资源简介

课后作业(十五)　函数的零点与方程的解
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共74分
一、单项选择题
1．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x2－2的零点有(　　)
A．4个 B．2个 C．1个 D．0个
2．(2025·浙江温州模拟)设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：
x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) －1.73 －0.84 －0.42 0.03 2.69
依据此表格中的数据，方程的近似解x0可能为(　　)
A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375
C．x0＝0.525 D．x0＝1.5
3．(2025·河北保定模拟)已知函数f (x)＝(x)＝f (x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．(2025·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)在(－2，2)上的零点个数至少为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
5．(2024·浙江温州三模)已知函数f (x)＝则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b>c>a B．a>b>c
C．c>b>a D．c>a>b
二、多项选择题
7．(2024·广东湛江二模)已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　)
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
8．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　)
A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x
C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－
三、填空题
9．函数f的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题的一个函数f的解析式可以为f＝________．
10．(2024·北京朝阳一模)已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(a11．关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．(多选)(2024·湖南怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　)
A．x1＋x2>0 B．x1x2<0
＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2>1
13．(多选)已知函数f (x)＝下列关于函数y＝f＋1的零点个数的说法中正确的是(　　)
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0＜k＜1时，有4个零点
D．当k＝－4时，有7个零点
14．若函数f (x)＝x ln x－x＋|x－a|有且仅有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．∪(0，e)
B．∪(0，e)
C．∪(0，3)
D．∪(0，3)
2/3课后作业(十五)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[令f (x)＝ex＋x2－2＝0，即ex＝2－x2，
可知函数f (x)的零点个数即为y＝ex与y＝2－x2的图象交点个数，结合函数的图象，可知y＝ex与y＝2－x2的函数图象有两个交点，所以函数有两个零点，即函数f (x)＝ex＋x2－2的零点有2个．故选B.]
2．C　[由题中参考数据可得根在区间(0.437 5，0.75)内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解 x0可能为0.525.故选C.]
3．D　[x>0时，f (x)＝－x，函数在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝0，
令g(x)＝0可得f (x)＝x＋a，在同一直角坐标系中画出函数y＝f (x)与函数y＝x＋a的图象，如图所示：
由图可知，当a≥1时，函数y＝f (x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点．因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选D.]
4．C　[由f (x)是定义域为R的奇函数可得f (0)＝0，
再由f (x＋1)＝f (x)可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0.
在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－，
得f＝f＝－f，
所以f ＝0，f ＝0，f＝0，f ＝0，
所以f (x)在(－2，2)上的零点个数至少为7.故选C.]
5．C　[画出函数y＝f (x)的图象，如图所示：
将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f (x)的图象交点的个数，
由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f (x)的图象只有一个交点；
当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象没有交点；
当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象有三个交点；
所以直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象不可能有两个交点．故选C.]
6．C　[函数f (x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x图象的交点的横坐标分别为a，b，c，在同一直角坐标系中画出y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1，y＝－x的图象，结合图象可得c>b>a.故选C.
]
7．BD　[令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a，
利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示，
由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2，
此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误；
当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确；
当f (x)有2个零点时，08．BC　[对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误；
对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0，1)上存在零点，故B正确；
对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确；
对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x，
则F′(x)＝－1＝＝，
故当x>2时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
当0＜x＜2时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值，
故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC.]
9．(答案不唯一)　[函数f的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f满足在(0，2)上存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f＝.]
10．2　[6，7)　[由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0.
由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点．
即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．
由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，
则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1.
①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误；
②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，
解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．
综上，甲正确，乙错误．故选B.]
12．BC　[依题意＝＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝－x2，
则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，
而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，
则x2＝＝－x1>0，于是x1＋x2＝＋ln x2＝0，BC正确，A错误；
易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，D错误．故选BC.]
13．ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f＝t，则方程f＝－1等价为f＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝.
对于A，当k>1时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有1个根t＝，由f＝可知，此时只有1个解，即函数y＝f＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有1个根t＝，由f＝可知，此时有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误；
对于D，当k＝－4时，画出函数f的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f＝可知，此时有3个解，由f＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解，由f＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个解，即函数y＝f＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.]
14．A　[由f (x)＝0可得|x－a|＝x－x ln x，则函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象有两个交点．
设g(x)＝x－x ln x，则g′(x)＝－ln x.
令g′(x)＝－ln x＞0，解得0＜x＜1；
令g′(x)＝－ln x＜0，解得x＞1.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
令g′(x)＝1，解得x＝，可求得g(x)的图象在x＝处的切线方程为y＝x＋.
令g′(x)＝－1，解得x＝e，可求得g(x)的图象在x＝e处的切线方程为y＝－x＋e.
据此作出函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象，如图所示．
切线y＝x＋与y＝－x＋e在x轴上的截距分别为－，e，又当a＝0时，函数y＝|x－a|与函数y＝x－x ln x的图象只有一个交点(1，1)，不符合题意，因此a≠0，
故数形结合可得实数a的取值范围为∪(0，e)，故选A.]
6/6

展开更多......

收起↑