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(共31张PPT)
1.4.2 两条直线垂直
第一章
直线与圆
北师大版2019选择性必修第一册·高二
前情回顾
1. 两条直线平行与斜率：
x
o
y
对于斜率分别为的两条不重合的直线，有
前情回顾
2. 平行直线系方程：
已知直线
(1)与直线平行的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
A,B不变设方程，带已知点求
已知直线
(2)与直线平行的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
斜率不变设方程，带已知点求
章节导读
1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系
1.3 直线
的方程
1.4两条直线的平行与垂直
1.5两条直线的交点坐标
直线的倾斜角
斜率
倾斜角与方向向量间的关系
一般式
、点法式
点斜式
、斜截式
、两点式
两条直线平行
两条直线垂直
1.6距离公式
两条直线的交点坐标
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
两条平行直线间的距离公式
学 习 目 标
1
2
3
理解直线垂直的概念，以及两条直线垂直的条件.
会利用直线斜率和直线的几何特征判定两条直线垂直.
能利用两条直线垂直的条件解决一些相关实际问题.
读教材
阅读课本P17-P18，5分钟后完成下列问题：
我们一起来探究“两条直线垂直”吧！
1.两条直线垂直与直线斜率有何关系？
2.两条垂直直线的一般式方程和斜截式方程有何区别？
在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当时，
它们的斜率是否还有特殊的数量关系？
新课引入
思考：两条直线相交，它们之间的斜率有怎样的关系？
两条直线相交
斜率不相等
x
o
y
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；
反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交
学习过程
01
03
02
目录
1 两条直线垂直与斜率
3 题型训练
2 垂直直线系方程
新知探究1
y
x
思考2：用α1等于30°、45°、60°去求一下两条直线的斜率
倾斜角 30° 45° 60°
k1 1
k2 －1
k1k2= －1
如图：两条直线的夹角是90°，α2=α1+90°
思考3：你发现了k1和k2有什么关系
思考1：怎么衡量两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2是垂直的呢
新知探究1
探究1 当直线时，它们的斜率是否还有特殊的数量关系？
(1)斜率都存在:设两条直线的斜率分别为，
则直线的方向向量分别是，，
于是，
两种情况：斜率都存在、有一条直线斜率不存在
(2)一条直线的斜率不存在:
当直线或的倾斜角为90°时，若，
则另一条直线的倾斜角为0°
即.
即不存在时，0.
新知1
1. 两条直线垂直与斜率：
两条直线的垂直
垂直与斜率
典例分析
不存在，，B: ，，.
，，；D：，，.
例1 (多选)下列各对直线互相垂直的是（ ）
A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
D.l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
ABD
典例分析
例2 直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为（ ）
解：如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，
则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
C
典例分析
例3 顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)的 ABC为直角三角形，
求m的值？
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
方法总结
两条直线垂直的判定
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．
尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
学习过程
01
03
02
目录
1 两条直线的垂直
3 题型训练
2 垂直直线系方程
新知探究2
思考 直线，直线
＝0
0
新知探究2
探究2 我们前面学过六种直线方程，哪些能直接设它的垂直线呢
直线方程 几何要素 平行直线方程
直线上一斜率 不知道点坐标，不能设
斜率直线在轴上的截距
直线上任意两点 不知道点坐标，不能设
不知道点坐标，不能设
系数A，B不同时为0
直线上一点法向量 不知道点坐标，不能设
新知2
2. 垂直直线系方程：
垂直直线系方程
已知直线
(1)与直线的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
x，y交换系数并且中间变号，
带已知点求n
已知直线
(2)与直线平行的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
斜率变为负倒数设方程，
带已知点求n
典例分析
例1 求过点(－1,3)且与l：3x＋4y－12＝0垂直的直线l ′的方程？
解：设所求直线的方程为4x－3y+n=0 ：
将点(－1，3)代入到该方程中，可得－1×4－3×3+n=0，
解得 n=13 ，故所求直线方程为4x－3y+13=0。
典例分析
例2 求过点A（1，2），且垂直于直线2x－3y+5=0的直线方程？
解：由与垂直，设所求直线的方程为3x＋2y+n=0 ：
将 A（1，2)代入到该方程中，可得3×1＋2×2+n=0，
解得 n=－7 ，故所求直线方程为3x＋2y－7=0。
典例分析
例3 直线直线
若，求的值？
解：由，知：
①当时，显然与不垂直；
②当时，，解得，
即时，。
＝0
学习过程
01
03
02
目录
1 两条直线的垂直
3 题型训练
2 垂直直线系方程
判断两条直线是否垂直
题型1
题型探究
例1 (多选) 设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，
下面四个结论正确的是（ ）
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS
ABD
解：　
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故ABD正确.
判断两条直线是否垂直
题型1
题型探究
例2 已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的
两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定
解：由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在;
设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
B
判断两条直线是否垂直
题型1
题型探究
例3 A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，
求D点的坐标？
解：设D(x，y)，
又CD⊥AB，CB∥AD，
题型探究
例4 直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A(2,2)且与直线l 垂直的直线方程？
垂直直线系方程
题型2
解：设所求直线的方程为4x－3y+n=0 ：
将 A（2，2)代入到该方程中，可得4×2－3×2+n=0
解得 n=－2 ，故所求直线方程为4x－3y－2=0 。
题型探究
例5 直线l：y＝3x＋1，求过点A(2,2)且与直线l 垂直的直线方程？
垂直直线系方程
题型2
解：设所求直线的方程为y＝－x+n：
将 A（2，2)代入到该方程中，可得2=－×2+n，
解得 n= ，故所求直线方程为y＝－x+ 。
课堂小结
1. 两条直线垂直与斜率：
垂直与斜率
课堂小结
2. 垂直直线系方程：
已知直线
(1)与直线的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
x，y交换系数并且中间变号，
带已知点求
已知直线
(2)与直线平行的直线系方程
可设为：
(其中为参数)
斜率变为负倒数设方程，
带已知点求n
感谢聆听！

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