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课后作业(三十一)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．A　[(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b
＝3a·b－b2－2a2
＝3×4×1×－1－2×16＝－36．]
2．A　[由题意知，
＝＝
＝＝．故选A．]
3．A　[设向量a，b夹角为θ，
＝两边平方得a2＋b2＋2a·b＝5，
又＝＝1，即2＋1＋2××1×cos θ＝5，解得cos θ＝．故选A．]
4．B　[a在b上的投影向量为cos 〈a，b〉＝b＝b＝－b＝，故选B．]
5．D　[因为＝，所以＝＝＝0，
即⊥，所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的边BC上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心．
故选D．]
6．B　[由a⊥b得，a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝，故选B．]
7．ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝，b＝，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；
对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．
故选ACD．]
8．AC　[由题可知，||＝＝1，||＝所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，取β＝，
则P2，则||≠||，故B错误；
因为＝cos (α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以＝，故C正确；
因为＝cos α，＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝，
则＝＝cos ＝－，所以≠，故D错误．故选AC．]
9．(－1，－2)(答案不唯一)　[根据题意可得：＝(1，2)，＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所以所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，m＝(－1，－2)．]
10．－　[法一：由a＋b＋c＝0 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－．
法二：由a＋b＝－c a2＋b2＋2a·b＝c2 a·b＝－，
由a＋c＝－b a2＋c2＋2a·c＝b2 a·c＝－，
由b＋c＝－a b2＋c2＋2b·c＝a2 b·c＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．B　[法一：＝－＝－cos ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos ∠CAB＝AO＝2，所以＝×2＝－8．故选B．
法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8．故选B．
]
12．D　[∵＝，∴＝，∴cos 〈〉＝cos 〈〉，
∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵＝，∴cos 〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．]
13．B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝，
即(x，y)满足＋＝1．
而|c－a|可以看作圆＋＝1上的一点到点(1，0)的距离，
所以|c－a|的最大值即为＋1＝1＋，故选B．]
14． 　[∵＝3，
∴的夹角θ为锐角，
则||||cos θ＝3，∴||||＝，
又S∈，∴||||sin (π－θ)≤，
∴||||sin θ≤，
∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1，
∴≤θ≤，
∴与夹角的取值范围为 ．]
1 / 3课后作业(三十一)　平面向量的数量积及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共72分
一、单项选择题
1．已知向量a，b夹角的余弦值为－，且|a|＝4，|b|＝1，则(a－b)·(b－2a)＝(　　)
A．－36 B．－12
C．6 D．36
2．(2025·广东深圳模拟)已知向量a，b的夹角为45°，＝1，＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．5
3．(2025·山东威海模拟)若平面向量a，b满足＝＝1，＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A． B．－
C． D．－
4．(2024·浙江温州一模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2025·广东深圳模拟)已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若＝，则直线AD一定经过三角形ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
6．(2025·河北沧州模拟)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
二、多项选择题
7．(2024·山东聊城二模)已知向量a＝，b＝，若b在a上的投影向量为a，则(　　)
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥ D．a与b的夹角为45°
8．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C．＝
D．＝
三、填空题
9．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为________．
10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
11．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　)
A．8 B．－8
C．4 D．－4
12．已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
13．(2024·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　)
A． B．1＋
C． D．2
14．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，与的夹角为θ，则与夹角的取值范围为________．
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