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2024-2025学年七年级（下）期末必考题型专项复习【26大考点】
【人教版2024】
【考点1 对顶角】 1
【考点2 两条直线垂直】 3
【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 4
【考点4 平行线的判定】 5
【考点5 平行线的性质】 6
【考点6 平行线的判定与性质】 7
【考点7 平移】 8
【考点8 平方根】 10
【考点9 立方根】 10
【考点10 无理数及其估算】 11
【考点11 实数的运算】 11
【考点12 平面直角坐标系中点的坐标特征】 12
【考点13 坐标与图形性质】 12
【考点14 坐标系中的平移】 14
【考点15 坐标系中的规律探究】 16
【考点16 二元一次方程组的解法】 17
【考点17 二元一次方程（组）的解】 18
【考点18 实际问题与二元一次方程（组）】 19
【考点19 不等式的基本性质】 20
【考点20 解一元一次不等式(组)】 20
【考点21 一元一次不等式(组)的解】 22
【考点22 一元一次不等式(组)的整数解】 22
【考点23 一元一次不等式(组)的应用】 22
【考点24 全面调查与抽样调查】 24
【考点25 扇形图、条形图、折线图】 24
【考点26 频数分布表和频数分布直方图】 27
【考点1 对顶角】
【例1】（24-25七年级·河南南阳·期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（24-25七年级·江西宜春·期末）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【变式1-2】（24-25七年级·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点平分．
(1)图中的余角是______________；
(2)如果，那么的大小为______________，理由是______________；
(3)如果，求和的大小．
【考点2 两条直线垂直】
【例2】（24-25七年级·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【变式2-1】（24-25七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【变式2-2】（24-25七年级·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【变式2-3】（24-25七年级·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，．
【考点3 同位角、内错角、同旁内角】
【例3】（24-25七年级·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出一个与 互为同位角的角；
(3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【变式3-1】（24-25七年级·甘肃平凉·阶段练习）如图，下面说法错误的是（ ）
A．和是对顶角 B．和是同位角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
【变式3-2】（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ．
【变式3-3】（24-25七年级·河北唐山·阶段练习）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知．
(1)请说明的理由；
(2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数．
【考点4 平行线的判定】
【例4】（24-25七年级·山东菏泽·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)试说明：；
(2)若与互余，试说明：．
【变式4-1】（24-25七年级·广东广州·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式4-2】（24-25七年级·山东潍坊·阶段练习）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ．
【变式4-3】（24-25七年级·贵州贵阳·阶段练习）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．．
【考点5 平行线的性质】
【例5】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
【变式5-2】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25七年级·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数．
【考点6 平行线的判定与性质】
【例6】（24-25七年级·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，且，求的度数．
【变式6-1】（24-25七年级·山西朔州·期中）如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，．
(1)若，请求出的度数；
(2)若，求证：．
【变式6-2】（24-25七年级·广东揭阳·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【变式6-3】（24-25七年级·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线．
(1)若，判断与是否平行，并说明理由；
(2)若射线平分，求的度数．
【考点7 平移】
【例7】（24-25七年级·重庆石柱·期中）如图，将沿方向平移得到，若，的周长为，则 度，四边形的周长为 ．
【变式7-1】（24-25七年级·北京·期中）下列四组图片中，可以通过平移一幅图片得到另一幅图片的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25七年级·上海嘉定·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．
【变式7-3】（24-25七年级·浙江·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（ ）
A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到
B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到
C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到
D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到
【考点8 平方根】
【例8】（24-25七年级·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求：
(1)，，的值．
(2)的平方根．
【变式8-1】（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（24-25七年级·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ．
【变式8-3】（24-25七年级·河北唐山·期中）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）．
(1)大正方形纸片的边长为______；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【考点9 立方根】
【例9】（24-25七年级·湖南衡阳·期末）若与互为相反数，则 .
【变式9-1】（24-25七年级·江苏镇江·开学考试）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【变式9-2】（24-25七年级·江苏无锡·期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根．
【变式9-3】（24-25七年级·河北邢台·期末）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求：
(1)这个长方体的底面边长；
(2)这个长方体的表面积．
【考点10 无理数及其估算】
【例10】（24-25七年级·四川巴中·期末）在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-1】（24-25七年级·重庆南岸·期末）估算 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【变式10-2】（24-25七年级·福建泉州·期末）已知是两个连续的整数，且，则 ．
【变式10-3】（24-25七年级·山东东营·期末）已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值．
(2)求的平方根．
【考点11 实数的运算】
【例11】（24-25七年级·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ．
【变式11-1】（24-25七年级·山东东营·期末）计算
(1)
(2)
【变式11-2】（24-25七年级·山东青岛·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数， 例如：，其中，；又如，其中，
回答下列问题：
(1)______，______；
(2)______；
(3)若，，则所有可能的值为______．
【变式11-3】（24-25七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
【考点12 平面直角坐标系中点的坐标特征】
【例12】（24-25七年级·福建福州·期中）点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式12-1】（24-25七年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ）
A． B．4 C．0 D．
【变式12-2】（24-25七年级·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ．
【变式12-3】（24-25七年级·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标；
(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．
【考点13 坐标与图形性质】
【例13】（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题：
(1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O；
(2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积．
【变式13-1】（24-25七年级·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)在图中画出，并求其面积．
【变式13-2】（24-25七年级·天津滨海新·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点．

(1)请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)求的面积；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标．
【变式13-3】（24-25七年级·山东泰安·期末）（1）【作图】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，．作出四个点，并将四个点用线段依次连接起来形成一个图案．
（2）【作图并思考】将（1）中四个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，这个图案与原图案有怎样的位置关系？
（3）【作图并思考】将（1）中四个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，这个图案与原图案又有怎样的位置关系？
（4）已知点为轴上一点，若的面积为6，求点的坐标．
【考点14 坐标系中的平移】
【例14】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为．
(1)画出；
(2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标；
(3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______．
【变式14-1】（24-25七年级·广西来宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点的坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ．
【变式14-3】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的．
(1)分别写出点、、的坐标；
(2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的；
(3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标．
【考点15 坐标系中的规律探究】
【例15】（24-25七年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ．
【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中方向运动，从原点出发，依次运动到点，，，，，，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式15-3】（24-25七年级·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【考点16 二元一次方程组的解法】
【例16】（24-25七年级·广东广州·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的值．
【变式16-1】（24-25七年级·四川广安·期中）用适当方法解下列方程组
(1)
(2)
【变式16-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　）
A． B． C． D．
【变式16-3】（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点17 二元一次方程（组）的解】
【例17】（24-25七年级·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值．
【变式17-1】（24-25七年级·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值
【变式17-2】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
【变式17-3】（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）．
A． B． C． D．
【考点18 实际问题与二元一次方程（组）】
【例18】（24-25七年级·广东广州·期中）科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元．
(1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因；
(2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案．
【变式18-1】（24-25七年级·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
【变式18-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲地到乙地由一段平路与一段上坡路组成，小明步行往返一次用了5小时，若在平路上每小时走4千米，上坡每小时走3千米，下坡每小时走6千米，那么小明这5小时共走 千米．
【变式18-3】（24-25七年级·广西南宁·期中）【问题情景】
南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案．
【调研发现】
市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩．
【解决问题】
(1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩．
请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩．
(2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？
(3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案．
【考点19 不等式的基本性质】
【例19】（24-25七年级·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　）
A．207 B．208 C．209 D．239
【变式19-1】（24-25七年级·安徽安庆·期末）设，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式19-2】（24-25七年级·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【变式19-3】（24-25七年级·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【考点20 解一元一次不等式(组)】
【例20】（24-25七年级·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
【变式20-1】（24-25七年级·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【变式20-2】（24-25七年级·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式的解集是，那么关于x的不等式的解集是 ．
【变式20-3】（24-25七年级·重庆·阶段练习）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【考点21 一元一次不等式(组)的解】
【例21】（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【变式21-1】（24-25七年级·河南洛阳·期末）如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
【变式21-2】（24-25七年级·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【变式21-3】（24-25七年级·安徽安庆·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
【考点22 一元一次不等式(组)的整数解】
【例22】（24-25七年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
【变式22-1】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【变式22-2】（24-25七年级·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ．
【变式22-3】（24-25七年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ．
【考点23 一元一次不等式(组)的应用】
【例23】（24-25七年级·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【变式23-1】（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【变式23-2】（24-25七年级·福建福州·期中）某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元．
(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【变式23-3】（24-25七年级·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【考点24 全面调查与抽样调查】
【例24】（24-25七年级·江苏盐城·期末）某县为了了解当地年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．名学生是总体
B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调查是全面调查
【变式24-1】（24-25七年级·贵州毕节·期末）下列选项适合采用普查的调查方式的是（ ）
A．了解全国老龄人的健康状况 B．了解你所在班级学生的体重
C．了解全国初中生的视力情况 D．了解一批电视机的使用寿命
【变式24-2】（24-25七年级·福建福州·期末）检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，应该采用的调查方式是 （选填“普查”或“抽样调查”）．
【变式24-3】（24-25七年级·广东深圳·期末）为了解盐田区岁以上老人健康状况，你认为以下几个抽样调查选取样本的方法合适的是（　　）
A．小明同学在公园里调查了名岁以上老年人健康状况
B．小颖同学在医院里调查了名岁以上老年患者健康状况
C．小红同学在自己所居住小区里调查了名岁以上老年邻居的健康状况
D．小华利用派出所的户籍网随机调查了盐田区的岁以上老年邻居的健康状况
【考点25 扇形图、条形图、折线图】
【例25】（24-25七年级·河北邯郸·阶段练习）某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（ ）
A．足球所在扇形的圆心角度数为
B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的
C．m与n的和为52
D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人
【变式25-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）某校团委会开展“科技改变未来”为主题的科技活动日，拟安排五场科技专题报告，每场专题报告时长均为90分钟，具体内容为：A．数学与生活；B．人工智能：C．科技与创新；D．AI与生活；E．理化前沿．为全面了解学生的参与意向（每个学生有且只能参与一场活动），团委会委托数学项目式学习小组对全校学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且都有效，并根据调查数据绘制成如图1、图2的两幅不完整的统计图．
“科技改变未来”科技活动日安排表
地点 时间 多功能厅（200座） 录播教室（100座）
8：00－9：30 C 设备检修
10：00－11：30 ① A
14：00－15：30 ② ③
请结合统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数和该学校的学生总人数；
(2)请在图1中补全条形统计图；
(3)学校团委会打算将专题报告的地点安排在多媒体教室和录播教室，相关信息如“活动日安排表”所示，其中A和C两场报告时间与场地已经确定．在确保听报告的每个同学都有座位的情况下，请你帮助项目组将B，D，E三场报告的场地合理安排在“活动日程表”中的①，②，③处（写出一种方案即可），并说明理由．
【变式25-2】（24-25七年级·江西鹰潭·期末）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：
根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ）
A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多
C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元
【变式25-3】（24-25七年级·贵州贵阳·期末）我国积极应对人口老龄化，建设老龄友好型社会．某社区现准备组建如下4个公益社团课：A．太极八段锦；B．棋牌；C．声乐合唱；D．刺绣编织；为了估计各社团人数，随机抽取社区部分65岁以上的老年人进行了问卷调查，调查结果见下表：
(1)计算各选项人数占调查总人数的百分比，请补充下表：
最想参与的课程 A．太极八段锦 B．棋牌 C．声乐合唱 D．刺绣编织
人数（人） 15 9 21 15
百分比
(2)请根据题意，将图1的扇形统计图补充完整（标注好各部分所占百分比与圆心角）；
(3)图2是国家统计局发布的《中国老龄化报告2024》，针对人口老龄化带来的问题，请你提出一个合理化建议．
【考点26 频数分布表和频数分布直方图】
【例26】（24-25七年级·陕西西安·期末）每年的月日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．现随机选取了部分学生的作文竞赛成绩（单位：分，成绩均不低于分），整理并制作成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
作文竞赛成绩频数分布表
分数段 频数 百分比
作文竞赛成绩频数分布直方图

请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)上表中的_____，______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若将调查结果按成绩分为优秀（）、良好（）和及格（）三个等级，并以此绘制成扇形统计图，求等级为优秀的部分所在扇形的圆心角度数．
【变式26-1】（24-25七年级·广西桂林·期末）某校对七年级（1）班同学的身高数据进行统计并制作成频数分布直方图，最高的身高为，最矮的身高为，若以为组距，则应分为 组．
【变式26-2】（24-25七年级·河北邢台·期末）某校进行植树活动，活动结束后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），根据图中所提供的信息，下列说法正确的是（ ）
A．共有24个班级参加植树活动 B．频数分布直方图的组距为2.5
C．有的班级种植树木的数量多于35棵 D．有3个班级都种了45棵树
【变式26-3】（24-25七年级·河北秦皇岛·期末）我县开展“讲文明、树新风”知识竞赛活动，某校组织了－－次知识竞赛，赛后发现所有参与者的成绩（总分分）均不低于分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名参与者的成绩进行整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
分数段（成绩为分） 频数 频率
请你根据统计图表解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是______，______，______，______，______；
(2)请补全参与者成绩分布直方图；
(3)竞赛按照分数由高到低共设置一、二三等奖，如果有的参与者能获得一等奖，那么一等奖的最低分数线是多少？
2024-2025学年七年级（下）期末必考题型专项复习【26大考点】
【人教版2024】
【考点1 对顶角】 1
【考点2 两条直线垂直】 5
【考点3 同位角、内错角、同旁内角】 9
【考点4 平行线的判定】 13
【考点5 平行线的性质】 16
【考点6 平行线的判定与性质】 19
【考点7 平移】 23
【考点8 平方根】 25
【考点9 立方根】 28
【考点10 无理数及其估算】 30
【考点11 实数的运算】 31
【考点12 平面直角坐标系中点的坐标特征】 34
【考点13 坐标与图形性质】 36
【考点14 坐标系中的平移】 41
【考点15 坐标系中的规律探究】 44
【考点16 二元一次方程组的解法】 48
【考点17 二元一次方程（组）的解】 51
【考点18 实际问题与二元一次方程（组）】 53
【考点19 不等式的基本性质】 57
【考点20 解一元一次不等式(组)】 59
【考点21 一元一次不等式(组)的解】 62
【考点22 一元一次不等式(组)的整数解】 65
【考点23 一元一次不等式(组)的应用】 67
【考点24 全面调查与抽样调查】 71
【考点25 扇形图、条形图、折线图】 73
【考点26 频数分布表和频数分布直方图】 79
【考点1 对顶角】
【例1】（24-25七年级·河南南阳·期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，平角的定义，理解角的相关知识是解答关键．
利用角平分线的有关计算，平角的定义，对顶角相等来分别计算求解．
【详解】解：平分，，
，
项正确；
，
．
平分，
，
，
正确；
，，
，
正确；
，，
，
正确．
综上所述，正确的有个．
故选：D．
【变式1-1】（24-25七年级·江西宜春·期末）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确的求出角的度数．
（1）由对顶角相等得，角平分线的定义得，进而可求出答案；
（2）由角平分线的定义得，，然后角的和差关系进行计算，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵直线相交于点，，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴
（2）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【变式1-2】（24-25七年级·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
【变式1-3】（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点平分．
(1)图中的余角是______________；
(2)如果，那么的大小为______________，理由是______________；
(3)如果，求和的大小．
【答案】(1)
(2)，对顶角相等
(3)，．
【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系
（1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果；
（2）由对顶角相等即可得出结果；
（3）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；
（2）∵，
∴．理由是：对顶角相等；
故答案为：，对顶角相等；
（3）∵平分，
∴，
∴，
∴．
【考点2 两条直线垂直】
【例2】（24-25七年级·浙江温州·期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【答案】(1)
(2)旋转的最小角度是
【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键．
（1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数；
（2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果．
【详解】（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
【变式2-1】（24-25七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可．
【详解】解：∵、相交于点，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2-2】（24-25七年级·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键．
（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案；
（2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴
【变式2-3】（24-25七年级·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，．
【答案】12或30
【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值．
【详解】解：当在右边时，如图：
，，
∴此时，重合，
，
∴三角板旋转的角度为，
（秒）；
当在左边时，如图：
，，
∴此时，与延长线重合，
∴
三角板旋转的角度为，
（秒）；
的值为：12或30．
故答案为：12或30．
【考点3 同位角、内错角、同旁内角】
【例3】（24-25七年级·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出一个与 互为同位角的角；
(3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解；
（2）根据同位角的定义即可求解；
（3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ；
（2）解：与互为同位角的角是；
（3）解： 的同旁内角是，
的内错角有，，
因为，
所以，
因为平分
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为．
【变式3-1】（24-25七年级·甘肃平凉·阶段练习）如图，下面说法错误的是（ ）
A．和是对顶角 B．和是同位角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
【答案】B
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意；
B、和不是同位角，故选项符合题意；
C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意；
D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-2】（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ．
【答案】 /80度 /80度 /100度
【分析】本题考查了相交线及其所成的角（同位角、内错角、同旁内角），熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
由同位角、内错角、同旁内角的定义即可直接得出答案．
【详解】解：，
的同位角的度数为，
的内错角的度数为，
的同旁内角的度数为，
故答案为：，，．
【变式3-3】（24-25七年级·河北唐山·阶段练习）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知．
(1)请说明的理由；
(2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的同位角，内错角，同旁内角
【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．
（1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系；
（2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题．
【详解】（1）解：∵是直线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴的同位角，内错角，同旁内角．
【考点4 平行线的判定】
【例4】（24-25七年级·山东菏泽·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)试说明：；
(2)若与互余，试说明：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）结合角平分线定义得到，即可证明；
（2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（24-25七年级·广东广州·期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．解答本题的关键是明确平行线的判定方法．
【详解】解：，
，不能得到，故①不符合题意；
，
，故②符合题意；
，，
，
，故③符合题意；
，
，不能得到，故④不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】（24-25七年级·山东潍坊·阶段练习）如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是 ．根据是 ．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定定理．根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行或者同位角相等，两直线平行，或者同旁内角互补，两直线平行解答即可．
【详解】解：①添加，
则，
∴（内错角相等，两直线平行）
②添加，
则，
∴（同位角相等，两直线平行）
③添加，
则
∴（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：，内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【变式4-3】（24-25七年级·贵州贵阳·阶段练习）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．．
【答案】，见解析．
【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，先得到，，再根据当时，则，即可得出答案.
【详解】解：当时，可使所铺管道．理由如下：
根据题意，得，
∴
当时，则，
∴．
∴当时，可使所铺管道．
【考点5 平行线的性质】
【例5】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式5-1】（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
【答案】64
【分析】本题考查了平行线的性质，由对顶角相等得到，求出，再根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式5-2】（24-25七年级·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式5-3】（24-25七年级·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数．
【答案】（1）15°或115°；（2）120°
【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．
（2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．
【详解】解：（1）①当∠1=∠2时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠1=2∠1-15°，
解得∠1=15°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠2+2∠2-15°=180°，
解得∠2=65°，
∴∠1=180°-∠2=115°；
（2）过D点作DI∥EF，
∵∠F=145°，
∴∠FDI=35°，
∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°．
∵GH∥AB，
∴∠H=180°-60°=120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．
【考点6 平行线的判定与性质】
【例6】（24-25七年级·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)与平行，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识．
（1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出．
（2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案．
【详解】（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解∶由（1）得．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
【变式6-1】（24-25七年级·山西朔州·期中）如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，．
(1)若，请求出的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质．
（1）根据平行线的判定以及性质求角的度数即可．
（2）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平角的定义得出，再根据平行线的性质得出，等量代换即可得证．
【详解】（1）解：因为，
所以，
∴；
（2）证明：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
【变式6-2】（24-25七年级·广东揭阳·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．
（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；
（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式6-3】（24-25七年级·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线．
(1)若，判断与是否平行，并说明理由；
(2)若射线平分，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等；
（2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：与平行，理由见解析；
，
，
，
，
；
（2）解：由三角板可知，，
，
平分，
，
，
．
【考点7 平移】
【例7】（24-25七年级·重庆石柱·期中）如图，将沿方向平移得到，若，的周长为，则 度，四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，由平移的性质可得，再由三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，据此根据平行线的性质可得的度数；根据三角形周长计算公式可得，再由四边形周长计算公式求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵的周长为，
∴，
∴四边形的周长
，
故答案为：；．
【变式7-1】（24-25七年级·北京·期中）下列四组图片中，可以通过平移一幅图片得到另一幅图片的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平移，关键是熟练掌握平移的定义；
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动；
利用平移不改变图形的形状和大小，对所给的选项进行分析判断，从而可得结论；
【详解】解：A选项形状不一样，B选项通过对称得到的，D选项大小不一样；
根据平移的定义，可知C选项符合题意；
故选：C
【变式7-2】（24-25七年级·上海嘉定·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．
【答案】同时
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，
则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边．
又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边，
所以甲、乙所走路程相等．
又因为它们爬行的速度相等，
所以它们同时回到洞中．
故答案为：同时．
【变式7-3】（24-25七年级·浙江·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（ ）
A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到
B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到
C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到
D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到
【答案】C
【分析】本题考查图形变换 平移，根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解．
【详解】解：由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到或将先向上平移2格，再向右平移3格得到或将先向下平移2格，再向左平移3格得到或将先向左平移3格，再向下平移2格得到，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【考点8 平方根】
【例8】（24-25七年级·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求：
(1)，，的值．
(2)的平方根．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得，，，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵，且，，，
∴，，，
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴9的平方根为，
即的平方根为．
【变式8-1】（24-25七年级·安徽安庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论．
【详解】解：第1行的最后一个数是，
第2行的最后一个数是，
第3行的最后一个数是，
……
第8行最后一个数字为，
∴第8行倒数第三个数是，
故选：C．
【变式8-2】（24-25七年级·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的性质可求出的值；
【详解】解：由题意可知：，
，
，
故答案为：．
【变式8-3】（24-25七年级·河北唐山·期中）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）．
(1)大正方形纸片的边长为______；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
【答案】(1)
(2)沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽．
（1）由正方形的面积公式即可求解；
（2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为，
大正方形纸片的边长为，
故答案为：；
（2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
长方形纸片的长是宽的倍，
设长方形纸片的长和宽分别是，，
，
，
，
，
长方形纸片的长是，
，
沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
【考点9 立方根】
【例9】（24-25七年级·湖南衡阳·期末）若与互为相反数，则 .
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的定义和非负数的性质：如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．由于与互为相反数，那么它们的和为0，然后根据非负数的性质即可得到它们每一个等于0，由此即可得到关于a、b的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式9-1】（24-25七年级·江苏镇江·开学考试）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】本题考查平方根和立方根．掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键，不要漏解．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：，
整理得，
解得：或；
（2）解：，
开方得：，
解得：．
【变式9-2】（24-25七年级·江苏无锡·期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根．
【答案】2
【分析】本题考查平方根，算术平方根和立方根，根据平方根和算术平方根的定义，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴的立方根为．
【变式9-3】（24-25七年级·河北邢台·期末）已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求：
(1)这个长方体的底面边长；
(2)这个长方体的表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了长方体的体积，表面积，立方根的应用，熟练掌握长方体的体积和表面积的计算公式是解决问题的关键．
（1）设这个长方体的底面边长为，则高为，然后根据正方体的体积公式列出方程，解此方程求出x即可；
（2）根据长方体表面积的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为，
依题意得：，
∴，
∴．
∴这个长方体的底面边长为；
（2）解：∵，
∴，
∴这个长方体的长为，宽为，高为，
∴这个长方体的表面积为：．
【考点10 无理数及其估算】
【例10】（24-25七年级·四川巴中·期末）在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数．求出，根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：在实数：，，，，，中，无理数有，，共2个．
故选：B
【变式10-1】（24-25七年级·重庆南岸·期末）估算 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用得到，从而可对进行估算．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式10-2】（24-25七年级·福建泉州·期末）已知是两个连续的整数，且，则 ．
【答案】
【分析】估算确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴m=5，n=6，
则m+n=5+6=11，
故答案为：11
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键．
【变式10-3】（24-25七年级·山东东营·期末）已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查平方根，立方根以及实数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意得到，，，即可得到答案；
（2）求出，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，即，
的整数部分c为3，
一个数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）可知：，，，
，
的平方根为：．
【考点11 实数的运算】
【例11】（24-25七年级·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图．将代入程序框图进行运算求解，即可解题．
【详解】解：当时，
则，是有理数，
，是有理数，
，是有理数，
是无理数，
所以输出的值是；
故答案为：．
【变式11-1】（24-25七年级·山东东营·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果．
（2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式11-2】（24-25七年级·山东青岛·期末）任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数， 例如：，其中，；又如，其中，
回答下列问题：
(1)______，______；
(2)______；
(3)若，，则所有可能的值为______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义．
（1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可；
（2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可；
（3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：，；
（2），
，
，
即，
，
故答案为：；
（3） ，，
，，
，
或，
故答案为：或．
【变式11-3】（24-25七年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；
（1）通过观察得出规律，根据规律即可解答；
（1）利用规律得出原式为，化简即可．
【详解】（1）根据规律可知，
=1+（n为正整数），
故答案为：1+；
（2）由规律可得，原式
．
【考点12 平面直角坐标系中点的坐标特征】
【例12】（24-25七年级·福建福州·期中）点的横坐标是，且到轴的距离为5，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键．点到轴的距离为5，点的纵坐标是或，又因为点的横坐标是，从而得到点的坐标．
【详解】解：点到轴的距离为5，
点的纵坐标是或，
点的横坐标是，
点的坐标是或．
故选：B．
【变式12-1】（24-25七年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ）
A． B．4 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查象限内点的符号特征，根据点在第三象限，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴的值可能为；
故选A．
【变式12-2】（24-25七年级·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴
∵平行于x轴，
∴设，
∵，
∴或，
∴点Q的坐标是或．
故答案为：或．
【变式12-3】（24-25七年级·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标；
(2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点与坐标的对应关系，点到坐标轴的距离，各个象限的点的特征，第二、四象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征．
（1）根据题意得到且，解答即可；
（2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解.
【详解】（1）解：由题意得：且，
∴且或，
∴，
当时，，
（2）解;∵在第二、四象限的角平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴.
【考点13 坐标与图形性质】
【例13】（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题：
(1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O；
(2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积．
（1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可；
（2）利用割补法计算即可．
【详解】（1）解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：如图，
．
【变式13-1】（24-25七年级·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)在图中画出，并求其面积．
【答案】(1)或；
(2)见解析，6．
【分析】本题主要考查了平面直角系中坐标与图形，两点之间的距离公式等知识．
（1）根据两点之间的距离公式求解即可．
（2）根据（1）中点C的坐标分别画出并求面积即可．
【详解】（1）解：∵，点C在x轴上，
∴，
解得：或，
故点C的坐标为：或；
（2）解：如下图所示：
则
【变式13-2】（24-25七年级·天津滨海新·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点．

(1)请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)求的面积；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)7
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

由图可得，；
（2）的面积为；
（3）解：设点P的坐标为，
∵的面积为8，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【变式13-3】（24-25七年级·山东泰安·期末）（1）【作图】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，．作出四个点，并将四个点用线段依次连接起来形成一个图案．
（2）【作图并思考】将（1）中四个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，这个图案与原图案有怎样的位置关系？
（3）【作图并思考】将（1）中四个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，将所得的四个点用线段依次连接起来，这个图案与原图案又有怎样的位置关系？
（4）已知点为轴上一点，若的面积为6，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）这个图案与原图案关于轴对称；（3）这个图案与原图案关于轴对称；（4）或
【分析】本题主要考查坐标系中描点，坐标变换，解题的关键是熟练掌握坐标系中点的坐标特点．
（1）根据点，，在坐标系中描点，然后再连线即可；
（2）根据题意得出四个点的对应点，然后再顺次连接即可；
（3）根据题意得出四个点的对应点，然后再顺次连接即可；
（4）设点的坐标为，根据的面积为6，列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）如图所示，四边形即为所求；
（2）如图所示，四边形即为所求；这个图案与原图案关于轴对称；
（3）如图所示，四边形即为所求；这个图案与原图案关于轴对称；
（4）设点的坐标为，则，
，
即，
解得：或，
点的坐标为或．
【考点14 坐标系中的平移】
【例14】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为．
(1)画出；
(2)在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出点的坐标；
(3)为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则 ，______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)3，1
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：
（1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答；
（2）找到点A，B，C的对应点，即可解答；
（3）根据“上加下减，左减右加”的平移规律，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n．
【详解】（1）解： 如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
∴；
（3）解：∵为中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，
∴，
∴．
故答案为：3，1．
【变式14-1】（24-25七年级·广西来宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点的坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移（由平移方式确定点的坐标），熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键：左减右加，上加下减．
根据坐标平移的变化规律“左减右加，上加下减”即可直接得出答案．
【详解】解：，
将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【变式14-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出的值即可解答．
【详解】解：由题可得，，
解得：，，
∴
故答案为：．
【变式14-3】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的．
(1)分别写出点、、的坐标；
(2)说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的；
(3)若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)三角形 先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，即得到三角形
(3)
【分析】本题考查了坐标与平移变化，准确识图是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可；
（2）根据图形，从点、的变化写出平移规律；
（3）根据平移规律写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：由点到点，横坐标减，纵坐标减，
则向左平移个单位，向下平移个单位得到；
（3）解：由向左平移个单位，向下平移个单位，
得点的坐标为．
【考点15 坐标系中的规律探究】
【例15】（24-25七年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ．
【答案】2027
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离．
【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是，
第4次跳动至点的坐标是，
第6次跳动至点的坐标是，
第8次跳动至点的坐标是，
……
第次跳动至点的坐标是，
则第2026次跳动至点的坐标是，
第2025次跳动至点的坐标是．
∵点与点的纵坐标相等，
∴点与点之间的距离．
故答案为：2027．
【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化，根据题意得出点的横坐标的变化规律是解题的关键．
根据题意得出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，按这个规律平移得到点，则的横坐标为，即可得到答案
【详解】解：根据题意得的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
按这个规律平移得到点，则的横坐标为，
按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为，
故选：B ．
【变式15-2】（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中方向运动，从原点出发，依次运动到点，，，，，，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动；纵坐标的变化规律是依次、、、每三个是一次循环运动，，根据变化规律即可解答．
【详解】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律，
可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
纵坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
，
的横坐标为，纵坐标为．
，
故选：C．
【变式15-3】（24-25七年级·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标规律，由题意出规律每四次运动，点的纵坐标依次为1，0，，0，横坐标每运动一次就加，结合，即可得出动点第2025次运动到点的横坐标为，纵坐标与第1次运动后的点的纵坐标相同，为1，从而得解．
【详解】解：∵第1次从点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次运动到点，
…
∴由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为1，0，，0，横坐标每运动一次就加，
∵，
∴动点第2025次运动到点的横坐标为，纵坐标与第1次运动后的点的纵坐标相同，为1，
∴动点第2025次运动到点，
故选：D．
【考点16 二元一次方程组的解法】
【例16】（24-25七年级·广东广州·阶段练习）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键；
（1）仿照题中消元方法解方程组即可；
（2）根据（1）所求代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
得：，即③，
得：④，
得：，
把代入③得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：当时，．
【变式16-1】（24-25七年级·四川广安·期中）用适当方法解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
将①代入②得，，
解得③，
将③代入①得，，
原二元一次方程组的解为；
（2）解：
①④得，③，
②得，④，
③④得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
原二元一次方程组的解为．
【变式16-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的变形，把x看作已知数求出y即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
【变式16-3】（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误．
【详解】解：由，
移项可得：，
方程两边同时乘以可得：，
故甲计算正确，
A选项不符合题意；
把代入得：，
故乙计算正确，
B选项不符合题意；
去分母可得：，
去括号可得：，
故丙计算错误，
C选项符合题意；
丁看到的是，
移项可得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入可得：，
故丁计算正确，
D选项不符合题意．
故应选：C．
【考点17 二元一次方程（组）的解】
【例17】（24-25七年级·陕西咸阳·阶段练习）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，掌握以上知识是解题的关键；
根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解；
【详解】解：由题意可知方程组的解和关于的二元一次方程组的解相同．
解方程组得：，
将代入方程组得：，
解得：，
所以
【变式17-1】（24-25七年级·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值
【答案】，
【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可．
本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，；
把代入的②中，得，
解得；
把代入①中，得，
解得，
故，．
【变式17-2】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
【答案】(1)具有友好关系．理由见解析
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值：
（1）用，得到，即可得出结论；
（2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可．
【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下：
由方程组，
得，
∴方程组的解x与y具有“友好关系”；
（2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”，
∴③
联立，
解得，
把代入中得，
则a，b的正整数值为或．
【变式17-3】（24-25七年级·安徽安庆·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ．
【详解】解：由得，
令，，
将可变为，
∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ，
∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足，
即，
故选：B ．
【考点18 实际问题与二元一次方程（组）】
【例18】（24-25七年级·广东广州·期中）科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元．
(1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因；
(2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案．
【答案】(1)小智的记录矛盾，理由见解答
(2)共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
（1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾；
（2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下：
设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，
根据题意得：，
解得：，
实验耗材的单价不能为负，
小智的记录矛盾；
（2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
共有2种购买方案，
方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；
方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材．
【变式18-1】（24-25七年级·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，
由题意得，，
解得
∴两个工程队各工作了天，
故选：．
【变式18-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲地到乙地由一段平路与一段上坡路组成，小明步行往返一次用了5小时，若在平路上每小时走4千米，上坡每小时走3千米，下坡每小时走6千米，那么小明这5小时共走 千米．
【答案】20
【分析】考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．注意可以通过间接方式得解．
设平路有千米，上坡路有千米，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时，即可得解．注意求得的值即为总路程．
【详解】设平路有干米，上坡路有千米，根据题意，得：
即
则（千米）
小明这5小时共走（千米）．
故答案是：20．
【变式18-3】（24-25七年级·广西南宁·期中）【问题情景】
南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案．
【调研发现】
市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩．
【解决问题】
(1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩．
请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩．
(2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？
(3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案．
【答案】(1)，
(2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑
(3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台；
方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台；
方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键：
（1）根据题意，直接列出代数式即可；
（2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可；
（3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩；
故答案为：，；
（2）解：由题意，得：，解得：；
答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑．
（3）解：由题意，得：，
∴，
∵均为正整数，
∴，，；
故共有3种租赁方案：
方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台；
方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台；
方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台．
【考点19 不等式的基本性质】
【例19】（24-25七年级·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　）
A．207 B．208 C．209 D．239
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解： ，是整数，
的最大值为；
，是整数，，
的最大值为；
，为整数，
的最大值为；
，为整数，，
的最大值为，
故选：A．
【变式19-1】（24-25七年级·安徽安庆·期末）设，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，
即，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，符合题意；
故选：．
【变式19-2】（24-25七年级·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【详解】解：由题可知，，
解得：，
故答案为：．
【变式19-3】（24-25七年级·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键．
根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答．
【详解】根据

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