资源简介

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八上数学 RJ
确定匀质薄板的重心位置
综合与实践
第十三章 三角形
了解生产、生活中物体重心的概念和意义.
了解确定简单平面图形和平面组合图形的重心位置的方法，并能将方法用于确定匀质薄板、薄壳的重心位置.
通过活动过程，提升实践意识、团队合作意识以及统筹能力和表达展示能力.
物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要.例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向（图1）；杂技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动（图 2)；等等.
图1 图2 图3
在工程中，物体重心的位置也有重要的应用.例如，水坝、挡土墙等建筑的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌（图4）；当飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能（图5）；为了达到预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部分的重心会设计得偏离转轴一定的距离（图6）；等等.
图4 图5 图6
工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢. 你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗？接下来，我们一起来探究解决这个问题.
工字钢
角钢
槽钢
活动目标
发现确定匀质薄板、薄壳(厚度可忽略)重心位置的方法.
活动准备
1. 材料用具
质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线.
2. 资料学习
查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法.
由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的（如图中的型钢截面)，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，再探究确定平面组合图形重心位置的方法.
活动任务
工字钢
角钢
槽钢
思考
三角形的重心位于__________________.
其他平面图形的重心在什么位置呢？
三条中线的交点处
(1.1) 在物理学中，物体的重心指的是什么？
在物理学中，物体的重心是指物体各部分所受重力的等效作用点.具体来说，重心是这样一个点：如果将物体的所有重力集中在这个点上，物体在重力作用下的平衡状态与实际分布的重力作用效果相同.
换句话说，重心是物体在重力场中保持平衡的关键位置.当物体悬挂或支撑在重心处时，物体处于平衡状态，不会发生旋转或倾倒.
任务1 认识平面图形的重心
(1.2)匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？
对于匀质薄板而言，其质量分布是均匀的(即单位面积的质量相同)，其重心位置只与形状有关，与质量的具体数值无关.
任务1 认识平面图形的重心
(2.1)试一试，用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心，它能保持平衡吗？
任务1 认识平面图形的重心
(2.2)三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？
通过实验发现，三角形匀质薄板的重心位置就是所画三角形的重心位置，支撑在重心位置，三角形处于平衡状态.利用悬挂法可以发现，悬挂线的交点即为三角形的重心.
任务1 认识平面图形的重心
(3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？
类比三角形的重心，从数学的角度看，一般平面图形的重心是其面积分布的平均位置；从物理角度来看，重心是物体在重力场中保持平衡的关键点.
如果将一个平面图形悬挂或支撑在其重心处，图形将在重力作用下保持平衡，不会发生旋转或倾斜.因此，重心不仅是几何上的平均位置，也是物理上的平衡点.
任务1 认识平面图形的重心
(1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？
悬挂法：将物体悬挂于不同点，画出悬挂线的延长线，这些线的交点即为重心.
任务2 了解平面图形重心位置的分布特点
注意：悬挂点应选择在薄板的边缘，且两次悬挂点不能在同一直线上.
(1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？
平衡法：将物体放置在支点上，通过调整支点位置使物体达到平衡，从而确定重心.
任务2 了解平面图形重心位置的分布特点
(2)怎样确定其他常见的几何图形（如线段、正方形、长方形、平行四边形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？
这些图形的重心都位于它们的几何中心.
三角形三条中线的交点就是三角形的几何中心，所以三角形的重心也满足上述特点.
任务2 了解平面图形重心位置的分布特点
(3)如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位置？”，你会怎样回答？
一个平面图形的重心是它所受重力的等效作用点，位于该平面图形的几何中心.
任务2 了解平面图形重心位置的分布特点
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择一些平面图形，尝试确定它们的重心位置.
任务3 确定一些平面图形的重心位置
(1)你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能，你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的准确性？
矩形：作为中心对称图形，重心必然位于两对角线交点，即几何中心点.
圆：所有直径的交点即圆心，具有完全对称性，故重心与圆心重合.
平行四边形：通过分割成三角形组或积分计算，可证明其重心同样位于对角线交点.
任务3 确定一些平面图形的重心位置
(2)当不能根据图形的形状确定它的重心位置时,你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不能，你遇到了什么困难？
例如梯形：
采用分割法或积分公式，推导得到重心位于连接上、下底中点的线段上.
任务3 确定一些平面图形的重心位置
平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了.
为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置.
小组合作，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系.
任务1 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系.
问题1：选择一个由长方形和等腰三角形组合成的组合图形，分别确定组合图形的重心位置和长方形、等腰三角形的重心位置，以长方形的一个顶点为原点，两条边为坐标轴，度量各边的长度，确定三个重心的坐标，你能得到组合图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？
如图，五边形由等腰三角形和长方形组合而成，△ABE的重心为F(3,5)，长方形BCDE的重心为(3,2)，组合图形的重心为G(3,2.8).
因为平面图形的重心是指该图形上所有点的加权平均位置，其中权重是每个点的面积元素，所以考虑按各部分面积的比例关系，通过加权平均的计算方式求出整体的重心.
由图中的数量关系可知S△ABE=9，S长方形BCDE=24.
设组合图形重心坐标为(x，y)，
则x = =3，y = = ≈2.82.
计算出来的重心坐标与组合图形的实际
重心坐标基本一致（度量会产生误差）.
问题2：换一个组合图形试试，这种关系与前面得到的关系是否一致？
如图，四边形由直角三角形和长方形组合而成，△ABC的重心为G1(2,5)，长方形BCDE的重心为G2(3,2)，组合图形的重心为G(2.6,2.7).
由图中的数量关系可知S△ABC=9，
S长方形BCDE=24.
设组合图形重心坐标为(x,y),
则x = = ≈ 2.7，
y = = ≈2.82.
计算出来的重心坐标与组合图形的实际重心坐标基本一致（度量会产生误差）.
问题2：换一个组合图形试试，这种关系与前面得到的关系是否一致？
问题3：你能根据前面的探究结论，猜想一个平面组合图形的重心位置的横、纵坐标与它分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？
参考答案：通过实验发现，若图形重心坐标为(x，y)，分割后两部分的重心坐标分别为(x1， y1)，(x2，y2)，
两部分的面积分别为S1，S2，
则x = y =
任务2 确定一个工程用薄板类工件的重心位置
问题：小组合作，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件（或工件的横截面）等，通过推理、计算确定它的重心位置.
如图，将“L”形角钢的横截面分割为长方形 ABCD和长方形CEFP，
S长方形ABCD=1 440，S长方形CEFP=816，重心分别为G1(6,60)，G2(46, 6).
设“L”形角钢横截面的重心坐标为G(x, y),
则x = ≈ 20.5，
y = ≈ 40.5.
所以“L”形角钢的横截面的重心坐标为
(20.5 , 40.5).（分割方法不唯一）
如图，将“Z”形薄板分割为长方形ABCD，长方形EFQD和长方形FMNP，S长方形ABCD=300，S长方形EFQD=500，S长方形FMNP=200，重心分别为G1(15,45)，G2(35,25)，G3(50,5).
设“Z”形薄板的重心坐标为G(x，y)，
则x = =32，
y = =27.
所以“Z”形薄板的重心坐标为(32,27).（分割方法不唯一)
如图，将薄板分割为正方形NAQM，长方形FQPE和正方形DPBC，S正方形NAQM=6 400，S长方形FQPE=4 000，S正方形DPBC=1 600，重心分别为G1(40,40)，G2(100,50)，G3(140,20).
设薄板的重心坐标为G(x,y)，
则x = = ，
y = =.
所以薄板的重心坐标为(，).
（分割方法不唯一）
如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好.试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因.
问题1：为什么“背越式”跳高比“跨越式”和“滚式”跳高成绩更优？从重心原理的角度具体分析.
参考答案：“背越式”跳高核心优势在于通过身体姿态的调整显著降低过杆时的身体重心高度，从而在相同的起跳能力下跳过更高的横杆从重心原理的角度具体分析如下.
(1)“跨越式”与“滚式”跳高的重心问题
跨越式：运动员面朝下跨越横杆时，身体呈直立姿态，过杆瞬间重心位于腹部附近.由于人体直立时重心高度约为身高的55%~60%，此时重心轨迹的顶点必须高于横杆才能保证身体完全过杆.
例如，若横杆高度为2米，运动员起跳后重心需达到约2.1米以上，对弹跳能力要求极高.
滚式：身体平行于横杆过杆，虽然重心较“跨越式”略有降低（约身高的50%），但躯干和腿部仍需依次抬升，重心轨迹仍略高于横杆，且动作协调性要求较高，容易触碰横杆.
(2)“背越式”跳高的重心优化原理
身体姿态的弓形设计：“背越式”要求运动员背部朝向横杆，过杆时身体呈反弓形（头部、肩部下沉，臀部上抬).这种姿态通过分段过杆（头、肩→躯干→臀部→腿依次过杆)和重心补偿，使身体各部位分时通过横杆，整体重心轨迹的顶点显著低于横杆高度.
重心降低的量化效果：根据力学分析，当运动员以反弓形过杆时，身体重心可低于横杆约10~ 15厘米.例如，跳过2.4米的横杆时，实际重心高度仅需约2.25~2.3米，极大减少了对弹跳高度的需求.
弧线助跑的力学优势：“背越式”采用弧线助跑，利用离心力在起跳时自然形成身体内倾，起跳后转为绕横杆的旋转，帮助维持反弓姿态，进一步优化重心轨迹.
(3)对比实例与数据验证
历史上男子“跨越式”跳高的世界纪录为1.93米，而男子“背越式”跳高的世界纪录已达2.45米(2023年)，差距显著.
因此，“背越式”通过优化身体姿态降低重心轨迹，并结合弧线助跑的力学设计，在相同体能条件下实现了更高的过杆效率.相比之下，“跨越式”和“滚式”因重心过高或动作协调性不足，难以突破物理极限. 因此，“背越式”成为现代跳高的主流技术，深刻体现了人体运动生物力学与工程思维的结合.
问题2：重心原理在生活中的应用极为广泛，可以通过调整物体的重心位置来优化稳定性、平衡性，你能再举出一些生活中重心应用场景的实例吗？
(1)交通工具的稳定性设计
汽车底盘与重心：SUV等高底盘车辆容易侧翻，因其重心较高.设计时需增加轮距或降低底盘，使重心更靠近地面，提升转弯时的稳定性.
船舶压载系统：货轮通过压载水舱调节重心位置，防止船体因货物分布不均而倾斜或倾覆.
自行车平衡：骑行时，身体通过微调重心（如身体倾斜)抵消离心力，维持转弯时的动态平衡.
(2)日常物品的人体工学设计
背包负重优化：重物紧贴背部放置，降低整体重心，减少肩部拉力，避免因重心后移导致身体前倾疲劳.
家具防倾倒：书柜底部加装配重或固定于墙面，降低重心以防止儿童攀爬时倾倒.
扫帚直立技巧：将扫帚头朝下，利用手柄末端的质量降低重心，使其更容易垂直站立.
(3)运动与动作优化
体操落地缓冲：运动员落地时屈膝弯腰，降低身体重心并延长缓冲时间，减少冲击力（如跳马、平衡木).
举重姿势：抓举杠铃时贴近身体，保持杠铃重心与人体重心垂线重合，避免腰部受伤.
(4)建筑与工程安全
塔吊配重设计：塔吊长臂端吊装重物时，短臂端需加装配重块，确保整体重心位于塔身中心，防止倾覆.
金字塔结构：底部宽大、顶部尖锐的金字塔形将重心压至底部，抗风抗震能力极强.
(5)生活安全与技巧
搬运重物姿势：弯腰直腿搬物易伤腰，正确做法是屈膝下蹲，使物体重心靠近身体，利用腿部力量起身.
高层防风措施：台风地区建筑采用“锥形设计”，楼层越高截面越小，降低风压对重心的影响.
总结：重心的核心逻辑为降低重心→提高稳定性，对齐重心与支撑面→避免倾倒，动态调节重心→实现灵活控制.理解这一原理，不仅能规避风险（如家具倾倒、运动受伤），还能优化设计(如背包负重、建筑结构)
问题2：重心原理在生活中的应用极为广泛，可以通过调整物体的重心位置来优化稳定性、平衡性，你能再举出一些生活中重心应用场景的实例吗？
以小组为单位进行实践活动，每组4~6人，明确分工，合作完成.在实践过程中，认真记录实验数据和观察到的现象，撰写实验报告.报告内容包括实验目的、实验器材、实验步骤、实验结果、分析与讨论等，要条理清晰、分析准确，图文结合最佳.
活动要求
小组自评：小组成员根据分工完成情况、参与度、贡献大小等方面进行自我评价和相互评价.
教师评价：教师从实验报告的完整性、准确性，实践活动的创新性、科学性，小组合作的协调性等方面进行综合评价，评价等级分为优秀、良好、合格、不合格.对表现优秀的小组和个人进行表扬和奖励，对存在的问题提出改进建议，
活动评价
确定匀质薄板的
重心位置
悬挂法(薄板边缘悬挂，画线找交点)、
几何法(规则图形重心在几何中心)、
公式法(不规则图形先分后加权平均)
拆分简单图形，结合每部分的面积和重心坐标计算，如“L“形、“Z"形薄板及三角形与长方形组合图形
简单图形
组合图形

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