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进阶特训(六)
1．解：(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝3，故C的方程为＝1．
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0．
由Δ>0得k2>，且x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|
＝，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝，
令t＝>0，故4k2＝＋1，故S△AOB＝＝，
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，
故△AOB面积的最大值为．
2．解：(1)因为椭圆E的左焦点坐标为(－1，0)，
所以右焦点坐标为(1，0)，c＝1．
又椭圆E经过点，
所以2a＝＝4，b＝＝．
所以椭圆E的方程为＝1．
(2)①当直线AC，BD中有一条直线的斜率不存在时，|AC|＋|BD|＝7．
②当直线AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
|AC|＝＝．
设直线BD的方程为x＝－y＋1，
同理得|BD|＝，
所以|AC|＋|BD|＝，
令m＝t2＋1，则m>1，
则|AC|＋|BD|＝
＝＝，
所以m＝2时，|AC|＋|BD|有最小值．
综上，|AC|＋|BD|的最小值是．
3．解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3．
将点Q代入＝1，解得b＝1，所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2．
又因为x∈，所以的范围是 ．
(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立 得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ＞0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以＝×2·|y1－y2|
＝＝4，
又因为＝＝，
当且仅当m＝±时等号成立．
所以≤4＝2．
又因为三角形内切圆半径r满足r＝＝＝．
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为．
4．解：(1)抛物线的准线方程为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设，
，直线MN：x＝my＋1，
由可得y2－4my－4＝0，则Δ1＞0，y1y2＝－4．
当直线MN的斜率存在时，
由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ2＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，
所以kAB＝＝＝．
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以kAB＝tan β＝＝，
若要使α－β最大，则β∈，
设kMN＝2kAB＝2k＞0，则tan (α－β)＝＝＝＝，
当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，
所以当α－β 最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ3＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，
所以直线AB：x＝y＋4．
当直线MN的斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan (α－β)＜．
综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0．
1 / 4进阶特训(六)　圆锥曲线中的范围、最值问题
1．(2024·江南十校联考)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P(0，2)且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．
2．(2025·天津南开模拟)椭圆E：＝1(a>b>0)经过点，且其左焦点坐标为(－1，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形ABCD的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求|AC|＋|BD|的最小值．
3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)P是C上一动点，求的范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
4．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x 轴时， |MF|＝3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN, AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
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