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2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【人教版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·福建三明·期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（3分）（2025·广东广州·一模）某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
6．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
7．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
12．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
13．（3分）（24-25八年级·河北承德·期末）学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
14．（3分）（24-25八年级·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ．
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
16．（3分）（24-25八年级·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·河南漯河·期末）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
19．（8分）（24-25八年级·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3．5 1．05
乙商家 4 1．24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________，
(2)表格中__________，__________，__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
20．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)观察图象，不等式组的解集是_______．
21．（10分）（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了．
(1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？
(2)这块绿化用地的面积是多少？
22．（10分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）【问题探究】
（1）如图1，在中，连接，．
①求证：是矩形；
②若，探究线段与线段之间的数量关系．
【问题解决】
（2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价．
23．（12分）（24-25八年级·云南大理·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28．
(1)分别求点A、B、C的坐标．
(2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点．
(1)①求证：；
②求证：；
(2)将沿折叠，得到，点的对应点为点．
①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数：
②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由；
③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积．
2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·福建三明·期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由点A的坐标为，得到 ，过P作轴于B，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
过P作轴于B，
设，
，，
，
，
，
故选：A．
3．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断．
【详解】解：∵，，
当时，，，
∴直线和直线交于点，
如图，当，时，直线在直线的上方，
则，故A选项正确，C选项错误；
如图，当时，
则时，，B选项错误；
则时，，D选项错误；
故选：A．
5．（3分）（2025·广东广州·一模）某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
【答案】B
【分析】本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差．根据条形统计图的数据对各项逐项进行计算即可．
【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，
则中位数为，
95出现了5次，最多，众数为95，
平均数为，
方差为，
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，由是等边三角形，求出的度数，又由，求得的长即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为，
∴，
又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，
∴，
设这个正比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得，
则这个正比例函数的表达式为，
故选：A．
8．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B

【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题．
【详解】解：由题知，四边形为正方形，
轴，即、的纵坐标相同，
当时，，即，
，则，
当时，，
的坐标为，
同理可得的坐标为，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
点的纵坐标是，
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，在取点P，使，连接，根据轴对称的性质得出，，，证明，，，设，，则，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，，在取点P，使，连接，如图所示：
根据轴对称可知：，，，，
∵矩形中，
∴，
∵三个全等菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是做出辅助线，熟练掌握相关的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
12．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：连接，
根据勾股定理可以得到：，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级·河北承德·期末）学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
【答案】86
【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数．
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案．
【详解】解：（分），
故答案为：86．
14．（3分）（24-25八年级·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称性可得为的中点，根据中点坐标公式求出，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：连接交于P，
∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，
∴直线经过平行四边形的中心，
∴为的中点，
∵，，
∴，即，
设直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
故答案为：．
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵矩形，，
∴，，
∵、的中点、，
∴，四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∵中，，，，，
∴，
解得，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
16．（3分）（24-25八年级·贵州毕节·期末）如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G作于H，在取点P，使，，得出，，进而得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，同理可证，，，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解∶过G作于H，在取点P，使，
∵，在正方形中，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，
当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，
同理可证，，
∴，
∴，
即点运动的路径长是，
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·河南漯河·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键．
（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则 6，，所以，则．
【详解】（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴ 6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3．5 1．05
乙商家 4 1．24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________，
(2)表格中__________，__________，__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】(1)；
(2)，，；
(3)小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【分析】（）用甲商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用乘以甲商家分的占比即可求解；
（）用乙商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
，
故答案为：，；
（2）解：从乙商家抽取了个评价分值，
甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
乙商家分的个数是9个，最多，
∴众数，
乙商家平均数，
故答案为：，，；
（3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
20．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)观察图象，不等式组的解集是_______．
【答案】(1)，
(2)或；
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式；
（2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可；
（3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
，
，
即点坐标为，
∵一次函数经过、点，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：当，则，
∴，
设，且的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：由图象可得不等式组的解集为：．
21．（10分）（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了．
(1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？
(2)这块绿化用地的面积是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）连接，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，，，
，
答：这条小路的最短长度是；
（2）解：∵，，
，
，
，
答：这块绿化用地的面积是．
22．（10分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）【问题探究】
（1）如图1，在中，连接，．
①求证：是矩形；
②若，探究线段与线段之间的数量关系．
【问题解决】
（2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价．
【答案】（1）①见解析，②；（2）400万元
【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由得到，在中，运用勾股定理即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，先证明，则，则，由上知，那么，同上可得，，则，此时，那么，即可求解总造价．
【详解】（1）①证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
②解：，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
由上知，
∴，
在中，，
∴同上可得，
∴，
∴，
∴，
∴总造价为：（万元）．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）（24-25八年级·云南大理·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28．
(1)分别求点A、B、C的坐标．
(2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1），分别代入即可求得点B、A的坐标，再根据，即可求得，从而可求点C坐标；
（2）先根据中点坐标公式求出中点，然后用待定系数法求解即可；
（3）①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的左边时，③当为平行四边形的右边时，分别 求出点D的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A与轴交于点B
∴把代入解析式得：，
∴，
把代入解析式得：，
∴，
∴
∵
即，而，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵当点刚好运动到的中点时，
∴，，
∴
设直线解析式为，
把，分别代入解析式得：
，解得：，
∴直线解析式为．
（3）解：存在．
①如图，当为平行四边形的对角线时，
∵平行四边形，
∴，即，
∴，
把代入直线解析式，得，
∴，
又∵，且，
∴．
②如图，当为平行四边形的左边时，
同理，
把代入直线解析式，得，
∴
又∵，且，
∴，
③如图，当为平行四边形的右边时，作轴于点，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴在和中，，
∴
∴，即的纵坐标为
把代入直线解析式，得，
∴，
又∵，
∴
综上，在x轴上存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形．
此时，点D的坐标为或或．
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
24．（12分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点．
(1)①求证：；
②求证：；
(2)将沿折叠，得到，点的对应点为点．
①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数：
②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由；
③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积．
【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解；
(2)①；②是等腰直角三角形；③
【分析】（1）①根据正方形的性质可得，根据折叠的性质，可得，由此即可求证；
②根据正方形的性质可得，则有，由全等三角形的性质可得，由，即可求证；
（2）①根据全等三角形的性质，折叠的性质，正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，再由，即可求解；
②根据题意可证是等边三角形，是等腰三角形，得到，根据折叠的性质，三角形内角和定理可得，由此可得，由此即可求解；
③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到，可得，，，由此可得，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：①由（1）可知，
∴，
∵将沿折叠，得到，点的对应点为点，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②沿折叠得到，沿折叠得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到，
∴，，，
由（1）可知，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵四边形是正方形，，
∴，则，
在中，，
∵折叠，
∴，
由上述证明可得，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，，
∴点为顶点的四边形面积为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

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