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2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷
【沪科版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（24-25七年级·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）若，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．3
4．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的倍
C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半
5．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25七年级·河南平顶山·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3
8．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
9．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10．（3分）（24-25七年级·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ．
12．（3分）（24-25七年级·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ．
13．（3分）（24-25七年级·江苏苏州·期中）若，则式子的值等于 ．
14．（3分）（24-25七年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ．
15．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
16．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）（2025七年级·安徽安庆·专题练习）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
19．（8分）（24-25七年级·四川成都·期中）（1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
20．（8分）（24-25七年级·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
……第六步
任务：
(1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______．
(2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(3)请你直接写出正确的结果．
(4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议．
21．（10分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
22．（10分）（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
23．（12分）（24-25七年级·湖北襄阳·期末）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
24．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，整式加法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．根据同类项的加法，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，一一判断即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25七年级·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键；
根据平行线的判定，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，分别判定即可求解；
【详解】解：，
，正确；
② ，
，错误；
③∵，
，正确；
④，
，正确；
综上所述，②不能判定，
故选：B
3．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）若，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的算术平方根为3；
故选D．
4．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的倍
C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案．
【详解】解：；
分式的值不变；
故选：A
5．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6．（3分）（24-25七年级·河南平顶山·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：由题意得：，；
，；
，或，；
，的值可能为：，；
故选：A
7．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3
【答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解方程，得：，
∵方程的解为正数，且，
∴，解得：且，
∴满足条件的正整数的值为1，3；
故选D．
8．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义、几何图形中的角的计算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
由于则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到可判定A选项；利用可得，则，即平分即可判定B选项；利用，可计算出，则可判定C选项；根据，即可判定D选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即B选项正确，不符合题意；
，
，
，
∴，即C选项正确，不符合题意；
，而，即，即D选项错误，符合题意．
故选D．
9．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是，
不等式组的解集为．
关于的不等式组的整数解共有个，
∴．
故选：A．
10．（3分）（24-25七年级·安徽宿州·期中）已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键．
【详解】解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果．
【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
12．（3分）（24-25七年级·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
由数轴知，
∴，
解得，
故答案为：．
13．（3分）（24-25七年级·江苏苏州·期中）若，则式子的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，利用整体代入法进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
14．（3分）（24-25七年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查了分式的加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键．根据分式加减运算可得，再建立二元一次方程组，求得A与B的值，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
即．
∴，
解得：
∴的值为4，的值为．
故答案为4，．
15．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
【答案】或或或
【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，此时停止运动，
，解得：；
④当时，此时停止运动，
，解得：，
综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行，
故答案为：或或或．
16．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
【答案】96
【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键．
过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵ 平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算：
（1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（6分）（2025七年级·安徽安庆·专题练习）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算，同底数幂的乘法和幂的乘方逆用；
（1）先根据单项式乘多项式，多项式乘多项式分别计算，再合并同类项即可；
（2）根据，代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）∵，
∴ ．
19．（8分）（24-25七年级·四川成都·期中）（1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先化简，再利用公式法解答；
（2）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案，即先求出每一个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到整个不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
由①得，，
由②得，，
则不等式组的解集为：．
20．（8分）（24-25七年级·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
……第六步
任务：
(1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______．
(2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(3)请你直接写出正确的结果．
(4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】(1)三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）
(2)五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(3)
(4)答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等
【分析】（1）根据分式的基本性质，熟练通分解答即可．
（2）从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底．
（3）根据运算直接解答即可．
（4）从知识理解，运用等方面给出合理的建议即可．
本题考查了分式的性质，通分，熟练掌握通分是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得第三步是通分，其依据是分式的基本性质，
故答案为：三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）．
（2）解：从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底．
故答案为：五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号．
（3）解：原式，
因此最后的答案是．
（4）解：答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等．
21．（10分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键．
（1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答；
（2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答；
【详解】（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴；
22．（10分）（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时
(2)无人机的速度至少提高到70千米/时
【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解；
（2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答.
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式.
【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．
（2）设无人机的速度提高到千米/时，则
答：无人机的速度至少提高到70千米/时
23．（12分）（24-25七年级·湖北襄阳·期末）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）14；
（4）5或7
【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果；
（2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案；
（3）由（2）的结论，把已知条件代入即可；
（4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可；
【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是，
，
故答案为：；
（2）边长为的正方形的面积为：，
分9部分来看，正方形的面积为，
两部分面积相等，
，
故答案为：；
（3）由（2）知，
，，
．
的值为14；
（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：，
从因式分解的角度看，可分解为或，
或，
的值为5或7．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法．
24．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，进而得出，则，即可得证；
（2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解；
（3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点作，
设，
∵
∴
设
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵
∴
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
设
∵与的角平分线交于点，
设
如图所示，
∵
由（1）可得，
∴
；
如图所示，
由（1）可得，
∴
如图所示，
由（1）可得，
∴
综上所述，或或

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