《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)课后作业26 正弦定理、余弦定理(pdf版, 含解析)

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《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)课后作业26 正弦定理、余弦定理(pdf版, 含解析)

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课后作业(二十六)
[A组 在基础中考查学科功底]
1.D [由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,
即13=4+c2-2c,
解得c=3(c=-舍去).
故选D.]
2.B [由余弦定理的推论得,cos B===,
因为B为三角形内角,
则sin B==,
所以S△ABC=AB·BC·sinB=×3×4×=.
故选B.]
3.D [由正弦定理及b sin 2A=asin B,得2sin B·sin Acos A=sin Asin B,又A,B∈(0,π),所以sin A≠0,sin B≠0,则cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.故选D.]
4.B [由正弦定理可得,=,所以sin B===,因为三角形有两解,所以sin B<1,且b>a,因此由选项知,只有a=9符合.故选B.]
5.D [b cos C+c cos B=b sin B cos C+sin C cos B=sin B sin =sin B,
即sin A=sin B,故a=b,
a=c cos B sin A=sin C cos B sin =sin C cos B sin B cos C+cos B sin C=sin C cos B sin B cos C=0,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0,
因为C∈,所以C=,
故△ABC为等腰直角三角形.
故选D.]
6.B [因为2cos2A-cosA=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),
所以2(1-sin2A)-cos[π-(B+C)]
=2(1-sin2B)+2(1-sin2C)-2+cos(B-C),
则2-2sin2A+cosB cos C-sin B sin C
=2-2sin2B-2sin2C+cosB cos C+sin B sin C,
整理得sin2B+sin2C-sin2A=sinB sin C.
所以b2+c2-a2=bc,
由余弦定理的推论得cos A===,
因为A∈(0,π),故A=.
故选B.]
7.ABD [对于A,cos C=1-2sin2=1-2×=,故A正确;
对于B,由A选项知cosC=,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC cos C=1+25-2×5×=21,故AB=,故B正确;
对于C,由于在△ABC中,C∈,故sin C>0,
所以sin C===,
所以S△ABC=BC·AC sinC=×5×=,故C错误;
对于D,设△ABC的外接圆半径为R,
则由正弦定理得2R===2,故D正确.
故选ABD.]
8.BCD [对于A,因为△ABC为锐角三角形,所以cos C>0,由余弦定理的推论得,cos C=>0,即a2+b2-c2>0,由正弦定理得,sin2A+sin2B>sin2C,故A错误;
对于B,sin(A+B)=sin (π-C)=sin C,故B正确;
对于C,因为△ABC为锐角三角形,且A>B,所以>A>B>0,又因为y=sin x在上单调递增,所以sin A>sin B,故C正确;
对于D,由A=得,C=π-A-B=π-B,
由△ABC为锐角三角形得,
即解得9.4 [在△ABC中,由b2=a2+c2-2ac cos B及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,整理得15b-60=0,所以b=4.]
10. [法一:S===.
法二:由余弦定理的推论得cos A====,sin A=,S=bc sin A=×2×=.]
11.解:(1)由题知,2sin B·cos B=b cos B.
又A为钝角,所以B为锐角,
故cos B≠0,所以2sin B=b.
又===,
所以sin A=.
又A为钝角,所以A=.
(2)若选①,结合(1)得2sin B=×7,所以sin B=,B=,A+B=π,
则△ABC不存在,所以条件①不符合要求,故不选择条件①.
若选②,由题知sin B==,
又=,即=,所以b=3.
又C=π-(A+B),所以sin C=sin (A+B)=sin A cos B+cos A sin B==.
所以S△ABC=ab sin C=×7×3×=.
若选③,由题知c·=,所以c=5.
由a2=b2+c2-2bc cos A得,49=b2+25+5b,即(b+8)(b-3)=0,解得b=3(负值舍去).
所以S△ABC=bc sin A=×3×5×=.
12.解:(1)由2S=-,
在△ABC中,得2×AB×BC sin B=-AB×BC cos B,
即sin B=-cos B,可得tan B=-,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)因为cos D=,D∈(0,π),所以D=,
所以△ACD为等边三角形,AC=,∠CAD=,
所以∠BAC=,∠ACB=,
由正弦定理知=,得
AB===1=BC,
故四边形ABCD的周长为2+2.
[B组 在综合中考查关键能力]
13.解:(1)证明:设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理,得sin ∠ABC=,sin C=,
因为BD sin ∠ABC=a sin C,
所以BD·=a·,
即BD·b=ac.又因为b2=ac,所以BD=b.
(2)法一:(两次应用余弦定理)
因为AD=2DC,如图,在△ABC中,cos C=.①
在△BCD中,cos C=.②
由①②得a2+b2-c2=3,整理得2a2-b2+c2=0.
又因为b2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,
解得a=或a=.
当a=,b2=ac=时,a+b=<c(舍去).
当a=,b2=ac=时,
cos ∠ABC==.
所以cos ∠ABC=.
法二:(向量法)
因为AD=2DC,所以=2,
即=.
所以=+,
即b2=a2+ac cos ∠ABC+c2,
又因为b2=ac,
所以9ac=4a2+4ac·cos ∠ABC+c2.③
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos ∠ABC,
所以ac=a2+c2-2ac cos ∠ABC.④
联立③④,得6a2-11ac+3c2=0.
所以a=或a=.
当a=,b2=ac=时,a+b=<c(舍去).
当a=,b2=ac=时,
cos ∠ABC==.
所以cos ∠ABC=.
3 / 5课后作业(二十六) 正弦定理、余弦定理
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共91分
一、单项选择题
1.(2024·浙江金华三模)已知△ABC中,A=,a=,b=2,则c=(  )
A. B.
C.3 D.3
2.已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,则△ABC的面积等于(  )
A.3 B.
C.5 D.2
3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b sin 2A=a sin B,且c=2b,则等于(  )
A.2 B.3
C. D.
4.(2024·广东汕头一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=10,则结合a的值,下列解三角形有两解的为(  )
A.a=8 B.a=9
C.a=10 D.a=11
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b cos C+c cos B=b,且a=c cos B,则△ABC是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.在△ABC中,若2cos2A-cosA=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),则A=(  )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7.(2024·广西桂林三模)在△ABC中,sin =,BC=1,AC=5,则(  )
A.cos C=
B.AB=
C.△ABC的面积为
D.△ABC外接圆的直径是2
8.(2025·安徽安庆模拟)锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的是(  )
A.sin2A+sin2BB.sin=sin C
C.若A>B,则sin A>sin B
D.若A=,则三、填空题
9.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=________.
10.(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=________.
四、解答题
11.(2024·北京高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,sin 2B=b cos B.
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:c sin A=.
12.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=,∠ACD=,AD=,S为△ABC的面积,且2S=-.
(1)求角B;
(2)若cos D=,求四边形ABCD的周长.
13.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD sin ∠ABC=a sin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.
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