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阶段提能(七)　数列
一、单项选择题
1．(2024·江西九江三模)已知等差数列的公差为d，a5是a4与a8的等比中项，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
A　[因为a5是a4与a8的等比中项，所以＝a4 a8 ．
又因为数列为等差数列，公差为d，
所以＝，化简得2a1d＝－5d2，即2a1＝－5d，所以＝－．
故选A．]
2．(2024·山东泰安二模)设等比数列的前n项和为Sn，若S3＝5a2＋6a1，则公比q为(　　)
A．1或5 B．5
C．1或－5 D．5或－1
D　[由S3＝5a2＋6a1＝a1＋a2＋a3得，4a2＋5a1＝a3，
所以4a1q＋5a1＝a1q2，即q2－4q－5＝0，
所以(q－5)(q＋1)＝0，所以q＝5或 q＝－1．
故选D．]
3．(2024·遵义二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，则a1＋a9＝(　　)
A．16 B．17
C．18 D．19
D　[∵数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，
∴Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)－1＝n2－n－1(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－1－n2＋n＋1＝2n(n≥2)，
∵S1＝12＋1－1＝1，∴a1＝1，
而a1＝1不满足an＝2n(n≥2)，
∴an＝
则a1＋a9＝1＋18＝19．
故选D．]
4．(2025·湖北武汉模拟)已知数列满足a1＝－，an＋1＝1－，则a6＝(　　)
A．－ B．
C． D．5
B　[a1＝－，a2＝1－＝5，a3＝1－＝，
a4＝1－＝－，a5＝1－＝5，a6＝1－＝．
故选B．]
5．(2025·湖南长沙模拟)已知公差为负数的等差数列的前n项和为Sn，若a3，a4，a7成等比数列，则当Sn取最大值时，n＝(　　)
A．2或3 B．2
C．3 D．4
B　[设等差数列{an}的公差为d(d<0)，由a3，a4，a7成等比数列，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，解得a1＝－d，则an＝a1＋(n－1)d＝d，
显然等差数列{an}单调递减，当n≤2时，an>0，当n≥3时，an<0，所以当Sn取最大值时，n＝2．
故选B．]
6．(2024·福建莆田三模)设数列的前n项和为Sn，则“是等差数列”是“S11＝11a6”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由是等差数列，得S11＝＝11a6，满足充分性；
反之，S11＝11a6，只需a1＋a2＋…＋a5＋a7＋…＋a11＝10a6，得不到是等差数列，不满足必要性，
则“是等差数列”是“S11＝11a6”的充分不必要条件．故选A．]
二、多项选择题
7．(2024·广东广州二模)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝19 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S8
BC　[∵数列{an}的通项公式为
an＝
∴a1＝4，a3＝10，a5＝16，a7＝22，
a2＝－2，a4＝－6，a6＝－10，a8＝－14，故A错误；
a7>a6，故B正确；
S5＝4－2＋10－6＋16＝22，故C正确；
S6＝4－2＋10－6＋16－10＝12，
S8＝4－2＋10－6＋16－10＋22－14＝20，
S6故选BC．]
8．已知等差数列的前n项和为Sn，正项等比数列的前n项积为Tn，则(　　)
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列是等差数列
D．数列是等比数列
ABD　[设的公差为d，的公比为q，
则Sn＝n2＋n ＝n＋，
所以＝是常数，故A正确；
易知＝＝3d是常数，故B正确；
由ln Tn－ln Tn－1＝ln bn不是常数，故C错误；
÷＝＝q2是常数，故D正确．
故选ABD．]
三、填空题
9．(2024·河北衡水三模)已知数列均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，满足(2n＋3)Sn＝(3n－1)Tn，则＝________．
2　[由(2n＋3)Sn＝(3n－1)Tn，得＝．
因为数列均为等差数列，可得a7＋a8＋a9＝3a8＝×15a8＝S15，
且b6＋b10＝b1＋b15，又由T15＝，可得b6＋b10＝T15．
因此＝＝＝＝＝2．]
10．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”． 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为________．
44π　[由题意知每段圆弧所对的圆心角都是，第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an＝·n，
所以前11段圆弧的长度S11＝(1＋2＋…＋11)＝44π．]
四、解答题
11．(2024·广东深圳一模)设Sn为数列的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足b1＝6，且＝，设Tn为数列的前n项和，集合M＝，求M(用列举法表示)．
[解]　(1)证明：设等差数列的公差为d，则＝＋3d，即S1＋3d＝5，①
因为S2＝a1＋a2＝S1＋4，所以由＝＋d，得S1＋2d＝4．②
由①②解得S1＝2，d＝1，所以＝n＋1，即Sn＝n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝2也满足上式，所以an＝2n，
an＋1－an＝2，
所以数列是以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知＝＝＝，
当n≥2时，bn＝·…··b1＝×…××6＝，
因为b1＝6满足上式，所以bn＝＝12．
Tn＝12 ＝12×＝12－，
因为当∈N*时，n＝1，2，3，5，11，所以M＝．
12．(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f，若满足f ′(xn)＋f (xn)＝0，则称数列为牛顿数列．已知f＝x4，如图，在横坐标为x1＝1的点处作f的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2，用x2代替x1重复上述过程得到x3，一直下去，得到数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn≥16－λ，求整数λ的最小值．
(参考数据：0．94＝0．656 1，0．95≈0．590 5，0．96≈0．531 4，0．97≈0．478 3)
[解]　(1)∵f ′(x)＝4x3，
∴f (x)在点处的切线方程为y－yn＝，
令y＝0，得xn＋1＝xn，所以是首项为1，公比为的等比数列，故xn＝．
(2)令bn＝n·xn＝n·，
法一：(错位相减法)
Sn＝1·＋2·＋3·＋…＋n·Sn＝ 1·＋2·＋3·＋…＋n·，
两式相减得：Sn＝1＋＋＋…＋－n·，
化简得：Sn＝16－(16＋4n)，
故16－(16＋4n)≥16－λ，
化简得λ≥(16＋4n) ．
令dn＝(16＋4n)，
则dn＋1－dn＝，
当n≤5时，dn＋1－dn≥0，
即d6＝d5>d4>d3>d2>d1，
当n≥6时，dn＋1－dn<0，即d6>d7>d8>…，
所以＝d5＝d6＝36·≈21.26，
所以整数λmin＝22．
法二：(裂项相消法)
由bn＝n·xn＝n·，
设cn＝(kn＋m)且bn＝cn＋1－cn，
则n＝，
于是得
即cn＝，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn＋1－cn)]＝cn＋1－c1＝16－(16＋4n)，
故16－(16＋4n)≥16－λ，
化简得λ≥(16＋4n)，
令dn＝(16＋4n)，则＝≥1时，n≤5，
当n≤5时，≥1，即d6＝d5>d4>d3>d2>d1，
当n≥6时，0<<1，即d6>d7>d8>…，
所以＝d5＝d6＝36·≈21.26，
所以整数λmin＝22．
1 / 7阶段提能(七)　数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分
一、单项选择题
1．(2024·江西九江三模)已知等差数列的公差为d，a5是a4与a8的等比中项，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(2024·山东泰安二模)设等比数列的前n项和为Sn，若S3＝5a2＋6a1，则公比q为(　　)
A．1或5 B．5
C．1或－5 D．5或－1
3．(2024·遵义二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，则a1＋a9＝(　　)
A．16 B．17
C．18 D．19
4．(2025·湖北武汉模拟)已知数列满足a1＝－，an＋1＝1－，则a6＝(　　)
A．－ B．
C． D．5
5．(2025·湖南长沙模拟)已知公差为负数的等差数列的前n项和为Sn，若a3，a4，a7成等比数列，则当Sn取最大值时，n＝(　　)
A．2或3 B．2
C．3 D．4
6．(2024·福建莆田三模)设数列的前n项和为Sn，则“是等差数列”是“S11＝11a6”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
7．(2024·广东广州二模)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝19 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S8
8．已知等差数列的前n项和为Sn，正项等比数列的前n项积为Tn，则(　　)
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列是等差数列
D．数列是等比数列
三、填空题
9．(2024·河北衡水三模)已知数列均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，满足(2n＋3)Sn＝(3n－1)Tn，则＝________．
10．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”． 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为________．
四、解答题
11．(2024·广东深圳一模)设Sn为数列的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若数列满足b1＝6，且＝，设Tn为数列的前n项和，集合M＝，求M(用列举法表示)．
12．(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f，若满足f ′(xn)＋f (xn)＝0，则称数列为牛顿数列．已知f＝x4，如图，在横坐标为x1＝1的点处作f的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2，用x2代替x1重复上述过程得到x3，一直下去，得到数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn≥16－λ，求整数λ的最小值．
(参考数据：0．94＝0．656 1，0．95≈0．590 5，0．96≈0．531 4，0．97≈0．478 3)
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