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2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【沪科版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15
4．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ）
A． B．4 C． D．
7．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·广西贵港·期末）如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当 时，作于，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ．
12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
13．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6
人数 26 16 22 32 43 14
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
分数 100 90 80 70 60 50及以下
比例 5 2 1 1 1 0
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ．
16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
19．（8分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
20．（8分）（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）．
某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述．
下面给出了部分信息：
信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息．
结合信息一解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________；
（2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组；
（3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？
信息二：
抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表：
运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试
平均分
方差
（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议．
21．（10分）（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形；
(2)如图1，“奋进四边形”中，，．
①当，且时，求的长；
②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”；
(3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长．
22．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．

【探究】如图1，连接，若点在线段上，且．
（1）证明：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由．
【拓展】如图2，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
23．（12分）（24-25八年级·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．
表（1）
算法一 女性理想体重 男性理想体重
算法二
算法三
表（2）
实际体重 类别
大于理想体重的 肥胖
介于理想体重的 过重
介于理想体重的 正常
介于理想体重的 过轻
小于理想体重的 消瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？
24．（12分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积．
(2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：；
(3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积．
2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据题意则有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可．
【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数，
∴当x＞0时，max（x，-x）=x，
方程为x2=2x+1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
∴x-1=±，
∴x=1±，
∴x＞0，
∴x=1+；
当x＜0时，max（x，-x）=-x．
方程为-x2=2x+1
x2+2x+1=0，
（x+1）2=0，
∴x=-1，
故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+
故选C．
【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x2=2x+1和-x2=2x+1是本题的关键．
3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15
【答案】B
【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，根据相关知识点一一判断即可；
【详解】解：A．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意；
B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意；
C．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意；
D．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意；
故选：
4．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
连接，设，证得，结合平行四边形的性质得、、、，通过勾股定理，构建方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
整理，得：，
解得：（负值舍去），
，
点的坐标为．
故选：D．
6．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
，，
；
当点位于边上时，如图所示：
菱形中，，，
是等边三角形，
过点作于点，
，
由勾股定理得，
，
点与点重合，
；
当点位于边上时，
，，，
，
，
由勾股定理得．
综上，的长为或4或．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，，则，再证明四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形，则，再证明，则，可推导出，则，再由，求得，则，再推导出，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
设正方形和正方形的边长分别为、，
，，
，
四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明并且求得是解题的关键．
8．（3分）（24-25八年级·广西贵港·期末）如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当 时，作于，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作AP⊥EG于点P，作HM⊥AD，HN⊥CG， 易证∠GAF=∠GCE=45°，进而得：AH=HF，由余角的性质，得∠GAD=∠GFH，得到 AMH FNH(AAS)，进而得：四边形HMDN是正方形，设HM=x，则FN=1+x，AM=2-x，列出方程，即可得到答案.
【详解】作AP⊥EG于点P，作HM⊥AD，HN⊥CG，
∵，
∴AB=AP，
∵四边形是正方形，
∴AD=AP，
∴AG平分∠CGP，
∵∠PGC-∠GEC=∠GCE，∠PGA-∠GEA=∠GAF，
∴∠GAF=∠GCE=45°，
∵，
∴AH=HF，
∵∠GAD+∠AGF=90°，∠GFH+∠AGF=90°，
∴∠GAD=∠GFH，
在 AMH和 FNH中，
∵，
∴ AMH FNH(AAS)，
∴HM=HN，AM=FN，
∴四边形HMDN是正方形，
∵ ，
∴，即：，
∴FC=1，
∴DF=2-1=1，
设HM=x，则FN=1+x，AM=2-x，
∴1+x=2-x，解得：x=，
∴DH=.
故选C.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和正方形是解题的关键.
9．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值．
【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点 ，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可．
【详解】解：
，
∴原式
，
故答案为：．
12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键．
【详解】∵方程和方程都有实数解，
∴，，
∴，，
∵，是正实数，
∴，
∴，即，
∴，
故的最小值为，
又∵，
则当时，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6
人数 26 16 22 32 43 14
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
分数 100 90 80 70 60 50及以下
比例 5 2 1 1 1 0
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．
【答案】5
【分析】各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数，90分占总人数，80、70、60分占总人数的，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总共有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．
【详解】解：各分数人数比为5：2：1：1：1，
即100分占总参与人数的，
90分占总参与人数的，
80、70、60分占总参与人数的，
各分数人数为整数，即×总参与人数＝整数，
∴总参与人数是10的倍数，
6个部门有153人，
即26+16+22+32+43+14＝153人，
则未参与部门人数个位一定为3，
∴未参与答题的部门可能是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ．
【答案】/
【分析】证明四边形是矩形，则，得四边形是正方形，则，，由折叠的性质得到，证明四边形是矩形，则，由折叠的性质得到，设，则，在中，勾股定理得，求出，即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，点A的坐标为，
∴，
∵沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
即，
∴点E的坐标是，
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F，
则．
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：
16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】过点作于点，连接，易通过证明，得到，再证四边形为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证为等腰直角三角形，得到，则，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解得，进而求得，由平行线的性质得，由可得，以此判断②；在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，以此判断③；易得到的距离为1，到的距离为1，则，，再进一步计算即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形为菱形，
∴，故①正确；
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，则，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
在中，，
∴，
在中，，
∴，故③正确；
∵，
∴到的距离为1，到的距离为1，
∴，
，
∴，故④正确．
综上，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)
(3)见解析
(4)①；②18
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法代入运算即可．
【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：，
故答案为：；
（2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：，
故答案为：；
（3）解：，
等式左边等式右边；
（4）①解：
．
② ，
，
，
．
18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
【答案】(1)四
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义．
（1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可；
（3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案；
【详解】（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
19．（8分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得
答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．
（2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下：
∵，
∴
解得：．
∵
∴海港会受到此次台风的影响．
（3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响．
∵
∴在中，，即
解得：PE=100
同理得：
∵台风的速度为25km/h
∴台风影响该海港的时长为：
答：台风影响该海港8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言．
20．（8分）（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）．
某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述．
下面给出了部分信息：
信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息．
结合信息一解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________；
（2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组；
（3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？
信息二：
抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表：
运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试
平均分
方差
（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）人；
（4）见解析．
【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可；
共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组；
利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可；
从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩．
【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，
从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的，
抽取的总人数为：（人）
第组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
第组有人，占比为：，
∴，
第组有人，
第组占抽查总人数的，
扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：，
故答案为，；
总共抽查了人，
中位数是第、名成绩的平均数，
第1组和第2组总人数是24人，
从条形统计图中可知：第、名位于第组，
抽取的这些学生的中位数位于第组；
从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生，
利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人；
、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素．
建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内；
加强锻炼增强肺活量；
加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可）
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息．
21．（10分）（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形；
(2)如图1，“奋进四边形”中，，．
①当，且时，求的长；
②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”；
(3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长．
【答案】(1)正方形
(2)①；②详见解析
(3)为或
【分析】（1）根据“奋进四边形”定义即可得解；
（2）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可；
②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据“和谐奋进四边形”的定义即可得出结论；
（3）根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”，先证明四边形为矩形，再由勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，
所以正方形是“奋进四边形”；
（2）①解：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
四边形为正方形，
，，
；
②证明：连接、，如图：
，，
，
垂直平分，
；
“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”；
（3）解：，，
根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”；
当时，连接，过点作于点，如图：
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
；
当时，连接，过点作于点，如图：
则，
，
，
四边形矩形，
，，
，
；
综上分析可知，为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论．
22．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．

【探究】如图1，连接，若点在线段上，且．
（1）证明：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由．
【拓展】如图2，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
【答案】【探究】（1）见解析；（2）当时，四边形是矩形．理由见解析；【拓展】中，，且时，四边形是正方形．
【分析】（1）根据平行线的性质，可证得，得到，从而证明；（2）首先证明四边形是平行四边形，再由，，得到，从而证明四边形是矩形；【拓展】由正方形性质，得到，，再推出四边形为平行四边形，进而得到，就可得到，且时，四边形是正方形．
【详解】证明：是的中点，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）当时，四边形是矩形．
理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形．
拓展：
中，，且时，四边形是正方形，
理由如下：
四边形是正方形，
，，
且，
四边形为平行四边形，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
在中，，且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了全等三角形、平行四边形、矩形、等腰三角形、正方形、直角三角形勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形、平行四边形、矩形、等腰三角形、正方形形、直角三角形勾股定理及逆定理，从而完成求解．
23．（12分）（24-25八年级·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．
表（1）
算法一 女性理想体重 男性理想体重
算法二
算法三
表（2）
实际体重 类别
大于理想体重的 肥胖
介于理想体重的 过重
介于理想体重的 正常
介于理想体重的 过轻
小于理想体重的 消瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？
【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析
(2)①；②过重
【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得．
【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
（2）解：①由题意可知：，
解得，
故答案为：；
②小王父亲的理想体重（公斤），
实际体重占比，
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
24．（12分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积．
(2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：；
(3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可；
（2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明；
（3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，取中点，连接，，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点、点分别为、的中点，为中点，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵， ，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同（1）可得四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，，
如图，过点作于点，连接，
由旋转知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，，共线，
∴点的轨迹为直线，
如图，过点作直线的对称点，连接，
则，当且仅当，，依次共线时取最小值，
此时如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．

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