资源简介

浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试(三)数学试卷
1．（2025·杭州三模）的相反数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·杭州三模）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·杭州三模）将20109用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·杭州三模）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·杭州三模）二次函数的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．7
6．（2025·杭州三模）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·杭州三模）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（　　）
A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚
8．（2025·杭州三模）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．4.5
9．（2025·杭州三模）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（　　）
A．17 B．16 C．18 D．20
10．（2025·杭州三模）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（　　）
A．40L B．421 C．44L D．46L
11．（2025·杭州三模）在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（2025·杭州三模）把多项式 分解因式的结果是　 　.
13．（2025·杭州三模）如图，是的切线，点A为切点，连接，，若，，则　 　．
14．（2025·杭州三模）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是　 　；
15．（2025·杭州三模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流　 　A．
16．（2025·杭州三模）不等式组的解集是　 　．
17．（2025·杭州三模）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是　 　．
18．（2025·杭州三模）定义新运算：，则的运算结果是　 　．
19．（2025·杭州三模）是直角三角形，，，则的长为　 　．
20．（2025·杭州三模）窦龙（原创）如图，正方形，点E在上，点F在上，连接和交于点L，连接，若，，四边形的面积是65，则的长为　 　．
21．（2025·杭州三模）先化简，再求代数式的值，其中．
22．（2025·杭州三模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
（1）在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出面积为7.5等腰，且点E在小正方形的顶点上．
23．（2025·杭州三模）学习成为现代人的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并制作了如图所示的两个不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：
（1）在统计的这段时间内，共有多少万人次到图书馆阅读？商人占的百分比是多少？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若3月份到图书馆的读者共24000人次，估计其中有多少人次读者是职工？
24．（2025·杭州三模）在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）．
25．（2025·杭州三模）某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元．
（1）求该产品4月份的销售价格；
（2）若5月份每件产品盈利，6月份以5月份售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件．
26．（2025·杭州三模）是半直径，和都是弦，点C是上一点，连接、、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在上，连接交于E，交于L，连接和，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于F，过点O作交于K，连接，若平分，，求的长．
27．（2025·杭州三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L两点，交y轴于点D．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，点B在的延长线上，连接，设点B的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，与的面积相等，过点B作，过点L作的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交于H，过点E作于G，连接和，若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数为-2.5，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么它们互为相反数.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不会题意；
D.图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是指图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合；中心对称图形是指图形绕着某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20109用科学记数法可以表示：2.0109×104，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看到的图形为：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意，
∵y=2(x+1)2-7，
∴当x=-1时，y取最小值为-7.
故答案为：A.
【分析】依据题意，由y=2(x+1)2-7，从而可以判断得解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率是x，
根据2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元得，
40(1+x)2=48.4，
解得，x=0.1或x=-2.1(舍去)，
∴年平均增长率是10%，
故答案为：A.
【分析】设年平均增长率是x，依题意得，40(1+x)2=48.4，计算求出满足要求的解即可.
7．【答案】A
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图棋子个数为4；
第2个图棋子个数为2×4=8；
第3个图棋子个数为3×4=12；
第4个图的棋子个数为4×4=16；
...，
第7个图棋子个数为7×4=28.
故答案为：A.
【分析】根据题意得第1，2，3个图形中棋子的个数，据此得到其余图形中棋子的总数与边数的关系即可.
8．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
∴，
即
解得FC=6，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∴△DAC的周长=AC+CD+AD=AC+CB，
∵AC=8，BC=12，
∴△DAC的周长=20.
故答案为：D.
【分析】由尺规作图知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD，根据△DAC的周长=AC+CD+AD=AC+CB，进而可得答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y=kx+b(k≠0).
∵图象过(5，30)、(15，50)，
可得
解得
∴直线解析式为y=2x+20.
令x=13，
∴y=2×13+20=46
故答案为：D.
【分析】依据题意，先求出5≤x≤15时的函数关系式，然后将x=13代入计算可以得解.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-7≠0，
解得x≠7，
故答案为：x≠7.
【分析】根据分式的分母不等于0求解即可得.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．【答案】
【知识点】切线的性质；求余弦值
【解析】【解答】解：∵AB是☉O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由AB是☉O的切线，得∠OAB=90°，再根据勾股定理求出AB的值，再求出余弦值即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是；
故答案为：．
【分析】利用概率公式求解即可。
15．【答案】3
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，
∴
由图象可知，当R=9时，I=4，
∴U=I·R=4×9=36(v)，
∴
把R=12Ω代入得，I=3(A)
故答案为：3
【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，把R=12Ω代入即可.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>3，
解不等式②得，x<4，
∴不等式组的解集为3故答案为：3【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集.
17．【答案】15
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：此弧所在圆的半径为r，
根据题意得
解得r=15，
故答案为：15.
【分析】根据弧长公式即可求解.
18．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=3m·m-m2
=3m2-m2
=2m2，
故答案为：2m2.
【分析】根据定义的新运算规则，将(3m)*m代入公式a*b=ab-b2中，逐步计算即可.
19．【答案】10或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当∠C=90°时，，
AB2=AC2+BC2，
∴，
由条件可知(负值已舍去)；
当∠A=90°时，，
∴AC=2AB，
∵AB=5，
∴AC=10.
故答案为：10或.
【分析】先根据tan∠ABC的值确定直角三角形的边比关系，然后利用勾股定理求出AC的长度，需要考虑两种情况，即∠C为直角和∠C不为直角，从而即可得解.
20．【答案】9
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接DF和CE交于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，AD=AB=BC=CD，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AL⊥ED.
∴∠ALD=90°
∴∠DAF+∠ADE=90°
∴∠BAF=∠ADE.
∵AD=AB，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF
∵AB=BC，
∴BE=CF.
又∵∠B=∠DCF=90°，CD=BC.
∴△BEC≌△CFD，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∴∠FGC=∠GDC+∠GCD=∠GCF+∠GCD=∠DCF=90°，
∴DF⊥EC，
∵S四边形EFCD=S△EDF+S△DFC，
∴，
∴，
∴DF2=130.
∴.
故答案为：9.
【分析】先通过证明三角形全等得到线段和角的关系，再根据四边形面积求出DF的长度，最后利用勾股定理求出DL的长.
21．【答案】解：原式
，
当，
原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊锐角的三角函数值确定a的值，继而代入计算可得.
22．【答案】（1）解：如图，
△CDF就是所求作的图形
（2）解如图，△ABE就是所求作的图形
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的定义作出图形即可；
(2)根据等腰直角三角形的定义作出图形即可.
23．【答案】（1）解：到图书馆阅读的人数为4÷25%=16万人，
其中商人占百分比为，
共有16万人次到图书馆阅读，商人占的百分比为
（2）解：职工到图书馆阅读的人数为16-4-4-2=6万人
（3）解：人次
答：估计其中有9000人次读者是职工
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】(1)利用到图书馆阅读的人数=学生的人数÷学生的百分比求解，商人占百分比=商人数÷总人数求解即可；
(2)求出职工到图书馆阅读的人数，作图即可；
(3)利用总人数乘读者是职工的人数的百分比求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC，DL⊥BC，LF⊥AB，
∴∠B=∠C，∠BFL=∠DLB=∠CLD=90°.
∴∠BAC-180°-2∠B，∠B+∠BLF=∠DLF+∠BLF=90°，
∴∠B=∠FLD，2∠B=180°-∠BAC，
∵CD=LB，∠B=∠C，∠BFL=∠CLD=90°，
∴△BLF≌△CDL，
∴LF=LD，
∴∠FDL=∠LFD，
∴2∠FDL=180°-∠FLD，
∴4∠FDL-∠CAB=360°-2∠FLD-∠CAB
=360°-2∠B-∠CAB
=360°-(180°-∠CAB)-∠CAB
=180°
（2）解：由(1)得△BLF≌△CDL，∠DLF=∠B=∠C，∠FDL=∠LFD，4∠FDL-∠CAB=180°，
∵∠FDL=∠CAB，
∴3∠FDL=180°，
∴∠FDL=∠LFD=∠CAB=60°，
∴△DLF是等边三角形，
∴DL=FD=FL，∠DLF=∠B=∠C=60°=∠FDL=∠LFD=∠CAB，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵LF⊥AB，∠B=60°，
∴∠BLF=30°， ∠LFH=∠LFB=90°，
∵LH⊥DF，LD=LF，
∴∠HLF=∠HLD=30°=∠BLF，
∵LF=LF，
∴△LFH≌△LFB，
∴BL=LH=CD，BF=FH=CL，DL=LF，
∴△CDL≌△HLF，
∵LD=LF，DH=FH，LH=LH，
∴△DLH≌△FLH，
∴DL=FL，DH=FH=CL， CH=CD，
∴△CDL≌△HLD，
∵∠C=60°，DL⊥BC，
∴∠CDL=30°，
∴∠ADF=180°-30°-60°=90°=∠DLC，
∵∠C=∠A=60°，DF=DL，
∴△CDL≌△AFD，
综上可得，与△ DLC全等的三角形有△LDH，△LFH，△LFB，△FDA.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)先证明△BLF≌△CDL，得LF=LD，∠FDL=∠LFD，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出4∠FDL-∠CAB=180°；
(2)由(1)得△BLF≌△CDL，∠DLF=∠B=∠C，∠FDL=∠LFD，4∠FDL-∠CAB=180°，根据∠FDL=∠CAB，得△DLF是等边三角形，△ABC是等边三角形，进而用三角形全等的判定方法即可得解.
25．【答案】（1）解：设该种纪念品4月份的销售价格为x元
根据题意得：
解得：x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义
答：该产品4月份的销售价格为每件50元
（2）解：由(1)得：该种纪念品4月份的销售价格是50元，该种纪念品5月份的销售价格是50×0.9=45(元)，
∵5月份每件纪念品盈利50%，
∴设进价为a元，则a(1+50%)=45，
解得：a=30，
即每件纪念品进价为30元，
故4月份的利润为：(元)
5月份的利润为：(元)
设6月份销售这种纪念品b件，根据题意可得：
则800+900+(45-30)b≥2450，
解得：b≥50，
答：6月份至少销售该产品50件
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量-20；
(2)算出4月份的数量，进而得出4月份的获利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利，再表示出6月份的获利，即可得出不等关系求答案.
26．【答案】（1）证明：设∠BAC=α，则∠BOC=2∠BAC=2α，
∵，
∴∠ABP=∠ACP=45°，
∵AB是☉O的直径，
∴∠APB=90°
∴∠PAB=45°，
∴∠PAC=45°-α，
∴∠BOC+2∠PAC=2α+2(45°-α)=90°
（2）证明：在AE上取点Q，使AQ=BC，连接PQ.
∵∠PAB=∠PBA=45°，
∴PA=PB.
∵，
∴∠PAC=∠PBC，
∴△PAQ≌△PBC，
∴PQ=PC，
∵AE=AQ+QE=CE+BC，
∴QE=CE，
∴PE⊥AC
（3）解：延长DF到H，使KH=EK=5，连接OH、OP，OP交AE于M.
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PEA=90°
∴∠EPC=45°=∠PCE，
∴EP=EC
∵OP=OC，
∴OE垂直平分PC，
∴PD=CD=DE
设DE=CD=PD=x，DF与AC的交点为N.
∵OK//MN，
∴∠KEN=∠EKO，∠ENK=∠OKF，
∵KO平分∠EKF，
∴∠EKO=∠OKF，
∴∠KEN=∠ENK，
∴NK=EK=5.
∵AP=PB，OA=OB，
∴PO⊥AB.
∴∠AOP=90°，
∵DF⊥OB，
∴∠DFA=90°，
∴∠AOP=∠OFD
∴OM//NK，
∴四边形OMNK是平行四边形
∴OM=NK=5.
∵OK=OK，
∴△OKH≌△OKE，
∴OH=OE
∵∠FAN=α，∠AFN=90°，
∴∠KEN=∠KNE=90°-α，
∵PE=EC，ED⊥PC，
∴
∴∠AEO=∠CED=45°.
∴∠H=∠OEK=180°-45°-(90°-α)=45°+α
∵，
∴∠BPC=∠BAP=α.
∵OP//DH.
∴∠CDH=∠CPO=∠OPB+∠BPC=45°+α.
∴∠H=∠CDH，
∴PD//OH.
∴四边形POHD是平行四边形
∴PO=DH.
∴OH=PD=x，
∴OE=PD=DE=x.
∵EN//OK，
∴，
∴DN=NK=5，
∴PO=DH=15.
∴在Rt△OPD中，PD2+OD2=PO2
∴x2+(2x)2=152
∴，(舍).
∴，
∵∠DPL=∠OAM，
∴tan∠DPL=tan∠OAM，
∴，即，
∴
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与四边形的综合；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)根据弦切角定理，∠BAC=α，则∠BOC=2∠BAC=2α，再根据直径所对的圆周角是直角，∠APB=90°，进而可以得出结论；
(2)在AE上取点Q，使AQ=BC，连接PQ，根据同弧等弧的性质，推出△PAQ≌△PBC，进一步即可得出结论；
(3)延长DF到H，使KH=EK=5，连接OH、OP，OP交AE于M，由垂直平分线得出，设DE=CD=PD=x，DF与AC的交点为N，进而根据勾股定理即可求解.
27．【答案】（1）解：当y=0时，，
∵a≠0，
∴，
∴，
∴
（2）解：当x=0时，，
∴D(0，22)
∴OD=22，
∵点B在x轴负半轴上，点B的横坐标为t，
∴OB=-t，
∴.
即S=-11t.
（3）解：∵S△OBD=S△OAD，
∴，
∴
∴，AB=33，
∴在Rt△ABC中，
，
∵，
∴，
∵LF⊥AD，
∴∠LFA=90°
∴∠FLA+∠FAL=90°，
∵∠FAL+∠ADO=90°，
∴∠ELG=∠ADO，
∴tan∠ELG=tan∠ADO
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
代入，得
∴
∴
∴
∴在Rt△DLO中，DL2=OL2+OD2=62+222=520.
【知识点】三角形的面积；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)y=0时，解方程，解之即可求解；
(2)当x=0时，，得到OD=22，因为点B在x轴负半轴上，点B的横坐标为t，在根据三角形的面积公式即可求解；
(3)由△OBD与△OAD的面积相等，可得，AB=33，再根据勾股定理求出BC的长度，然后再运用直角三角形的边角关系，进一步的到L、E的坐标，代入，进一步即可求解.
1 / 1浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试(三)数学试卷
1．（2025·杭州三模）的相反数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数为-2.5，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么它们互为相反数.
2．（2025·杭州三模）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不会题意；
D.图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是指图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合；中心对称图形是指图形绕着某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合.
3．（2025·杭州三模）将20109用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20109用科学记数法可以表示：2.0109×104，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．（2025·杭州三模）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上边看到的图形为：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案.
5．（2025·杭州三模）二次函数的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意，
∵y=2(x+1)2-7，
∴当x=-1时，y取最小值为-7.
故答案为：A.
【分析】依据题意，由y=2(x+1)2-7，从而可以判断得解.
6．（2025·杭州三模）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率是x，
根据2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元得，
40(1+x)2=48.4，
解得，x=0.1或x=-2.1(舍去)，
∴年平均增长率是10%，
故答案为：A.
【分析】设年平均增长率是x，依题意得，40(1+x)2=48.4，计算求出满足要求的解即可.
7．（2025·杭州三模）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（　　）
A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚
【答案】A
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图棋子个数为4；
第2个图棋子个数为2×4=8；
第3个图棋子个数为3×4=12；
第4个图的棋子个数为4×4=16；
...，
第7个图棋子个数为7×4=28.
故答案为：A.
【分析】根据题意得第1，2，3个图形中棋子的个数，据此得到其余图形中棋子的总数与边数的关系即可.
8．（2025·杭州三模）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．4.5
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
∴，
即
解得FC=6，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答.
9．（2025·杭州三模）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（　　）
A．17 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∴△DAC的周长=AC+CD+AD=AC+CB，
∵AC=8，BC=12，
∴△DAC的周长=20.
故答案为：D.
【分析】由尺规作图知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD，根据△DAC的周长=AC+CD+AD=AC+CB，进而可得答案.
10．（2025·杭州三模）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（　　）
A．40L B．421 C．44L D．46L
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y=kx+b(k≠0).
∵图象过(5，30)、(15，50)，
可得
解得
∴直线解析式为y=2x+20.
令x=13，
∴y=2×13+20=46
故答案为：D.
【分析】依据题意，先求出5≤x≤15时的函数关系式，然后将x=13代入计算可以得解.
11．（2025·杭州三模）在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-7≠0，
解得x≠7，
故答案为：x≠7.
【分析】根据分式的分母不等于0求解即可得.
12．（2025·杭州三模）把多项式 分解因式的结果是　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
13．（2025·杭州三模）如图，是的切线，点A为切点，连接，，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；求余弦值
【解析】【解答】解：∵AB是☉O的切线，
∴∠OAB=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由AB是☉O的切线，得∠OAB=90°，再根据勾股定理求出AB的值，再求出余弦值即可.
14．（2025·杭州三模）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是　 　；
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机摸出一个小球，共有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球的结果有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是；
故答案为：．
【分析】利用概率公式求解即可。
15．（2025·杭州三模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流　 　A．
【答案】3
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，
∴
由图象可知，当R=9时，I=4，
∴U=I·R=4×9=36(v)，
∴
把R=12Ω代入得，I=3(A)
故答案为：3
【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，把R=12Ω代入即可.
16．（2025·杭州三模）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>3，
解不等式②得，x<4，
∴不等式组的解集为3故答案为：3【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集.
17．（2025·杭州三模）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是　 　．
【答案】15
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：此弧所在圆的半径为r，
根据题意得
解得r=15，
故答案为：15.
【分析】根据弧长公式即可求解.
18．（2025·杭州三模）定义新运算：，则的运算结果是　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=3m·m-m2
=3m2-m2
=2m2，
故答案为：2m2.
【分析】根据定义的新运算规则，将(3m)*m代入公式a*b=ab-b2中，逐步计算即可.
19．（2025·杭州三模）是直角三角形，，，则的长为　 　．
【答案】10或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当∠C=90°时，，
AB2=AC2+BC2，
∴，
由条件可知(负值已舍去)；
当∠A=90°时，，
∴AC=2AB，
∵AB=5，
∴AC=10.
故答案为：10或.
【分析】先根据tan∠ABC的值确定直角三角形的边比关系，然后利用勾股定理求出AC的长度，需要考虑两种情况，即∠C为直角和∠C不为直角，从而即可得解.
20．（2025·杭州三模）窦龙（原创）如图，正方形，点E在上，点F在上，连接和交于点L，连接，若，，四边形的面积是65，则的长为　 　．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接DF和CE交于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，AD=AB=BC=CD，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵AL⊥ED.
∴∠ALD=90°
∴∠DAF+∠ADE=90°
∴∠BAF=∠ADE.
∵AD=AB，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF
∵AB=BC，
∴BE=CF.
又∵∠B=∠DCF=90°，CD=BC.
∴△BEC≌△CFD，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∴∠FGC=∠GDC+∠GCD=∠GCF+∠GCD=∠DCF=90°，
∴DF⊥EC，
∵S四边形EFCD=S△EDF+S△DFC，
∴，
∴，
∴DF2=130.
∴.
故答案为：9.
【分析】先通过证明三角形全等得到线段和角的关系，再根据四边形面积求出DF的长度，最后利用勾股定理求出DL的长.
21．（2025·杭州三模）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
，
当，
原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊锐角的三角函数值确定a的值，继而代入计算可得.
22．（2025·杭州三模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
（1）在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出面积为7.5等腰，且点E在小正方形的顶点上．
【答案】（1）解：如图，
△CDF就是所求作的图形
（2）解如图，△ABE就是所求作的图形
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的定义作出图形即可；
(2)根据等腰直角三角形的定义作出图形即可.
23．（2025·杭州三模）学习成为现代人的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并制作了如图所示的两个不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：
（1）在统计的这段时间内，共有多少万人次到图书馆阅读？商人占的百分比是多少？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若3月份到图书馆的读者共24000人次，估计其中有多少人次读者是职工？
【答案】（1）解：到图书馆阅读的人数为4÷25%=16万人，
其中商人占百分比为，
共有16万人次到图书馆阅读，商人占的百分比为
（2）解：职工到图书馆阅读的人数为16-4-4-2=6万人
（3）解：人次
答：估计其中有9000人次读者是职工
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】(1)利用到图书馆阅读的人数=学生的人数÷学生的百分比求解，商人占百分比=商人数÷总人数求解即可；
(2)求出职工到图书馆阅读的人数，作图即可；
(3)利用总人数乘读者是职工的人数的百分比求解即可.
24．（2025·杭州三模）在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，DL⊥BC，LF⊥AB，
∴∠B=∠C，∠BFL=∠DLB=∠CLD=90°.
∴∠BAC-180°-2∠B，∠B+∠BLF=∠DLF+∠BLF=90°，
∴∠B=∠FLD，2∠B=180°-∠BAC，
∵CD=LB，∠B=∠C，∠BFL=∠CLD=90°，
∴△BLF≌△CDL，
∴LF=LD，
∴∠FDL=∠LFD，
∴2∠FDL=180°-∠FLD，
∴4∠FDL-∠CAB=360°-2∠FLD-∠CAB
=360°-2∠B-∠CAB
=360°-(180°-∠CAB)-∠CAB
=180°
（2）解：由(1)得△BLF≌△CDL，∠DLF=∠B=∠C，∠FDL=∠LFD，4∠FDL-∠CAB=180°，
∵∠FDL=∠CAB，
∴3∠FDL=180°，
∴∠FDL=∠LFD=∠CAB=60°，
∴△DLF是等边三角形，
∴DL=FD=FL，∠DLF=∠B=∠C=60°=∠FDL=∠LFD=∠CAB，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵LF⊥AB，∠B=60°，
∴∠BLF=30°， ∠LFH=∠LFB=90°，
∵LH⊥DF，LD=LF，
∴∠HLF=∠HLD=30°=∠BLF，
∵LF=LF，
∴△LFH≌△LFB，
∴BL=LH=CD，BF=FH=CL，DL=LF，
∴△CDL≌△HLF，
∵LD=LF，DH=FH，LH=LH，
∴△DLH≌△FLH，
∴DL=FL，DH=FH=CL， CH=CD，
∴△CDL≌△HLD，
∵∠C=60°，DL⊥BC，
∴∠CDL=30°，
∴∠ADF=180°-30°-60°=90°=∠DLC，
∵∠C=∠A=60°，DF=DL，
∴△CDL≌△AFD，
综上可得，与△ DLC全等的三角形有△LDH，△LFH，△LFB，△FDA.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)先证明△BLF≌△CDL，得LF=LD，∠FDL=∠LFD，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出4∠FDL-∠CAB=180°；
(2)由(1)得△BLF≌△CDL，∠DLF=∠B=∠C，∠FDL=∠LFD，4∠FDL-∠CAB=180°，根据∠FDL=∠CAB，得△DLF是等边三角形，△ABC是等边三角形，进而用三角形全等的判定方法即可得解.
25．（2025·杭州三模）某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元．
（1）求该产品4月份的销售价格；
（2）若5月份每件产品盈利，6月份以5月份售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件．
【答案】（1）解：设该种纪念品4月份的销售价格为x元
根据题意得：
解得：x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义
答：该产品4月份的销售价格为每件50元
（2）解：由(1)得：该种纪念品4月份的销售价格是50元，该种纪念品5月份的销售价格是50×0.9=45(元)，
∵5月份每件纪念品盈利50%，
∴设进价为a元，则a(1+50%)=45，
解得：a=30，
即每件纪念品进价为30元，
故4月份的利润为：(元)
5月份的利润为：(元)
设6月份销售这种纪念品b件，根据题意可得：
则800+900+(45-30)b≥2450，
解得：b≥50，
答：6月份至少销售该产品50件
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量-20；
(2)算出4月份的数量，进而得出4月份的获利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利，再表示出6月份的获利，即可得出不等关系求答案.
26．（2025·杭州三模）是半直径，和都是弦，点C是上一点，连接、、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在上，连接交于E，交于L，连接和，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于F，过点O作交于K，连接，若平分，，求的长．
【答案】（1）证明：设∠BAC=α，则∠BOC=2∠BAC=2α，
∵，
∴∠ABP=∠ACP=45°，
∵AB是☉O的直径，
∴∠APB=90°
∴∠PAB=45°，
∴∠PAC=45°-α，
∴∠BOC+2∠PAC=2α+2(45°-α)=90°
（2）证明：在AE上取点Q，使AQ=BC，连接PQ.
∵∠PAB=∠PBA=45°，
∴PA=PB.
∵，
∴∠PAC=∠PBC，
∴△PAQ≌△PBC，
∴PQ=PC，
∵AE=AQ+QE=CE+BC，
∴QE=CE，
∴PE⊥AC
（3）解：延长DF到H，使KH=EK=5，连接OH、OP，OP交AE于M.
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PEA=90°
∴∠EPC=45°=∠PCE，
∴EP=EC
∵OP=OC，
∴OE垂直平分PC，
∴PD=CD=DE
设DE=CD=PD=x，DF与AC的交点为N.
∵OK//MN，
∴∠KEN=∠EKO，∠ENK=∠OKF，
∵KO平分∠EKF，
∴∠EKO=∠OKF，
∴∠KEN=∠ENK，
∴NK=EK=5.
∵AP=PB，OA=OB，
∴PO⊥AB.
∴∠AOP=90°，
∵DF⊥OB，
∴∠DFA=90°，
∴∠AOP=∠OFD
∴OM//NK，
∴四边形OMNK是平行四边形
∴OM=NK=5.
∵OK=OK，
∴△OKH≌△OKE，
∴OH=OE
∵∠FAN=α，∠AFN=90°，
∴∠KEN=∠KNE=90°-α，
∵PE=EC，ED⊥PC，
∴
∴∠AEO=∠CED=45°.
∴∠H=∠OEK=180°-45°-(90°-α)=45°+α
∵，
∴∠BPC=∠BAP=α.
∵OP//DH.
∴∠CDH=∠CPO=∠OPB+∠BPC=45°+α.
∴∠H=∠CDH，
∴PD//OH.
∴四边形POHD是平行四边形
∴PO=DH.
∴OH=PD=x，
∴OE=PD=DE=x.
∵EN//OK，
∴，
∴DN=NK=5，
∴PO=DH=15.
∴在Rt△OPD中，PD2+OD2=PO2
∴x2+(2x)2=152
∴，(舍).
∴，
∵∠DPL=∠OAM，
∴tan∠DPL=tan∠OAM，
∴，即，
∴
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；圆与四边形的综合；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】(1)根据弦切角定理，∠BAC=α，则∠BOC=2∠BAC=2α，再根据直径所对的圆周角是直角，∠APB=90°，进而可以得出结论；
(2)在AE上取点Q，使AQ=BC，连接PQ，根据同弧等弧的性质，推出△PAQ≌△PBC，进一步即可得出结论；
(3)延长DF到H，使KH=EK=5，连接OH、OP，OP交AE于M，由垂直平分线得出，设DE=CD=PD=x，DF与AC的交点为N，进而根据勾股定理即可求解.
27．（2025·杭州三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L两点，交y轴于点D．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，点B在的延长线上，连接，设点B的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，与的面积相等，过点B作，过点L作的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交于H，过点E作于G，连接和，若，，求的值．
【答案】（1）解：当y=0时，，
∵a≠0，
∴，
∴，
∴
（2）解：当x=0时，，
∴D(0，22)
∴OD=22，
∵点B在x轴负半轴上，点B的横坐标为t，
∴OB=-t，
∴.
即S=-11t.
（3）解：∵S△OBD=S△OAD，
∴，
∴
∴，AB=33，
∴在Rt△ABC中，
，
∵，
∴，
∵LF⊥AD，
∴∠LFA=90°
∴∠FLA+∠FAL=90°，
∵∠FAL+∠ADO=90°，
∴∠ELG=∠ADO，
∴tan∠ELG=tan∠ADO
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
代入，得
∴
∴
∴
∴在Rt△DLO中，DL2=OL2+OD2=62+222=520.
【知识点】三角形的面积；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)y=0时，解方程，解之即可求解；
(2)当x=0时，，得到OD=22，因为点B在x轴负半轴上，点B的横坐标为t，在根据三角形的面积公式即可求解；
(3)由△OBD与△OAD的面积相等，可得，AB=33，再根据勾股定理求出BC的长度，然后再运用直角三角形的边角关系，进一步的到L、E的坐标，代入，进一步即可求解.
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