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课后作业(二十八)　正弦定理、余弦定理的应用举例
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共70分
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
3．(2025·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
4．(2024·广东广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是(　　)
A．27.75 m B．27.25 m
C．26.75 m D．26.25 m
二、多项选择题
5．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则(　　)
A．观测点B位于A处的北偏东75°方向
B．当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C．当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D．该船在由C行驶至A的这5分钟内行驶了 km
6．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile.当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下列说法正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题
7．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________．
8．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为________n mile.
四、解答题
9．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ.
10．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？
5 / 5课后作业(二十八)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[由正弦定理得＝，∵B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．]
2．B　[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500≈7 350(m)，所以山顶的海拔大约为10 000－7 350＝2 650.故选B.]
3．B　[如图，
设球的半径为R，则AB＝R，AC＝.
∵BC＝R＝100，
∴R＝＝
＝＝＝＝≈，
∴2R≈≈50.76，故选B.]
4．D　[如图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE∽△PQE，可得
EQ＝＝，
由△NTF∽△PQF，可得
FQ＝＝，
故EQ－FQ＝＝a，
故PQ＝＝＝＝26.25(m)．故选D.]
5．ACD　[A选项中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，∠CDB＝∠ADC＋∠BDA＝30°＋60°＝90°，
因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
B选项中，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，则∠BCD＝45°，又因为BD＝2 km，
所以BC＝2 km，故B错误；
C选项中，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，
由正弦定理得＝，即AB＝＝＝(km)，故C正确；
D选项中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝6＋8－2××2＝2，
即AC＝ km，故D正确．故选ACD.]
6．AD　[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5 n mile，
由余弦定理得：
B1B2＝
＝＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2交于点O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10 n mile，OB2＝5 n mile，OB1＝5(＋1) n mile，
所以甲船从出发到点O用时t1＝＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(h)，t1＜t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．故选AD.]
7．　[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝＝，
在△PDC中，PC＝10 m，
故sin ∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.]
8．2　[由题意知，AB＝ n mile，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝sin ∠BAC＝×sin 45°＝2(n mile)．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.]
9．解：(1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4 km.
根据正弦定理得＝，
即＝，
解得h＝2() km.
所以此山的高度为2()km.
(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝.
[B组　在综合中考查关键能力]
10．解：(1)在△BCD中，由正弦定理知
＝，∴＝，
解得BD＝6 km.
选①：∵∠BCD＝，∠CBD＝，
∴∠BDC＝π－(∠BCD＋∠CBD)＝π－＝，∴∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝
＝10(km)．
选②：在△BDE中，由余弦定理的推论知cos ∠DBE＝，∴＝，化简得5BE2－36BE－140＝0，解得BE＝10或－(舍去)，故服务通道BE的长度为10 km.
(2)在△ABE中，由余弦定理知，
BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos ∠BAE，
∴100＝BA2＋AE2＋BA·AE，
∴(BA＋AE)2－BA·AE＝100，
即(BA＋AE)2－100＝BA·AE≤，当且仅当BA＝AE时，等号成立，此时(BA＋AE)2＝100，所以BA＋AE的最大值为.
所以当BA＝AE＝km时，折线段赛道BAE最长，最长为km.
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