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课后作业(十一)　幂函数与二次函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．若幂函数f (x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　)
A．－2 B．2
C．
2．若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)满足f (1)＝f (3)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f (1)＜f (4)＜f (2)
B．f (4)＜f (1)＜f (2)
C．f (4)＜f (2)＜f (1)
D．f (2)＜f (4)＜f (1)
3．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．(0，4] B．
C． D．
4．(2025山东青岛模拟)函数f (x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
5．(2024安徽江淮十校联考)已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)＝f (x)－(2a－6)x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．[6，＋∞) D．(－∞，4]∪[6，＋∞)
6．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x1，x2，…，xn共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” a应是(　　)
二、多项选择题
7．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T8改编)已知幂函数f (x)的图象经过点(9，3)，则(　　)
A．函数f (x)为增函数
B．函数f (x)为偶函数
C．当x4时，f (x)2
D．当x2>x1>0时，8．已知函数f (＋1)＝2x＋－1，则(　　)
A．f (3)＝9　
B．f (x)＝2x2－3x(x0)
C．f (x)的最小值为－1
D．f (x)的图象与x轴只有1个交点
三、填空题
9．幂函数f (x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f (－x)＝f (x)，且f (－1)＜f (2)＜2．请写出符合上述条件的一个函数f (x)＝________．
10．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
四、解答题
11．在①f (4)＝－1，f (3)＝2，②当x＝2时，f (x)取得最大值3，③f (x＋2)＝f (2－x)，f (0)＝－1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数f (x)＝－x2－2ax＋b，且________．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f (x)在[m，n](m＜n)上的值域为[3m－2，3n－2]，求m＋n的值．
12．已知f (x)＝ax2－2x＋1．
(1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)．
13．(2024广东深圳期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数f (x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f (x)－g(x)|，x∈I的最大值称为函数f (x)与g(x)的“偏差”．
(1)若f (x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求函数f (x)与g(x)的“偏差”；
(2)若f (x)＝x2(x∈[－1，1])，g(x)＝x＋b，求实数b，使得函数f (x)与g(x)的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．
3/3课后作业(十一)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．D　[当α＝－2时，f (x)＝x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意；
当α＝2时，f (x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意；
当α＝时，f (x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意；
当α＝时，f (x)＝，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意．]
2．B　[因为f (1)＝f (3)，所以二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝2．又因为a＜0，所以f (4)＜f (3)＜f (2)，又f (1)＝f (3)，所以f (4)＜f (1)＜f (2)．]
3．C　[y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，当x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3．]
4．B　[对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；
对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；
对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；
对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．]
5．B　[因为幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4，
当m＝1时，f (x)＝x-1，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；
当m＝4时，f (x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意．
所以f (x)＝x2，则g(x)＝x2－(2a－6)x，其图象的对称轴方程为x＝a－3，因为g(x)在区间[1，3]上单调递增，则a－31，解得a4．故选B．]
6．A　[根据题意得f (a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝，
由于n＞0，所以f (a)是关于a的二次函数，因此当a＝，即a＝时，f (a)取得最小值．故选A．]
7．ACD　[设幂函数f (x)＝xα，则f (9)＝9α＝3，解得α＝，所以f (x)＝，所以f (x)的定义域为[0，＋∞)，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，故A正确；
因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以函数f (x)不是偶函数，故B错误；
当x4时，f (x)f (4)＝＝2，故C正确；
当x2>x1>0时，－＝－＝＝－<0，
又f (x)0，所以故选ACD．]
8．ACD　[令t＝＋11，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f (＋1)＝f (t)＝2t2－3t，
故f (x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f (3)＝9，A正确，B错误．
f (x)＝2x2－3x＝2－，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增，
f (x)min＝f (1)＝－1，f (x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD．]
9．(答案不唯一)　[取f (x)＝，则定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，f (－1)＝1，f (2)＝，满足f (－1)＜f (2)＜2．]
10．(－∞，－5]　[令f (x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f (x)<0恒成立，
∴即解得m－5．]
11．[解]　(1)若选①，
由题意可得
解得a＝－2，b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
若选②，
由题意可得
解得a＝－2，b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
若选③，
因为f (x＋2)＝f (2－x)，
所以f (x)图象的对称轴方程为x＝2，
则－a＝2，即a＝－2，因为f (0)＝－1，所以b＝－1，
故f (x)＝－x2＋4x－1．
(2)因为f (x)＝－x2＋4x－1在R上的值域为(－∞，3]，
所以3n－23，即n，
因为f (x)图象的对称轴方程为x＝2，且n＜2，
所以f (x)在[m，n]上单调递增，
则
整理得n2－m2＋m－n＝0，即(n－m)(n＋m－1)＝0，
因为n－m≠0，所以n＋m－1＝0，即n＋m＝1．
12．[解]　(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1单调递减；
当a>0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且>0，
∴1，即0当a<0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且<0，
∴a<0符合题意．
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
(2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减，
∴f (x)min＝f (1)＝－1．
②当a>0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝．
(ⅰ)当<1，即a>1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内，
∴f (x)在上单调递减，在上单调递增．
∴f (x)min＝f ＝－＋1＝－＋1．
(ⅱ)当1，即0∴f (x)min＝f (1)＝a－1．
③当a<0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减．
∴f (x)min＝f (1)＝a－1．
综上所述，g(a)＝
[B组　在综合中考查关键能力]
13．[解]　(1)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝＝＋，x∈[0，1]，因为x∈[0，1]，
由二次函数的性质可得y＝＋∈[1，3]，
故函数f (x)与g(x)的“偏差”为3．
(2)令t(x)＝f (x)－g(x)＝x2－x－b＝－b－，x∈[－1，1]，
因为t(－1)＝2－b，t＝－b－，t(1)＝－b，
令h(x)＝|t(x)|＝，x∈[－1，1]．
因为x∈[－1，1]，所以x－∈，∈．
当－b－＝0，即b＝－时，此时－b－0，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＝，有最小值，满足要求；
当－b－＞0，即b＜－时，此时－b－＞0，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＞，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＜2－b，即－＜b＜时，
则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于＜2－b＜，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＞2－b，即＜b＜2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于＜b＋＜，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＝2－b，即b＝时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＜0，即b＞2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＞，无最小值，不满足要求；
当－b－＜0，t(－1)＝2－b＝0，即b＝2时，
则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求．
综上，b＝或－或2时，满足要求，
当b＝时，“偏差”的最小值为；
当b＝－时，“偏差”的最小值为；
当b＝2时，“偏差”的最小值为．
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