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课后作业(十六)
1．B　[由题表可知函数单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.]
2．B　[由题意，某地地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，
可得M＝lg 5 000－lg 0.002＝lg－lg＝4－lg 2－(lg 2－3)＝7－2lg 2≈6.4.故选B.]
3．D　[设该驾驶员x小时后100 mL血液中酒精含量为y mg，则y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，
当y＝20时，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2，
∴x＝log0.80.2＝＝＝≈≈7.206.
故选D.]
4．A　[由a＝e，得到f (x)＝，
∴当x＝1时，f (1)＝；
当x＝2时，f (2)＝.
依题意，明年(x＝2)的销售量将是今年的e倍，得：＝＝e，
∴＝1，即b2＋b－1＝0，解得b＝.
∵b>0，∴b＝.故选A.]
5. C　[由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200，
因为y＝所以当0≤t≤12时，
只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12；
当12＜t≤24时，只需56－24≤200，解得12综上： 适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，
共计7个小时．故选C.]
6．A　[由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)，
所以f (x)＝80＋4(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
由 可得40≤x≤160，
令t＝，则t∈[2，4]，
g(t)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
所以当t＝8，即x＝128时总收入最大，最大收入为282万元．故选A.]
7．AC　[当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n(－1＜k＜0)是关于n的减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
当k＝时，Pn＝P0≥2P0，所以≥2，所以
∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确；
当k＝－时，Pn＝P0P0，所以，所以，
＝∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC.]
8．ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，故选ACD.]
9．15　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；
当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；
当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意．
综上所述，此户居民本月用水量为15 m3.]
10．10　[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，
由＜，得n≥10.
所以若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．]
11．[解]　(1)由表格知当x＝0时，y＝－4，
若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4；
若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4，
此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8，故不选；
若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，x＝0时无意义，故不选．
所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系，
由题意有当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c，
且x＝0，y＝－4时，得c＝－4；
当x＝2，y＝8时，得4a＋2b＝12；
当x＝6，y＝8时，得36a＋6b＝12；
联立解得a＝－1，b＝8，
所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4.
(2)由(1)知，当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4，
当x≥7时，y＝，
将x＝10，y＝代入上式，得＝ 3-2＝3m-10，
解得m＝8，即当x≥7时，y＝.
综上有y＝
当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
所以当x＝4时，取到最大值ymax＝12.
当x≥7时，y＝单调递减，
所以当x＝7时，ymax＝＝3，
故当新材料的含量x为4克时，产品的性能达到最大．
4/4课后作业(十六)　函数模型的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共65分
一、单项选择题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
2．(2024·湖南长沙三模)地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M＝lg A－lg A0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.3)
A．6.3级 B．6.4级
C．7.4级 D．7.6级
3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过几小时后才能驾驶汽车？(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．(2024·广东茂名一模)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f (x)＝(其中k>0，b>0，a为参数)．某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e.若x＝1表示该新产品今年的年销售量，估计明年(x＝2)的销售量将是今年的e倍，那么b的值为(e为自然对数的底数)(　　)
A． B．
C．－1 D．＋1
5. “空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y＝ 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　)
A．5小时 B．6小时
C．7小时 D．8小时
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a2＋120.设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x)(单位：万元)，则总收入f (x)的最大值为(　　)
A．282万元 B．228万元
C．283万元 D．229万元
二、多项选择题
7．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　)
A．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势
B．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化
C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3
8．(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
三、填空题
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为________m3.
10．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．
四、解答题
11．某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：克)的函数．研究过程中的部分数据如表所示．
x 0 2 6 10 …
y －4 8 8 …
已知当x≥7时，y＝，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大．
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