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进阶特训(二)
1．解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝a－＝．
当a≤0时，f ′(x)＝<0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0，x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减．
综上所述，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间；
当a>0时，f (x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：当a≤2，且x>1时，ex-1－f (x)＝ex-1－a(x－1)＋ln x－1≥ex-1－2x＋1＋ln x，
令g(x)＝ex-1－2x＋1＋ln x(x>1)，下证g(x)>0即可．
g′(x)＝ex-1－2＋，再令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex-1－，
显然h′(x)在(1，＋∞)上单调递增，则h′(x)>h′(1)＝e0－1＝0，
即g′(x)＝h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故g′(x)>g′(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故g(x)>g(1)＝e0－2＋1＋ln 1＝0，即当x＞1时，f (x)＜ex-1恒成立．
2．解：(1)f (x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝2(ln x＋1)，
所以当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．
所以当x＝时，f (x)取得最小值f＝2××ln ＝－．
(2)存在x∈(0，＋∞)，使f (x)≤g(x)成立，
即2x ln x≤－x2＋ax－3能成立，
即a≥2ln x＋x＋能成立，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
h′(x)＝＋1－＝，
所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x＝1时，h(x)取得最小值h(1)＝4，
所以a≥4．
(3)证明：设m(x)＝2(x>0)，
m′(x)＝2·，
所以当x∈(0，1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
所以当x＝1时，m(x)取得最大值m(1)＝－．
由(1)得，当x＝时，f (x)取得最小值－，
所以对一切x∈(0，＋∞)，都有f (x)>2成立．
3．解：f ′(x)＝1－，当a＜0，x∈(0，1]时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，1]上单调递增．又函数y＝在(0，1]上单调递减，不妨设0＜x1＜x2≤1，则|f (x1)－f (x2)|＝f (x2)－f (x1)，＝，所以|f (x1)－f (x2)|≤4等价于f (x2)－f (x1)≤，即f (x2)＋≤f (x1)＋．设h(x)＝f (x)＋＝x－1－aln x＋，则|f (x1)－f (x2)|≤4等价于函数h(x)在区间(0，1]上单调递减．因为h′(x)＝1－＝，所以x2－ax－4≤0在x∈(0，1]上恒成立，即a≥x－在x∈(0，1]上恒成立．因为y＝x－在区间(0，1]上单调递增，所以y＝x－的最大值为－3，所以a≥－3，又a＜0，所以a的取值范围为[－3，0)．
4．解：(1)令f (x)＝g(x)，得x2＋x－ln (x＋1)＝－a，设h(x)＝x2＋x－ln (x＋1)，因为当x∈[0，2]时，h′(x)＝x＋1－＝≥0，所以h(x)在[0，2]上单调递增，由此可得h(x)在[0，2]上的取值范围是[0，4－ln 3]，若存在x0∈[0，2]，使得f (x0)＞g(x0)成立，即h(x0)＞－a有解，则h(x)max＞－a，所以a＞ln 3－4．
(2)f (x)在[0，2]上的取值范围为[0，4]，g(x)在[0，2]上的取值范围为[－a，ln 3－a]，若对任意的x1，x2∈[0，2]，恒有f (x1)＞g(x2)，则f (x)min＞g(x)max，即0＞ln 3－a，所以a＞ln 3．
(3)若对任意的x2∈[0，2]，存在x1∈[0，2]，使得f (x1)＞g(x2)成立，则f (x)max＞g(x)max，所以4＞ln 3－a，所以a＞－4＋ln 3．
1/1进阶特训(二)　利用导数解决恒(能)成立问题
1．(2024·全国甲卷)已知函数f (x)＝a(x－1)－ln x＋1．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f (x)2．已知f (x)＝2x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3．
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f (x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有f (x)>2成立．
3．已知函数f (x)＝x－1－a ln x(a∈R)，若a＜0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f (x1)－f (x2)|≤4，求实数a的取值范围．
4．已知f (x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a．
(1)若存在x0∈[0，2]，使得f (x0)＞g(x0)成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的x1，x2∈[0，2]，恒有f (x1)＞g(x2)，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的x2∈[0，2]，存在x1∈[0，2]，使得f (x1)＞g(x2)成立，求实数a的取值范围．
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