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2.1.2椭圆的简单几何性质
同步课时作业
1.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C.2 D.4
2.已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆C上，直线PA，PB的斜率分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点.若为直角三角形，则这样的点P有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
6.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知F是椭圆的右焦点，A是C的上顶点，直线与C交于M，N两点.若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，若，则C的短轴长为______________.
12.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B.左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率的平方为________.
13.焦点在y轴上且离心率大于的一个椭圆方程为_________.
14.若椭圆的离心率是，则_____________.
15.若椭圆上任意点M到左焦点的最近距离、最远距离分别为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆上点P及，为顶点的三角形的面积等于3，求点P的坐标.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，得，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以，，
因为长轴长是短轴长的两倍，
所以，即，得，
故选：D.
2.答案：D
解析：令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，
则，而，即有，，，即，于是得，
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：D.
3.答案：C
解析：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，
根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，
若是正三角形，则，
即，即，
即有，则，
解得.
故选：C.
4.答案：A
解析：由题意知，.
设，则，，P为椭圆C上一点，，即，
，即.故选A.
5.答案：C
解析：当为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；
同理当为直角时，这样的点P有2个；
当点P为椭圆的短轴端点时，最大，且为直角，此时这样的点P有2个.
故符合要求的点P有6个.
6.答案：A
解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为.设点，，则有，所以.故选A.
7.答案：B
解析：不妨设直线，即椭圆中心到l的距离
，故选B.
8.答案：C
解析：设椭圆的左焦点为，连接，，如图.
由椭圆的对称性可知，M，N关于原点对称，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，解得.
又，可得A到直线l的距离，解得，所以，解得，所以，故选C.
9.答案：AC
解析：由椭圆的定义可得，.
因为椭圆G的离心率为，则，所以.
若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为；
若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为.故选AC.
10.答案：AB
解析：不妨设A，B为长轴端点，C，D为短轴端点.
若是等边三角形，则由，可得，此时不可能是等边三角形，不符合题意；
若为等边三角形，则，此时，所以选项B有可能；
若为等边三角形，则，此时，所以选项A有可能；
若为等边三角形，则，此时.
综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.故选AB.
11.答案：
解析：设，易知，
结合，可知为等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以C的短轴长为.
故答案为：.
12.答案：
解析：由于，，
由直线的方程为，整理得，
由于，则P在以为直径的圆上，故
由于在线段上有且只有一个点P满足，故直线与圆相切，
可得，两边平方，整理得，
两边同时除以，由，，
，又椭圆的离心率，.
椭圆的离心率的平方，
故答案为:
13.答案：（答案不唯一）
解析：因为所求椭圆的焦点在y轴上，所以设其方程为.又离心率大于，故可取离心率为.设，则，所以，所以，所以满足条件的一个椭圆方程为.本题答案不唯一.
14.答案：或6
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，，由题意得，解得.
②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，，
由题意得，解得.
综上，或.
15.答案：（1）
（2）或或或
解析：（1）由题意可知
又，椭圆的方程为.
（2）设点.由（1）知，
，.
将点的坐标代入椭圆方程，得，.
故点P的坐标为或或或.

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