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2024-2025学年七年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版七年级下册全部。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
7．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（ ）
刹车时车速 0 10 20 30 40 50
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量
B．随的增大而增大
C．当刹车时车速为时，刹车距离是
D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为
8．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　）
A．n B． C． D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
9．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 ．
10．已知，则等于 ．
11．如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ．
12．等腰三角形的两边长分别为和，则三角形的周长为 ．
13．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
15．（5分）先化简，再求值：，其中．
16．（5分）已知，如图，在，，于，平分，，求的度数．
17．（5分）如图，已知点在的边上，利用尺规作图法在内作，使得点在射线上，且．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，点B，M，N，C在同一直线上，，，求证：．
19．（5分）如图，已知，平分，求证：．
20．（5分）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)货车在乙地卸货停留了多长时间？
21．（6分）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
(1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
(2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
22．（7分）如图，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)已知P为y轴负半轴上一点，若的面积为12，求点P的坐标．
23．（7分）如图，已知的边的长为．高的长为cm．
(1)求的面积(单位：)与x之间的关系式；
(2)写出关系式中的自变量与因变量；
(3)当时，求的面积为多少
24．（8分）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是．
(1)求证：；
(2)已知是的中点．当时，求的长．
25．（8分）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形.
(1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________；
(2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积.
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
2024-2025学年七年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版七年级下册全部。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字；
B选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字；
故选：B．
2．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
故选：A．
3．如图，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：A．
4．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5，
∴第三边，即第三边，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，
∴该三角形的周长为，
故选：B．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
6．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【详解】解：由题意可知：，，，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：．
7．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（ ）
刹车时车速 0 10 20 30 40 50
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量
B．随的增大而增大
C．当刹车时车速为时，刹车距离是
D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为
【答案】C
【详解】解：在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故A正确，不符合题意；
由表格可得：随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，故B正确，不符合题意；
当刹车时车速为时，刹车距离是，故C错误，符合题意；
在限速的高速公路上，最大刹车距离为，故D正确，不符合题意；
故选：C．
8．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　）
A．n B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
在与中，
，
∴．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴图2中有对三角形全等；
同理：图3中有对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
9．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 ．
【答案】
【详解】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：
10．已知，则等于 ．
【答案】6
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：6．
11．如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ．
【答案】或35度
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．等腰三角形的两边长分别为和，则三角形的周长为 ．
【答案】
【详解】解：该三角形是等腰三角形，
边长组成有两种情况：，，或，，，
，即不符合三角形三边关系，
舍去，
三角形的周长为．
故答案为：．
13．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
【详解】解：原式（2分）
（4分）
（5分）
15．（5分）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：
（3分）
（4分）
当时，原式．（5分）
16．（5分）已知，如图，在，，于，平分，，求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，（2分）
∵，
∴，（4分）
∵平分，
∴．（5分）
17．（5分）如图，已知点在的边上，利用尺规作图法在内作，使得点在射线上，且．（不写作法，保留作图痕迹）
【详解】解：如图，点D即为所求．
（5分）
18．（5分）如图，点B，M，N，C在同一直线上，，，求证：．
【详解】证明：∵，
∴，（1分）
在与中，（3分）
∴，（4分）
∴．（5分）
19．（5分）如图，已知，平分，求证：．
【详解】解：，
，（1分）
，
，（2分）
平分，
，（3分）
，
，（4分）
．（5分）
20．（5分）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)货车在乙地卸货停留了多长时间？
【详解】（1）解：由题意得：时间x是自变量，货车距乙地的距离y是因变量．（2分）
（2）解：由图象可得：（小时），
答：货车在乙地卸货停留了1小时．（5分）
21．（6分）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
(1)估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
(2)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【详解】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；（2分）
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．（3分）
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．（6分）
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22．（7分）如图，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)已知P为y轴负半轴上一点，若的面积为12，求点P的坐标．
【详解】（1）解：如图，△即为所求．
（3分）
（2）解：设点的坐标为，（4分）
的面积为12，，
，（5分）
解得，（6分）
点的坐标为．（7分）
故答案为：．
23．（7分）如图，已知的边的长为．高的长为cm．
(1)求的面积(单位：)与x之间的关系式；
(2)写出关系式中的自变量与因变量；
(3)当时，求的面积为多少
【详解】（1）解：∵的边的长为．高的长为cm，的面积为，
∴；（3分）
（2）是自变量，是因变量（5分）
（3）当时，，（6分）
∴当时，求的面积为．（7分）
24．（8分）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是．
(1)求证：；
(2)已知是的中点．当时，求的长．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．（1分）
∵，
∴，
∴，
∴．（3分）
在和中，
∴；（5分）
（2）解：，
∴．
∵是的中点，，（7分）
∴，即的长为8．（8分）
25．（8分）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形.
(1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________；
(2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知小长方形的周长为，面积为，则求阴影部分的面积.
【详解】（1）解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：；；（2分）
（2）由（1）知：图2中阴影部分的面积为，
阴影部分的面积也可以看作大正方形与个小长方形的面积差，即为，
∴代数式，和之间的数量关系是：；（5分）
（3）解：这个小长方形的长为，宽为，则，，
∴，（6分）
由（2）知：，
∴阴影部分的面积是．（8分）
26．（10分）【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
【详解】证明：（1）点是的中点，
，
，
，
．（2分）
，
垂直平分 ，
，
在 中，
，
．（4分）
（2），
证明如下：
如图，延长至点，使 ，连接 ，
，
，（5分）
在和中，
，
，（7分）
，
在和中，
，
，（9分）
，
．（10分）

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