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第五章 轴对称与旋转
第2课时 轴对称
第一节 轴对称
1.理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变．
2.通过动手操作探索轴对称的性质，学会运用轴对称的性质作图．
3.在探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验和发展空间观念．
4.培养独立观察思考的习惯，感受数学图形的美，体会画轴对称图形带来的快乐．
一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何将下面的式子变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目．
你知道她是怎样做的吗？
你知道这运用了什么数学知识吗？
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 P 的对应点是 P′ ，线段 PP′ 交直线 l 于点 D. 线段 PP′ 与对称轴 l 之间有什么关系？
所以将△ABC 连同直线 l 沿对称轴 l 折叠，就得到△ A′B′C′ 连同直线 l.
因为△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称.
在这个轴对称下，点 P 的对应点是点 P′，点 D 的对应点是点 D 自身.
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 P 的对应点是 P′ ，线段 PP′ 交直线 l 于点 D. 线段 PP′ 与对称轴 l 之间有什么关系？
因此 l ⊥ PP′ ，且 l 平分 PP′，即直线 l
垂直平分线段 PP′ .
于是线段 PD 与线段 P′D 重合，
∠1 与∠2 重合.
从而 PD = P′D ，∠1=∠2 = 90°.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
由此得到轴对称的基本性质:
例如，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，△ABC上的任意一个点P与△A′B′C′对应点P′的连线段PP′被直线l垂直平分;反过来也成立.
特别地，若点 P 与点 P′ 关于一条直线对称，则线段 PP′ 被这条直线垂直平分.
反过来，若线段 PP′ 被一条直线垂直平分，则点 P 与点 P′ 关于这条直线对称.
P
P′
l
A′B′
AB =_______，
BC =_______，
∠ABC =__________.
B′C′
∠A′B′C′
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
如图，将△ABC 沿直线 l 折叠，在这个轴对称下，点 A 的对应点是点 A′，点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′.
归纳
文字叙述 符号语言 图示
如图，△ABC和△A′B′C′
关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′分别是点 A，B，C 的对称点，AA′，BB′，CC′ 分别与 MN 交于点 E，F，G
成轴对称的两个图形中，对应
点的连线被对
称轴垂直平分
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变
AE ＝A′E，BF ＝B′F，
CG ＝C′G，MN⊥AA′，
MN⊥BB′，MN⊥CC′
AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∠ABC ＝∠A′B′C′
例1 已知直线 l 及直线外一点 P，画一点 P′， 使它与点 P 关于直线 l 对称.
作法：
1. 过点 P 作 PQ⊥l， 交 l 于点 O.
2. 在射线 OQ 上， 截取 OP′= OP.
则点 P′ 即为所求作的点.
已知线段 AB 和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 对称的图形.
作法：
1.过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点O，延长AO至点A′，使AO = A′O，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点；
2.类似地，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
3.连接A′B′ .
例2 已知△ABC 和直线 l，画出△ABC 关于直线 l 的对称图形.
分析：要画△ABC 关于直线 l 的对称图形，只要作出三角形的顶点 A，B，C 关于直线 l 的对称点 A′，B′ ，C′ ，
连接这些对称点即可.
解: （1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点；
（2）类似地，分别作出点 B，C 关于直线 l 的对应点 B′，C′.
（3）连接 A′B′，B′C′，C′A′ 得到的△A′B′C′ 即为△ABC关于直线 l 的对称图形.
例2 已知△ABC 和直线 l，画出△ABC 关于直线 l 的对称图形.
归纳
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1. 找点（确定图形中的一些特殊点）
2. 画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）
3. 连线（连接对称点）
画好△A′B′C′ 后，若将纸沿直线 l 折叠，两个三角形会重合吗？
重合，成轴对称的两个图形的形状、大小完全相同，即两个图形的对应线段相等，对应角相等，面积相等，周长相等.
先过直线 l 外一点分别画直线 l 的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流.
l
A
A′
B
C
AB是垂线段
AC是斜线段
作点 A 关系直线 l 的对称点A′ ，连接 A′ C, A′ B，根据轴对称性质，AC=A′ C，AB=A′B.
根据两点之间，线段最短：AC+A′ C＞AA′ ，即2AC＞2AB，
所以AC＞AB，即垂线段最短.
1. 已知直线 AB 和直线 l 相交于点 O，画出直线 AB关于直线 l 的对称图形.
l
O
A
B
A′
B′
2. 如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角.
A′
A
B′
C′
B
C
N
M
对应点：A 和 A′
B 和 B′
C 和 C′
对应线段：AB =A′B′
BC =B′C′
AC =A′C′
对应角：∠ABC =∠A′B′C′
∠BCA =∠B′C′A′
∠BAC =∠B′A′C′
3. 如图，若△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，线段 BB′
交直线 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. AC ＝A′C′ B. BO ＝B′O
C. AA′⊥ MN D. AB∥B′C′
D
4.画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图所示，△A'B'C'为所求的图形．
轴对称
轴对称的性质：
画原图关于某直线对称的图形的步骤：
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对
称轴垂直平分.轴对称保持任意两点间距离不
变，保持角的大小不变.
1. 找点（确定图形中的一些特殊点）
2. 画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）
3. 连线（连接对称点）

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