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课后作业(四)　基本不等式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．(2025·福建厦门模拟)已知x>0，y>0，且4x＋9y＝6，则xy的最大值为(　　)
A．
C．1 D．2
2．若x>0，y>0，3x＋2y＝1，则8x＋4y的最小值为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．4
C．6 D．2＋3
4．已知a>1，则a＋的最小值是(　　)
A．9 B．10
C．12 D．6
5．(2025·江苏南通模拟)设m∈R，下列选项中，>2的充要条件是(　　)
A．m≠0 B．m≠1
C．m2≠1 D．m3≠m
6．(2025·湖北武汉模拟)已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．4 D．3＋2
二、多项选择题
7．(2024·浙江绍兴二模)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　)
A．a>1且b>1 B．ab≥4
C．a＋4b≤9 D．>1
8．下列说法正确的有(　　)
A．若x<，则2x＋的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值－5
三、填空题
9．(2025·浙江杭州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．
10．函数f (x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________．
11．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　)
A．0 B．2
C．1 D．3
12．(2025·辽宁大连模拟)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为(　　)
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C．
13．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　)
A．若x＞0，则x2＋≥3
B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤
C．若x＞0，则2x＋≥3
D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤
14．若a>0，b>0，则＋b的最小值为________．
2/2课后作业(四)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[xy＝＝，当且仅当x＝，y＝时取等号．即xy的最大值为．故选A．]
2．B　[8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝2，
当且仅当23x＝22y且3x＋2y＝1，即x＝，y＝时等号成立．故选B．]
3．D　[因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，
所以＝＝＝＋3≥2＋3＝2＋3，
当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号．
故选D．]
4．A　[∵a>1，∴a－1>0，
由a＋＝a－1＋1＋＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时等号成立．故选A．]
5．D　[令y＝m＋，
当m>0时，y＝m＋≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝1时，取等号，
当m<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当－m＝，即m＝－1时，取等号，
所以y≥2或y≤－2，当且仅当m＝±1时取等号，故>2的充要条件是m≠±1且m≠0，故选D．]
6．D　[由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1，
所以＝＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2，
当且仅当a＝＋1时等号成立，此时b＝2＋，
所以的最小值为3＋2．故选D．]
7．ABD　[对于A，a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＝>0，故b>1，同理可得a>1，A正确；对于B，a>0，b>0，ab＝a＋b≥2，∴ab≥4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；
对于C，a>0，b>0，a＋b＝ab，则＝1，
则a＋4b＝＝1＋＋4≥5＋2＝9，
当且仅当即a＝3，b＝时取等号，C错误；
对于D，由于b>0，故＝＝b－1＋≥2－1＝1，
当且仅当b＝1时取等号，而b>1，故>1，D正确，
故选ABD．]
8．ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确；
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为x＜1，所以1－x＞0，则＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
9．1＋2　[正实数x，y满足x＋2y＝1，有＝＝－2，
则＝－2＝－2＝1＋≥1＋2＝1＋2，
当且仅当＝，即x＝－1，y＝时等号成立，
所以的最小值为1＋2．]
10．　[因为f (x)＝，x∈(1，＋∞)，
令x－1＝t，则t>0，
则y＝＝＝＝，
当且仅当2t＝，即t＝1，即x＝2时，等号成立．
故f (x)的最大值为．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．C　[因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则＝＝＝1，
当且仅当y＝2x>0时取等号．故的最大值为1．]
12．D　[因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，则a＋4b<0，所以0又ab－5＝a＋4b＝－≤－2＝－4，
即ab＋4－5≤0，即≤0，解得0<≤1，所以013．AC　[对于A，x＞0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x×(1－x)(1－x)≤＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时等号成立，故D错误．故选AC．]
14．2　[∵a>0，b>0，
∴＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，
所以＋b的最小值为2．]
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