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2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【人教版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．2
4．（3分）（24-25八年级·北京西城·期中）如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时
6．（3分）（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （ ）
A． B． C．11 D．12
10．（3分）（24-25八年级·北京海淀·期中）如图，点是菱形内一点，轴，轴，，，，若一次函数的图象经过、两点，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．
12．（3分）（2025·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ．
13．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，，，、两点分别在、边上，且，若，则点的坐标为 ．
14．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）如图，已知正方形边长为8，点O为对角线的交点，四边形为正方形，F、H在边上，且，则正方形的面积是 ．
15．（3分）（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °．
16．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
19．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、．
(1)求证：；
(2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：四边形是平行四边形；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
20．（8分）（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整．
(2)补全下面的表格中的数据：________，________，________．
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级
乙校测试班级
(3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？
21．（10分）（24-25八年级·安徽芜湖·期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米）．图中的折线表示与之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；
(2)求动车和普通列车的速度；
(3)求点坐标和直线解析式；
(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．
22．（10分）（24-25八年级·河北唐山·期末）在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由．
(2)若四边形为矩形，求的值．
(3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果）
23．（12分）（24-25八年级·广东佛山·期末）直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
(1)如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
(2)如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
(3)如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
24．（12分）（24-25八年级·辽宁锦州·阶段练习）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）：
①；
②；
③四边形的面积总等于；
④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度．
2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
2．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，过作于，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：．
3．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】如图，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答．
【详解】解：连接并延长交于，过作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
，
∵点分别是边的中点，，
，
，
，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∵点是的中点，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
4．（3分）（24-25八年级·北京西城·期中）如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答．
【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．
，，
，
如图，连接，
，
当点M与点E，点H重合时，
此时，三点再一条直线上，
的面积都为0，
当点M与点F时重合，
此时，
的面积为，
当点M与点G时重合，
此时，
的面积为，
由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，
时，的面积先增大后减小，
时，点M运动的路径是，
点M运动的路径是．
故选：D．
5．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时
【答案】C
【分析】利用众数及中位数的定义解答即可．
【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为5，不合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答．
6．（3分）（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答．
【详解】解：过点D作，交于点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
7．（3分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，

∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时，是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴有最小值为，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键．
8．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在四边形中，，连接对角线，点为边上一点，连接平分，与交于点，若点恰为中点，且 ，则 （ ）
A． B． C．11 D．12
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质等知识，过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则，由角平分线性质得到，证明，则，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，再证明，则，由勾股定理得到，则，勾股定理求出，则，由勾股定理求出，即可得到.
【详解】解：过点D作于点H，过点H作于点I，过点E作于点G，则，
∵， 平分 ，
∴，
∴，
∵点恰为中点，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
10．（3分）（24-25八年级·北京海淀·期中）如图，点是菱形内一点，轴，轴，，，，若一次函数的图象经过、两点，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点作轴于点，延长交于点，可证明，则，由，可得，由，可知，所以，所以点的纵坐标为，再求出，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而求出、的坐标，利用待定系数法求出，的值即可．
【详解】解∶过点作轴于点，延长交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴轴，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵轴，
∴，
又∵轴，轴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴点的坐标为，
∴ ，
∴点的坐标为，
∵一次函数的图象经过、两点，则
解得．
故选∶ B．
【点睛】本题主要考查一次函数函数与几何的综合问题，涉及到菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，求出关键点C、D的坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．
【答案】 3 75
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故的小数部分为
故答案为：3；75；
12．（3分）（2025·江苏宿迁·二模）若非负数a，b，c满足，则数据a，b，c的方差的最大值是 ．
【答案】8
【分析】先求出的平均数，计算方差，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴数据a，b，c的平均数为，
设数据a，b，c的方差为S，
，
非负数，，满足
，即，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，根据已知条件推出是解题关键．
13．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，，，、两点分别在、边上，且，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解．
【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图：
则，
∴，
∴
在矩形中，，
∴
∴四边形为矩形
∴，，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则，
设直线解析式为
∵，，
∴
∴，代入得，，解得，
又∵点在直线上，
∴
解得，即
∴
∴点坐标为
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解．
14．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）如图，已知正方形边长为8，点O为对角线的交点，四边形为正方形，F、H在边上，且，则正方形的面积是 ．
【答案】10
【分析】过点O作于M，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，进一步可得到；过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形，可得，；证明，得到；再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，则，根据，得到，解方程得到，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形，
∴，；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴正方形的面积为10，
故答案为；10．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
15．（3分）（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，在中，点D是的中点，、相交于点F，且满足，，，则 °．
【答案】35
【分析】延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，证明，得出，，根据等腰三角形的判定得出，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为菱形，得出，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，求出，根据三角形外角的性质得出．
【详解】解：延长，取点H，使，连接，过点B作，使，连接，，，如图所示：
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
16．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则
【答案】9
【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解；
【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．
，
，
，
O为中点，
，
延长使得，连接，
∵，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：9．
【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
而，则
∴
（3）解：
．
18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
19．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、．
(1)求证：；
(2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：四边形是平行四边形；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明；
（2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图，记的交点为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形四边形是平行四边形；
②，理由见解析：
∵为等边三角形；
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由对折可得：，
∵四边形四边形是平行四边形；
∴，
∴，
如图，过作于，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
20．（8分）（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整．
(2)补全下面的表格中的数据：________，________，________．
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级
乙校测试班级
(3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？
【答案】(1)见解析；
(2)，，；
(3)人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键．
根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图；
根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可；
利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可．
【详解】（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级，
从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的，
乙校参加测试的学生的总人数为(人)，
甲校参加测试的学生总数也是人，
甲校成绩为级的人数为(人)，
补全甲校测试班级成绩统计图如下：
：
（2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级，
甲校测试班级的中位数是分，
即，
乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)，
获得级的有(人)，获得级的有(人)，
乙校测试成绩的平均数为：，
乙校测试成绩中获得级的人数最多，
乙校测试成绩的众数是，
故答案为：，，；
（3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的，
利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)，
答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人．
21．（10分）（24-25八年级·安徽芜湖·期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米）．图中的折线表示与之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；
(2)求动车和普通列车的速度；
(3)求点坐标和直线解析式；
(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．
【答案】(1)1800
(2)动车的速度为；普通列车的速度
(3)，
(4)或
【分析】(1)根据图像，直接得到．
(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度．
(3)根据题意，动车达到目的地的时间为，根据图像，得到，此时相遇后各自行驶2小时，此时，确定，利用待定系数法确定的解析式．
(4)分相遇前和相遇后两种情形计算．
【详解】（1）根据图像，得到当时，，
两地距离为，
故答案为：．
（2）根据图像，慢车走完全程用时12小时，
∴普通列车的速度为，
根据4小时相遇，得，
解得．
（3）根据题意，动车达到目的地的时间为，
根据图像，得到，
此时相遇后各自行驶2小时，此时，
故，
设的解析式为，
∵，
∴，
解得，
故的解析式为．
（4）设经过x小时，辆车相距1000千米，
当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，
得，
解得；
当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，
得，
解得，
故行驶总时间为，
故经过或，辆车相距1000千米．
【点睛】本题考查了图像信息的读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键．
22．（10分）（24-25八年级·河北唐山·期末）在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由．
(2)若四边形为矩形，求的值．
(3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果）
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析
(2)四边形为矩形时或
(3)当时，四边形为菱形
【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
∴，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图1，连接，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
（3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
23．（12分）（24-25八年级·广东佛山·期末）直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
(1)如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
(2)如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
(3)如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题易得，所以，，再根据等腰三角形可知，再根据外角性质可得，即可得解；
（2）根据题意可得，由逆等线模型构造全等，过作轴，且，连接，证，得到，从而，再利用勾股定理求出值即可；
（3）先求出解析式，利用平行线将进行等角转化，过点作交于点，所以，亦可得出直线的解析式，进而求出的坐标，再利用构造等腰直角三角形，过作于点，进而构造一线三垂直的全等，求出点坐标，然后求出直线的表达式，即可得解．
【详解】（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，；
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为；
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点与二元一次方程组、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．（12分）（24-25八年级·辽宁锦州·阶段练习）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）：
①；
②；
③四边形的面积总等于；
④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）①②③④ （2），见解析（3） 或
【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定①
②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确．
（2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论；
（3）仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，
∴；，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
故①②正确；
根据正方形的性质，得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
根据勾股定理得到，
故，
故④正确．
故答案为：①②③④．
（2）解：连接，延长交于点G，
∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，
∴；，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由勾股定理，得，
故．
（3）解：当点E在上时，
过点B作，交的延长线于点M，连接
∵，
∴；，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由勾股定理，得，
故．
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点E在的延长线上时，
过点B作，交的延长线于点N，连接
∵，，
∴；，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由勾股定理，得，
故．
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
故的长度为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．

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