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课后作业(二十六)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．D　[由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即13＝4＋c2－2c，
解得c＝3(c＝－舍去)．
故选D.]
2．B　[由余弦定理的推论得，cos B＝＝＝，
因为B为三角形内角，
则sin B＝＝，
所以S△ABC＝AB·BC·sinB＝×3×4×＝.
故选B.]
3．D　[由正弦定理及b sin 2A＝asin B，得2sin B·sin Acos A＝sin Asin B，又A，B∈(0，π)，所以sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.]
4．B　[由正弦定理可得，＝，所以sin B＝＝＝，因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，因此由选项知，只有a＝9符合．故选B.]
5．D　[b cos C＋c cos B＝b sin B cos C＋sin C cos B＝sin B sin ＝sin B，
即sin A＝sin B，故a＝b，
a＝c cos B sin A＝sin C cos B sin ＝sin C cos B sin B cos C＋cos B sin C＝sin C cos B sin B cos C＝0，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0，
因为C∈，所以C＝，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选D.]
6．B　[因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，
所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]
＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，
则2－2sin2A＋cosB cos C－sin B sin C
＝2－2sin2B－2sin2C＋cosB cos C＋sin B sin C，
整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C.
所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，故A＝.
故选B.]
7．ABD　[对于A，cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；
对于B，由A选项知cosC＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝，故B正确；
对于C，由于在△ABC中，C∈，故sin C>0，
所以sin C＝＝＝，
所以S△ABC＝BC·AC sinC＝×5×＝，故C错误；
对于D，设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确．
故选ABD.]
8．BCD　[对于A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos C>0，由余弦定理的推论得，cos C＝>0，即a2＋b2－c2>0，由正弦定理得，sin2A＋sin2B>sin2C，故A错误；
对于B，sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故B正确；
对于C，因为△ABC为锐角三角形，且A>B，所以>A>B>0，又因为y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin B，故C正确；
对于D，由A＝得，C＝π－A－B＝π－B，
由△ABC为锐角三角形得，
即解得9．4　[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.]
10．　[法一：S＝＝＝.
法二：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝＝，sin A＝，S＝bc sin A＝×2×＝.]
11．解：(1)由题知，2sin B·cos B＝b cos B.
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b.
又＝＝＝，
所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①.
若选②，由题知sin B＝＝，
又＝，即＝，所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝.
所以S△ABC＝ab sin C＝×7×3×＝.
若选③，由题知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)．
所以S△ABC＝bc sin A＝×3×5×＝.
12．解：(1)由2S＝－，
在△ABC中，得2×AB×BC sin B＝－AB×BC cos B，
即sin B＝－cos B，可得tan B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝，
所以△ACD为等边三角形，AC＝，∠CAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
由正弦定理知＝，得
AB＝＝＝1＝BC，
故四边形ABCD的周长为2＋2.
[B组　在综合中考查关键能力]
13．解：(1)证明：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin ∠ABC＝，sin C＝，
因为BD sin ∠ABC＝a sin C，
所以BD·＝a·，
即BD·b＝ac.又因为b2＝ac，所以BD＝b.
(2)法一：(两次应用余弦定理)
因为AD＝2DC，如图，在△ABC中，cos C＝.①
在△BCD中，cos C＝.②
由①②得a2＋b2－c2＝3，整理得2a2－b2＋c2＝0.
又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，
解得a＝或a＝.
当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝＜c(舍去)．
当a＝，b2＝ac＝时，
cos ∠ABC＝＝.
所以cos ∠ABC＝．
法二：(向量法)
因为AD＝2DC，所以＝2，
即＝.
所以＝＋，
即b2＝a2＋ac cos ∠ABC＋c2，
又因为b2＝ac，
所以9ac＝4a2＋4ac·cos ∠ABC＋c2.③
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
所以ac＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC.④
联立③④，得6a2－11ac＋3c2＝0.
所以a＝或a＝.
当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝＜c(舍去)．
当a＝，b2＝ac＝时，
cos ∠ABC＝＝.
所以cos ∠ABC＝.
3 / 5课后作业(二十六)　正弦定理、余弦定理
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共91分
一、单项选择题
1．(2024·浙江金华三模)已知△ABC中，A＝，a＝，b＝2，则c＝(　　)
A． B．
C．3 D．3
2．已知△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3 B．
C．5 D．2
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于(　　)
A．2 B．3
C． D．
4．(2024·广东汕头一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值，下列解三角形有两解的为(　　)
A．a＝8 B．a＝9
C．a＝10 D．a＝11
5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝b，且a＝c cos B，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·广西桂林三模)在△ABC中，sin ＝，BC＝1，AC＝5，则(　　)
A．cos C＝
B．AB＝
C．△ABC的面积为
D．△ABC外接圆的直径是2
8．(2025·安徽安庆模拟)锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的是(　　)
A．sin2A＋sin2BB．sin＝sin C
C．若A>B，则sin A>sin B
D．若A＝，则三、填空题
9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．
10．(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
四、解答题
11．(2024·北京高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－.
(1)求角B；
(2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长．
13．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
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