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2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）七年级试题
1．（2025七下·竞赛）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点P从点A出发，沿A→B每秒2个单位 长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿B→A以每秒4个单位长度的速度向终点A 运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动。那么当Q为AB的中点时，线段PQ的长是　 　， 当Q为PB的中点时，点P表示的数为　 　。
2．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是　 　。
3．（2025七下·竞赛）若nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，则m=　 　，n=　 　.
4．（2025七下·竞赛）如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC=3：2，点D为AB的中点，AB=30。线段CD长是　 　.
5．（2025七下·竞赛）已知，那么代数式　 　.
6．（2025七下·竞赛）按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g，设实际克数是x g，则x应满足的不等式是　 　．
7．（2025七下·竞赛）如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，则这个多边形的边数　 　.
8．（2025七下·竞赛）如果 ，，那么 的值为　 　.
9．（2025七下·竞赛）若m适合关系式： ，求m的值。
10．（2025七下·竞赛）若 为实数，且 ，求 的值.
11．（2025七下·竞赛）如图，△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P。求证：BP2=BC2+AP2。
12．（2025七下·竞赛）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：“你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重，倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多。”驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答）
13．（2025七下·竞赛）一般情况下：不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。我们称使得成立的一对数a， b为“相对数对”，记为（a，b）
（1） 若是“相对数对”，求b的值；
（2）写出一个“相对数对”（a， b），并说明理由。（其中，且）
（3）若（m， n）是“相对数对”，求代数式的值。
14．（2025七下·竞赛）阅读材料，为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设①，那么原方程可化为，解得，。当时，，所以，解得；当时，，所以，解得。故原方程的解为，，，。
解答问题：
（1）上述解题过程。在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法解方程，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上的知识解方程x4-x2-6=0。
15．（2025七下·竞赛）一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。
答案解析部分
1．【答案】2；
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵Q为AB的中点，AB=8，，点Q的运动速度为每秒4个单位长度，
∴点Q的运动时间为1秒，
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴点P的运动路程为2个单位长度，即AP=2，
∴PQ=AB-AP-BQ=2
设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t，
∴PQ=AB-AP-BQ=8-6t，
∵Q为PB的中点，
∴PQ=BQ，即8-6t=4t，
∴，
∴，
∵
∴点P表示的有理数是，
故答案为：2；.
【分析】根据两点间的距离公式得出AB=8，根据线段中点的定义得出QB=4，根据路程除以速度等于时间得出当点Q为AB中点的时候，运动时间是1秒，此时AP=2，由PQ=AB-AP-BQ即可算出答案；
设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t，PQ=AB-AP-BQ=8-6t，根据线段中点的定义得出 PQ=BQ，从而列出方程，求解即可.
2．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
3．【答案】2；0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，
∴n=0，m-1=1，
∴m=2.
故答案为：2，0.
【分析】根据一元一次方程的定义得出n=0，m-1-1，再求出m即可.
4．【答案】3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的中点，
∴，
∵AC：BC=3：2，
∴，
∴CD=BD-BC=15-12=3，
故答案为：3.
【分析】根据中点定义求出BD的长度，再利用比例关系求出BC的长度，最后通过减法求出CD的长度.
5．【答案】
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：设，
∴，解得，
∴，
故答案为：.
【分析】设，则联立为方程组，解得，代入代数式，即可得到答案.
6．【答案】495≤x≤505
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意，得x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.
故答案为：495≤x≤505．
【分析】实际克数x不能低于标明的500g减去允许的误差5g，且不能高于标明的500g加上允许的误差5g，据此列出不等式组，求解即可.
7．【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的边
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得：
，
解得：n=12.
故答案为：12.
【分析】设未知数并利用多边形内角和公式来列出方程，进而求解多边形的边数.
8．【答案】36
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴(a+1)+(b+2)+(c+3)=6，
两边平方得
(a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36
又由去分母，
得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0，
∴(a+1)2+ (b+2)2+(c+3)2=36.
故答案为：36.
【分析】由a+b+c=0得，(a+1)+(b+2)+(c+3)=6，两边平方得(a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36，再由去分母，得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0，代入上式即可.
9．【答案】解：由条件得，，
所以，
，
，
，，
①+②得，，
【知识点】二次根式有意义的条件；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】为了使所有根式有意义，需要满足x+y=116，将此代入原式，得到，进而列出方程组，解之即可得到答案.
10．【答案】解：由题意可得：
解得 x=；
将x=代入
得y=，
∴ =.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，最后将代数式变形后代入x，y的值，根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可.
11．【答案】证明：如图，连接BM。
∵PM⊥AB，
∴ BMP和 AMP均为直角三角形。
∴BP2+PM2=BM2，AP2+PM2=AM2
∵∠C=90° ∴BC2+CM2=BM2
∴BP2+PM2=BC2+CM2
又∵CM=AM，
∴CM2=AM2=AP2+PM2
∴BP2+PM2=BC2+AP2+PM2
∴BP2=BC2+AP2
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接BM，构造辅助线并确定直角三角形，再根据勾股定理列出等式，进而即可得到结论.
12．【答案】解：设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，依题意，得：，
解得：
答：驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设驴和骡分别驮x袋货物，y袋货物；根据骡子对驴说”倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍“，得y+1=2(x-1)；再根据骡子对驴说“而我若给你一袋，咱俩才刚好一样多”，得y-1=x+1；将上述两个方程联立方程组，解方程组即可得出答案.
13．【答案】（1）解：∵是“相伴数对”
解得：
（2）解：(-4，9)是“相伴数对”，理由如下：
∴根据定义(-4，9)是相伴数对
（3）解：∵ (m， n) 是 “相伴数对”
∴
∴
∴
∵
∴ 当 时
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】(1)利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；
(2)写出一个“相伴数对”即可；
(3)利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值.
14．【答案】（1）换元
（2）解：设x2=y，则原方程可化为y2-y-6=0
∴y1=3，y2=-2
当时，
即舍去；
当时，
，
∴，
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)∵将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，实际上是将x2-1转化为了y，
∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法，
故答案为：换元.
【分析】(1)利用换元法解一元二次方程，即可解答；
(2)仿照例题的解题思路，进行计算即可解答.
15．【答案】解：根据韦达定理：
因为两直角边边长为整数
所以m是整数
又因为判别式 =
设其等于
则有
因为且为整数
或
或
时，两直角边长为12和5，斜边长为13
时，两直角边长为6和8，斜边长为10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用韦达定理x1+x2=m+2，x1x2=4m，容易消去m而直接得到两根的关系，从而解出x1，x2，然后进行检验即可.
1 / 12025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）七年级试题
1．（2025七下·竞赛）如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点P从点A出发，沿A→B每秒2个单位 长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿B→A以每秒4个单位长度的速度向终点A 运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动。那么当Q为AB的中点时，线段PQ的长是　 　， 当Q为PB的中点时，点P表示的数为　 　。
【答案】2；
【知识点】数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵Q为AB的中点，AB=8，，点Q的运动速度为每秒4个单位长度，
∴点Q的运动时间为1秒，
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴点P的运动路程为2个单位长度，即AP=2，
∴PQ=AB-AP-BQ=2
设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t，
∴PQ=AB-AP-BQ=8-6t，
∵Q为PB的中点，
∴PQ=BQ，即8-6t=4t，
∴，
∴，
∵
∴点P表示的有理数是，
故答案为：2；.
【分析】根据两点间的距离公式得出AB=8，根据线段中点的定义得出QB=4，根据路程除以速度等于时间得出当点Q为AB中点的时候，运动时间是1秒，此时AP=2，由PQ=AB-AP-BQ即可算出答案；
设点P，Q的运动时间为t秒，则AP=2t，BQ=4t，PQ=AB-AP-BQ=8-6t，根据线段中点的定义得出 PQ=BQ，从而列出方程，求解即可.
2．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是　 　。
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
3．（2025七下·竞赛）若nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，则m=　 　，n=　 　.
【答案】2；0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵nx2-xm-1+1=3是关于x的一元一次方程，
∴n=0，m-1=1，
∴m=2.
故答案为：2，0.
【分析】根据一元一次方程的定义得出n=0，m-1-1，再求出m即可.
4．（2025七下·竞赛）如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC=3：2，点D为AB的中点，AB=30。线段CD长是　 　.
【答案】3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的中点，
∴，
∵AC：BC=3：2，
∴，
∴CD=BD-BC=15-12=3，
故答案为：3.
【分析】根据中点定义求出BD的长度，再利用比例关系求出BC的长度，最后通过减法求出CD的长度.
5．（2025七下·竞赛）已知，那么代数式　 　.
【答案】
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：设，
∴，解得，
∴，
故答案为：.
【分析】设，则联立为方程组，解得，代入代数式，即可得到答案.
6．（2025七下·竞赛）按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g，设实际克数是x g，则x应满足的不等式是　 　．
【答案】495≤x≤505
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意，得x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.
故答案为：495≤x≤505．
【分析】实际克数x不能低于标明的500g减去允许的误差5g，且不能高于标明的500g加上允许的误差5g，据此列出不等式组，求解即可.
7．（2025七下·竞赛）如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，则这个多边形的边数　 　.
【答案】12
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的边
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得：
，
解得：n=12.
故答案为：12.
【分析】设未知数并利用多边形内角和公式来列出方程，进而求解多边形的边数.
8．（2025七下·竞赛）如果 ，，那么 的值为　 　.
【答案】36
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴(a+1)+(b+2)+(c+3)=6，
两边平方得
(a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36
又由去分母，
得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0，
∴(a+1)2+ (b+2)2+(c+3)2=36.
故答案为：36.
【分析】由a+b+c=0得，(a+1)+(b+2)+(c+3)=6，两边平方得(a+1)2+(b+2)2+(c+3)2+2[(a+1)(b+2)+(a+1)(c+3)+(b+2)(c+3)]=36，再由去分母，得(b+2)(c+3)+(a+1)(c+3)+(a+1)(b+2)=0，代入上式即可.
9．（2025七下·竞赛）若m适合关系式： ，求m的值。
【答案】解：由条件得，，
所以，
，
，
，，
①+②得，，
【知识点】二次根式有意义的条件；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】为了使所有根式有意义，需要满足x+y=116，将此代入原式，得到，进而列出方程组，解之即可得到答案.
10．（2025七下·竞赛）若 为实数，且 ，求 的值.
【答案】解：由题意可得：
解得 x=；
将x=代入
得y=，
∴ =.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，最后将代数式变形后代入x，y的值，根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可.
11．（2025七下·竞赛）如图，△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P。求证：BP2=BC2+AP2。
【答案】证明：如图，连接BM。
∵PM⊥AB，
∴ BMP和 AMP均为直角三角形。
∴BP2+PM2=BM2，AP2+PM2=AM2
∵∠C=90° ∴BC2+CM2=BM2
∴BP2+PM2=BC2+CM2
又∵CM=AM，
∴CM2=AM2=AP2+PM2
∴BP2+PM2=BC2+AP2+PM2
∴BP2=BC2+AP2
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接BM，构造辅助线并确定直角三角形，再根据勾股定理列出等式，进而即可得到结论.
12．（2025七下·竞赛）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：“你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重，倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多。”驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答）
【答案】解：设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，依题意，得：，
解得：
答：驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设驴和骡分别驮x袋货物，y袋货物；根据骡子对驴说”倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍“，得y+1=2(x-1)；再根据骡子对驴说“而我若给你一袋，咱俩才刚好一样多”，得y-1=x+1；将上述两个方程联立方程组，解方程组即可得出答案.
13．（2025七下·竞赛）一般情况下：不成立，但有些数可以使得它成立，例如：。我们称使得成立的一对数a， b为“相对数对”，记为（a，b）
（1） 若是“相对数对”，求b的值；
（2）写出一个“相对数对”（a， b），并说明理由。（其中，且）
（3）若（m， n）是“相对数对”，求代数式的值。
【答案】（1）解：∵是“相伴数对”
解得：
（2）解：(-4，9)是“相伴数对”，理由如下：
∴根据定义(-4，9)是相伴数对
（3）解：∵ (m， n) 是 “相伴数对”
∴
∴
∴
∵
∴ 当 时
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】(1)利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；
(2)写出一个“相伴数对”即可；
(3)利用“相伴数对”定义得到9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出值.
14．（2025七下·竞赛）阅读材料，为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设①，那么原方程可化为，解得，。当时，，所以，解得；当时，，所以，解得。故原方程的解为，，，。
解答问题：
（1）上述解题过程。在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法解方程，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上的知识解方程x4-x2-6=0。
【答案】（1）换元
（2）解：设x2=y，则原方程可化为y2-y-6=0
∴y1=3，y2=-2
当时，
即舍去；
当时，
，
∴，
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)∵将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，实际上是将x2-1转化为了y，
∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法，
故答案为：换元.
【分析】(1)利用换元法解一元二次方程，即可解答；
(2)仿照例题的解题思路，进行计算即可解答.
15．（2025七下·竞赛）一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。
【答案】解：根据韦达定理：
因为两直角边边长为整数
所以m是整数
又因为判别式 =
设其等于
则有
因为且为整数
或
或
时，两直角边长为12和5，斜边长为13
时，两直角边长为6和8，斜边长为10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用韦达定理x1+x2=m+2，x1x2=4m，容易消去m而直接得到两根的关系，从而解出x1，x2，然后进行检验即可.
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