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2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版2024八年级数学下册全部。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．某公司有10名员工，每人年收入数据如表：
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 2 3 4 1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　）
A．8，6 B．6，7 C．8，7 D．8，5
5．电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路高歌的同时，位于贵阳市的越界影城也因为绝佳观影体验走红，颠覆了外界对贵州的刻板印象，成为贵州展示技术实力的窗口．《哪吒2》首日票房达到4.87亿元，第三天票房达到6.19亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x，则方程可列为（　　）
A．4.87（1+x）3＝6.19
B．4.87（1+x）2＝6.19
C．4.87+4.87x+4.87x2＝6.19
D．4.87+4.87（1+x）+4.87（1+x）2＝6.19
6．如图，已知直线与正六边形ABCDEF的边AB，CD分别相交于点M，N，则α+β＝（　　）
A．115° B．120° C．135° D．144°
7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点，CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB＝45°，BE＝6，，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现在已知△ABC的三边长分别是1，2，2，则三角形的面积是（　　）
A．4 B． C． D．
9．对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）下列说法：
①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0；
②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立；
③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1；
④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCH D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．写一个使二次根式有意义的x的值 　　 ．
12．已知样本数据被分成4组，第一、二、三、四组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组的频率为　0.4　 ．
13．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图1．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为7.2m2，则这些桌面的宽度为　　 m．
14．如图，在菱形ABCD中，DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．解决下列问题：
（1）若∠A＝66°，则∠BGD＝　　 ；
（2）若BD＝BC，则CG：FG＝　　 ．
解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）15．计算：．
16．（8分）解一元二次方程：2x2﹣x﹣15＝0．
17．（8分）已知，如图，AD是△ABC在BC边上的高，AD＝12，BC＝21，BD＝5，求AC的长．
18．（8分）某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加60%．第三季度的产量比第二季度减少10%，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为a．
（1）请用含a的代数式填写下表（填化简之后的结果）：
季度 一 二 三
产量/辆 a _____ 　　 _______ 　　
（2）求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率．
19．（10分） 如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD边于点E，过E作EF∥CD交BC边于点F．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，AE＝3，∠A＝60°，求CE的长．
20．（10分） 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式：1+2×1+1＝4；
第二个等式：4+2×2+1＝9；
第三个等式：9+2×3+1＝16；
第四个等式：16+2×4+1＝25；
…
第n个等式可写为：n2+2n+1＝（n+1）2．
（1）老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：
（1+2×1+1）+（4+2×1+1）+…+[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]+（n2+2n+1）＝4+9+…+n2+（n+1）2
整理得，1+（4+9+…+n2）+2×（1+2+…+n）+n＝（4+9+…+n2）+（n+1）2
∴…
∴1+2+3+…+n＝…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式：13+3×（12+1）+1＝23；
第二个等式：23+3×（22+2）+1＝33；
第三个等式：33+3×（32+3）+1＝43；
第四个等式：43+3×（42+4）+1＝53；
…
【问题解决】（1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
（2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：　　 ；猜想第n个等式：　 ，请你证明这个猜想．
（3）你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于12+22+32+ +n2的公式．
21．（12分） 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：
67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝　　 ，b＝　　 ，m＝　　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
22．（12分） 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
（1）化简： 　　 ；
（2）比较大小： 　　 ；（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
（3）设有理数a、b满足：，则a+b＝ 　 ；
（4）已知，求的值．
23．（14分） 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　　 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版2024八年级数学下册全部。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据最简二次根式定义，逐项答案判断如下：
A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
【答案】D
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【答案】B
【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
4．某公司有10名员工，每人年收入数据如表：
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 2 3 4 1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　）
A．8，6 B．6，7 C．8，7 D．8，5
【答案】C
【解答】解：根据一组数据中出现次数最多的是众数，排序后，位于中间一位或两位的平均数为中位数可得：
出现次数最多的是8，故众数为8；
第5个和第6个数据分别为6和8，故中位数为：；
故选：C．
5．电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路高歌的同时，位于贵阳市的越界影城也因为绝佳观影体验走红，颠覆了外界对贵州的刻板印象，成为贵州展示技术实力的窗口．《哪吒2》首日票房达到4.87亿元，第三天票房达到6.19亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为x，则方程可列为（　　）
A．4.87（1+x）3＝6.19
B．4.87（1+x）2＝6.19
C．4.87+4.87x+4.87x2＝6.19
D．4.87+4.87（1+x）+4.87（1+x）2＝6.19
【答案】B
【解答】解：根据题意得：4.87（1+x）2＝6.19．
故选：B．
6．如图，已知直线与正六边形ABCDEF的边AB，CD分别相交于点M，N，则α+β＝（　　）
A．115° B．120° C．135° D．144°
【答案】B
【解答】解：∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B＝∠C＝720°÷6＝120°，
∵α＝∠BMN，β＝∠CNM，
∴α+β＝∠BMN+∠CNM，
∵∠BMN+∠CNM+∠B+∠C＝360°，
∴∠BMN+∠CNM＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
即α+β＝120°．
故选：B．
7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点，CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB＝45°，BE＝6，，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE交CE延长线于H，
∵∠AEB＝45°，
∴∠AEH＝45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴，
设CE＝x，则CH＝x+2，
由勾股定理得，BC2＝AB2+AC2＝2AC2，BC2＝CE2+BE2＝x2+62＝x2+36，
AC2＝AH2+CH2＝22+（x+2）2＝x2+4x+8，
∴2（x2+4x+8）＝x2+36，
解得x1＝2，x2＝﹣10（不合，舍去），
∴CE＝2，
∴，
∵点F为BC的中点，
∴，
故选：A．
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现在已知△ABC的三边长分别是1，2，2，则三角形的面积是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由公式可得，
故选：B．
9．对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）下列说法：
①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0；
②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立；
③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1；
④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则（﹣1）×2＝﹣2
∴c＝2a，
∴2a﹣c＝0；
故①正确；
若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0，
∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0，
故②错误；
若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0，
即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1；
故③正确；
若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0），
当x时，cx2+bx﹣a＝cba0，
即若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根x，
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCH D．
【答案】B
【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形，故A正确；
∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，
∴ACAB＝9，
∴CE+CG＝9，故D正确；
∵△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCH，故C正确；
∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK≠∠CEF，
∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，
故选：B．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．写一个使二次根式有意义的x的值 　　 ．
【答案】1（答案不唯一）．
【解答】解：由二次根式的被开方数不小于零的条件可知
x﹣1≥0，
解得x≥1，
∴x的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
12．已知样本数据被分成4组，第一、二、三、四组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组的频率为　0.4　 ．
【答案】0.4．
【解答】解：由题意得：第二小组的频率0.4，
故答案为：0.4．
13．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图1．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为7.2m2，则这些桌面的宽度为　　 m．
【答案】0.6
【解答】解：设这些桌面的宽度为x m，
则由图2可得，小桌的长为2x m，中桌的长为3x m，长桌的长为4x m，
∴根据题意列方程得，2x2×3+3x2×2+4x2×2＝7.2，
整理得，20x2＝7.2，
解得x＝0.6或﹣0.6，
∵x＞0，
∴x＝﹣0.6舍去，即x＝0.6，
即这些桌面的宽度为0.6m．
故答案为：0.6．
14．如图，在菱形ABCD中，DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．解决下列问题：
（1）若∠A＝66°，则∠BGD＝　　 ；
（2）若BD＝BC，则CG：FG＝　　 ．
【答案】（1）114°；
（2）4：1．
【解答】解：（1）∵DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，
∴∠BFA＝∠DEA＝90°，
∵∠A＝66°，
∴∠BGD＝∠EGF＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，
故答案为：114°；
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵BD＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∠BCD＝∠A＝60°，
∵DE⊥AB，BF⊥AD，
∴DE、BF分别是∠ADB、∠ABD的角平分线，
∴∠GDB＝∠GBD＝30°，
∴GD＝GB，
∴CG是BD的垂直平分线，
设CG与BD交于点H，如图所示，
∴DG＝2GH＝2FG，
∵CD∥AB，∠DEB＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∵∠GCD＝30°，
∴CG＝2GD＝4FG，
∴CG：FG＝4FG：FG＝4：1．
故答案为：4：1．
解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）15．计算：．
【解答】解：原式＝5（2﹣23） （4分）
＝5﹣55+2 （6分）
＝﹣3． （8分）
16．（8分）解一元二次方程：2x2﹣x﹣15＝0．
【解答】解：2x2﹣x﹣15＝0，
∴（2x+5）（x﹣3）＝0， （4分）
∴2x+5＝0或x﹣3＝0，
解得：x1，x2＝3． （8分）
17．（8分）已知，如图，AD是△ABC在BC边上的高，AD＝12，BC＝21，BD＝5，求AC的长．
【解答】解：∵AD是△ABC在BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝12，BC＝21，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16， （4分）
∴AC20． （8分）
18．（8分）某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加60%．第三季度的产量比第二季度减少10%，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为a．
（1）请用含a的代数式填写下表（填化简之后的结果）：
季度 一 二 三
产量/辆 a _____ 　　 _______ 　　
（2）求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率．
【解答】解：（1）由题意，第二季度的产量为：a（1+60%）＝1.6a；
第三季度的产量为：1.6a（1﹣10%）＝1.44a；
填表如下：
季度 一 二 三
产量/辆 a 1.6a 1.44a
故答案为：1.6a，1.44a； （4分）
（2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为x，
由题意，得：a（1+x）2＝1.44a，
整理得，x2+2x﹣0.44＝0，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）；
答：该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为20%．（8分）
19．（10分） 如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD边于点E，过E作EF∥CD交BC边于点F．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，AE＝3，∠A＝60°，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠ECD，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠DEC，
∴∠ECD＝∠DEC，
∴CD＝DE，
∴四边形CDEF是菱形； （4分）
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴AE∥BF，
∵四边形CDEF为菱形，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形， （6分）
∴AE＝BF＝3，AB＝EF，
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴AE+DE+CD+CF+BF+AB＝6+4CD＝22，
∴CD＝4，
∵∠A＝60°，
∴∠DCF＝∠A＝60°，
∴∠DCO∠DCB＝30°，
∵CE⊥DF，
∴ODCD＝2，
∴OC2，
∴CE＝2OC＝4． （10分）
20．（10分） 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式：1+2×1+1＝4；
第二个等式：4+2×2+1＝9；
第三个等式：9+2×3+1＝16；
第四个等式：16+2×4+1＝25；
…
第n个等式可写为：n2+2n+1＝（n+1）2．
（1）老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：
（1+2×1+1）+（4+2×1+1）+…+[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]+（n2+2n+1）＝4+9+…+n2+（n+1）2
整理得，1+（4+9+…+n2）+2×（1+2+…+n）+n＝（4+9+…+n2）+（n+1）2
∴…
∴1+2+3+…+n＝…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式：13+3×（12+1）+1＝23；
第二个等式：23+3×（22+2）+1＝33；
第三个等式：33+3×（32+3）+1＝43；
第四个等式：43+3×（42+4）+1＝53；
…
【问题解决】（1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
（2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：　　 ；猜想第n个等式：　 ，请你证明这个猜想．
（3）你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于12+22+32+ +n2的公式．
【解答】解：（1）由题意，1+2（1+2+ +n）+n＝（n+1）2，
∴2（1+2+ +n）＝（n+1）2﹣n﹣1＝n2+n．
∴1+2+…+n． （3分）
（2）由题意，第5个等式：53+3×（52+5）＝63；
猜想第n个等式：n3+3（n2+n）+1＝（n+1）3，证明如下：
∵左边＝n3+3n2+3n+1，右边＝（n+1）3＝（n+1）2（n+1）（n2+2n+1）＝（n+1）＝n3+3n2+3n+1，
∴左边＝右边；
∴原等式成立．
故答案为：53+3×（52+5）＝63；n3+3（n2+n）+1＝（n+1）3．（6分）
（3）把（2）中的等式相加可得：3（12+22+32+……n2+1+2+3+……n）+n＝（n+1）3﹣1，
∴12+22+32+……n2
[（n+1）3﹣1﹣n]
． （10分）
21．（12分） 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
10名女生对《哪吒2》的评分分数：
67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86．
20名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生 88 a 90 112.2 10%
男生 88 100 b 200.2 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝　　 ，b＝　　 ，m＝　　 ；
（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
【解答】解：（1）10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．
98出现最多，则a＝98，
根据统计表可得满分的有5人，则中位数为第5和第6个数据，10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86．
则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100，
则，
A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，且A，B的人数都不为0，
∴评分分数为A和B的人数都是1人，
∴，解得m＝10，
故答案为：98，93，10． （6分）
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》；（8分）
（3）用400和500分别乘以评分在D组的占比可得：
（人）．
答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人．（12分）
22．（12分） 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
（1）化简： 　　 ；
（2）比较大小： 　　 ；（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
（3）设有理数a、b满足：，则a+b＝ 　 ；
（4）已知，求的值．
【解答】解：（1），
故答案为：； （2分）
（2）∵
，
同理，
∵，
∴，
即，
∵0，，
∴，
故答案为：＞； （6分）
（3）∵，
∴31，
∴（）a+（）b＝31，
∴（a+b）（a﹣b）＝3，
∵a、b为有理数，
∴a+b，a﹣b为有理数，
∴a+b＝3，
故答案为：3； （9分）
（4）∵，
令a，b，
∴12﹣x＝a2，4﹣x＝b2，且a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝8，
∴（a+b）（a﹣b）＝8，
∴a+b＝4，
即． （12分）
23．（14分） 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是 　　 ．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（2）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝　　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
【解答】解：阅读材料：
根据旋转△ABG≌△QDE，
∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°； （4分）
（1）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝90°，
∵AD＝CD＝10，
∴四边形AFCD是正方形，
∴CF＝10，
根据上面结论，可知BE＝DE+BF，
设BE＝x，
∵DE＝4，
∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，
∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，
CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴36+（14﹣x）2＝x2，
解得：x，
故BE； （8分）
（3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，
连接BF，CF，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，
∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
又∵AC＝AF，AB＝AD，
∴△FAB≌△CAD（SAS），
∴BF＝CD，
∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，（10分）
在△BCF中，BF≤BC+CF，
当B、C、F三点共线时，
BF取最大值，此时BF＝BC+CF，
在等腰直角三角形ACF中AC＝AF＝4，∠ACF＝45°，
∴CFAC＝4，
∵CB＝6，
BF最大为：46，即CD最大值为46，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．
故答案为：135°．（14分）
）

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