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进阶特训(七)
1．解：(1)因为|TE|＋|TF|＝|TE|＋|TA|＝|EA|＝4>|EF|＝2，
所以动点T的轨迹C是以E，F为焦点且长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，
所以2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝，b＝1，
所以动点T的轨迹C的方程是＋y2＝1．
(2)证明：若直线l与x轴重合，则M，N为椭圆C长轴的端点，
不妨设M(2，0)，N(－2，0)，
则＝＝，所以＝，
即|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|，
若直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x＝ty＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，
因为Δ＝4t2＋12(t2＋4)＝16(t2＋3)>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
因为kMQ＋kNQ＝
＝＝＝0，
所以x轴平分∠MQN，所以＝＝．
综上，|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|．
2．解：(1)设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)．
由题意可得解得
所以椭圆C的标准方程为＝1．
(2)①当x＝2时，＝1，解得y＝±3，
所以P(2，3)，Q(2，－3)，则|PQ|＝6，
设直线AB的方程为y＝x＋t，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＝t2－4(t2－12)＝48－3t2>0，可得－4由根与系数的关系知，x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，
又A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，则
(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝t2＋2t－8<0，解得－4四边形APBQ的面积S＝×|PQ|×|x1－x2|＝×6×|x1－x2|＝3×＝3，
故当t＝0时，Smax＝12．
②由题意知，直线PA的斜率k1＝，
直线PB的斜率k2＝，
则k1＋k2＝＝
＝＝1＋＝1＋
＝1＋＝1＋＝1－1＝0．
所以k1＋k2的值为常数0．
3．解：(1)由题意可得＝＝2，故a＝1，b＝，因此C的方程为x2－＝1．
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以3－k2<0，所以x1－x2＝
＝．
设点M的坐标为(xM，yM)，
则
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，而y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
故2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝．
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
而y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，故2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，解得yM＝＝xM．
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
证明：因为PQ∥AB，所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则解得xA＝，yA＝．
同理可得xB＝，yB＝－．
此时xA＋xB＝，yA＋yB＝．
点M的坐标满足解得xM＝＝，yM＝＝，故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|．
若选择①③：
证明：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则
解得xA＝，yA＝．
同理可得xB＝，yB＝－．
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，yM＝＝．
由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m．因此PQ∥AB．
若选择②③：
证明：因为PQ∥AB，所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则
解得xA＝，yA＝．
同理可得xB＝，yB＝－．
设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝．
由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上．
将该直线与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点．故点M在直线AB上．
4．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，
化简得x2＝y－，所以W的方程为x2＝y－．
(2)证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．
设B，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，故可设直线AB的方程为y－＝k(x－t), 不妨设k＞0，
与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2＞0，所以k≠2t．
设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝＝＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
所以|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
①当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在 上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在 上单调递减或是常数函数(当k＝1时是常数函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在上单调递增，
所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，
又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝．
令f (k)＝，k≥1，
则f ′(k)＝，
当1≤k＜时，f ′(k)＜0，当k＞时，f ′(k)＞0，
所以函数f (k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f (k)≥f ()＝3，
所以≥3．
②当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在 上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在 上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在上单调递增，所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞·k(k2＋1)＝．
令g(k)＝，0＜k＜1，
则g′(k)＝，
当0＜k＜时，g′(k)＜0，当＜k＜1时，g′(k)＞0，
所以函数g(k)在上单调递减，在上单调递增，所以g(k)≥g＝3，
所以≥3．
综上，矩形ABCD的周长大于3．
1 / 6进阶特训(七)　圆锥曲线中的证明、探索性问题
1．(2024·广东深圳月考)已知A是圆E：(x－)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－，0)，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点Q(4，0)，过点P(1，0)的直线l与C交于M，N两点，求证：|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|．
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆过点(0，－2)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．
①求四边形APBQ的面积的最大值；
②设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1＋k2的值是否为常数，并说明理由．
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．
4．(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．
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