin x cos y－cos x sin y＝
2cos x sin y－cos x sin y＝ cos x sin y＝，
可得sin x cos y＝2cos x sin y＝，
所以sin ＝sin x cos y＋cos x sin y＝＝.
故选C.]
5．已知0<β<α<，sin ＝，tan α－tan β＝2，则tan αtan β＝(　　)
A． B．
C． D．
D　[由0<β<α<可得－<α－β<，
又sin＝>0，所以0<α－β<，
故cos＝，tan ＝，
tan ＝＝＝，
故tan αtan β＝.故选D.]
6．(2025·福建漳州模拟)已知cos ＝，则sin ＋sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．
A　[令α＋＝β，则α＝β－，cos β＝，
所以sin ＋sin ＝sin ＋sin
＝cos β－cos 2β＝cos β＋1－2cos2β＝＋1－＝.
故选A.]
7．(2024·九省联考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan ，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
A　[由θ∈，tan 2θ＝－4tan ，
得＝＝2tan θ，
则＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈，tan θ∈，所以tan θ＝－，
＝＝＝＝.
故选A.]
8．已知β∈，且3sin α＝sin (2β－α)，则tan α的最大值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[3sin α＝sin 2βcos α－cos 2βsin α，
即(3＋cos 2β)sin α＝sin 2βcos α，
即＝，故tan α＝＝＝＝，
令t＝tanβ，则tan α＝＝＝＝(当且仅当t＝，即tan β＝时等号成立)．
故选B.]
二、多项选择题
9．(2025·河北张家口模拟)已知θ∈，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
ABD　[由题意得cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋＝1，
整理得sin2θ＋sin θ－＝0，
即＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－，因为θ∈，所以sin θ＝，
所以cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确；
因为所以θ∈，故A正确；
tan θ＝＝－，故C错误；
sin θ－cos θ＝＝，故D正确．故选ABD.]
10．若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是(　　)
A．tan 2θ＝－
B．＝
C．sin θ(sin θ－cos θ)＝
D．sin ＝
BCD　[因为tan 2θ＝＝＝，
所以A错误；因为＝＝＝，所以B正确；
因为sin θ＝sin2θ－sin θcos θ
＝＝＝＝，所以C正确；因为sin＝sin 2θ－cos 2θ
＝
＝
＝＝＝，所以D正确．故选BCD.]
11．已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
AC　[由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝＝，故A正确；
sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)
＝＝，故B错误；
cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝＝，故C正确；
sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝＝，
所以tan αtan β＝＝，故D错误．]
三、填空题
12．已知α∈，25cos 2α－10sin α－1＝0，则tan ＝________．
3　[由题设有25－10sinα－1＝0，即25sin2α＋5sinα－12＝0，
解得sin α＝或sin α＝－，因为α∈，所以sin α＝，则cos α＝－＝－，
则tan＝＝＝＝＝3.]
13. sin 20°＝________．
1　[原式＝＝＝＝＝＝1.]
14．(2025·海南海口模拟)已知cos ＝，tantan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值为________．
(答案不唯一)　[cos ＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β，
故cos cos β－sin sin β＝，
tan tan β＝－4，即＝－4，
故sin sin β＝－4cos cos β，
故5cos cos β＝，即cos cos β＝，
则sin sin β＝－4cos cos β＝－，
则cos α＝cos ＝cos cos β＋sinsin β＝＝－，可取α＝.]
四、解答题
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求cos－sin 的值；
(2)若锐角β满足cos ＝，求sin β的值．
[解]　(1)由题设知：x＝3，y＝－4，r＝OP＝5，则cos α＝＝，
又cos ＝－cos α，sin ＝cos α，
∴cos －sin ＝－2cos α＝－.
(2)由(1)知：sin α＝－，cos α＝，
且sin ＝±＝±，
又β为锐角，α为第四象限角，所以α＋β为第四象限角或第一象限角．
当α＋β为第一象限角时，sin＝，则sin β＝sin ＝sin cos α－cos (α＋β)sin α＝＝，
当α＋β为第四象限角时，sin ＝－，
则sin β＝sin ＝sin cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.
16．已知f (x)＝.
(1)若f (α)＝，求sin αcos α＋2sin2α的值；
(2)若f (α－β)＝－2，f (α)＝－3且α∈，β∈，求2α－β的值．
[解]　(1)f (x)＝
＝＝－，
由已知，f (α)＝－＝，得tan α＝－2，
∴sin αcos α＋2sin2α＝＝
＝＝.
(2)由f (α－β)＝－2，f (α)＝－3，
可知tan(α－β)＝，tan α＝，
∴tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]
＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴－π<α－β<0.
而tan (α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－.
∴2α－β∈(－π，0)，
∴2α－β＝－.
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