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湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．“函数在上为增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．随机变量的分布列为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知某商店月份月利润（单位：万元）关于其对应的月份代码（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（ ）
A．3.6 B．1.5 C．1.4 D．1.8
6．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ）
A．120 B．160
C．180 D．240
7．设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在甲手上的概率是
B．3次传球后球在丙手上的概率是
C．2026次传球后球在甲手上的概率小于
D．次传球后球在乙手上的概率是
三、填空题
12．若，则 .
13．某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是 ．
14．若存在，使得成立，则实数的最小值为 ．
四、解答题
15．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表：
是否成年 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 40 50
成年人 10 40
合计 90
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？
参考公式：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求（用数值作答）；
(2)若，求二项式的值被7除的余数．
17．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．

(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
18．某车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名工人进行维修．
(1)若发生故障的车床数为，求的分布列；
(2)车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于？
(3)已知每名工人每月的工资为1万元，且1名工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有1名工人，求该车间每月获利的均值．
19．已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)已知函数，求函数的极值；
(3)函数的图像上存在多少组关于点M对称的点？说明你的结论和理由．
湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B C D D BD ABD
题号 11
答案 AD
1．A
【详解】根据交集的概念，可得：.
故选：A
2．C
【详解】由题意可得.
故选：C.
3．B
【详解】函数在上为增函数，
等价于，即，
所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【详解】由题知，，解得，
所以.
故选：B
5．B
【详解】由题意得，
因为，所以该经验回归直线经过样本点中心.
由，得.
故选：B.
6．C
【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，
区域A有5种涂法，B有4种涂法，
C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种，
C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种，
∴共有180种不同的涂色方案 .
故选：C.
7．D
【详解】对A：因为，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：因为，故D错误.
故选：D
8．D
【详解】A选项，当时，，此时即，
当时，，此时即，所以A错误；
B选项，当时，，成立，
当时，，，所以B错误；
C选项，当时，取，此时，不满足，
当时，取，此时，不满足，故C错误；
D选项，等价于，
当时，，，此时，
当时，，，此时，D正确；
故选：D.
9．BD
【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确；
线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误；
用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确；
故选：BD.
10．ABD
【详解】对于A，，由，则，
所以有1个“巧值点”，故A正确；
对于B，，由，则，
所以有1个“巧值点”，故B正确；
对于C，，由得，而该方程无解，故C错误；
对于D，，由得，
即，显然方程有无数个解，
所以函数有无数个“巧值点”，故D正确.
故选：ABD
11．AD
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，
2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2个结果，所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，
3次传球后球在丙手中的事件有：甲乙甲丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，3个结果，所以概率为，故B错误；
设次传球后球在甲手上的概率为，则，即，
而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
故，当时，，故C错误；
同理，设次传球后球在乙手上的概率为，则，即，
由题意，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
故，故D正确.
故选：AD.
12．7
【详解】由，，
则，解得.
故答案为：7.
13．
【详解】因为学生成绩X服从正态分布，且，
所以，
所以从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于125的概率是．
故答案为：．
14．
【详解】由题知，令，即，
因为存在，使得成立，
所以，令，
，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即，，
所以实数的最小值.
故答案为：.
15．(1)
(2)可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关
【详解】（1）解：由的列联表，可得，可得，
又由，
所以.
（2）解：零假设为 ：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关．
根据列联表中数据，可得
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关．
16．(1)
(2)1
【详解】（1）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数为，
因此可知，
令，可得；
令，可得，
即；
（2）若，则二项式为：
；
因此二项式的值被7除的余数为1.
17．(1)定义域为；
(2)的面积有最大值，此时cm.
【详解】（1）因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域为.
（2）由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
18．(1)答案见解析
(2)2名
(3)万元
【详解】（1）可能取，且
所以，，，
故的分布列为：
0 1 2 3
（2）设车间有名工人，能同时维修机床的台数为台，
故当机床发生故障，需要维修的台数时，机床均能正常工作，
其概率如下表所示，
0 1 2 3
1
又，
所以至少要2名工人，才能保证所有机床不发生故障或发生故障后能及时维修的概率不少于.
（3）设该车间每月能获利Y万元，则Y的取值可能为14，9，4，
，
，，
所以Y的分布列为：
14 9 4
则（万元）
故该车间每月获利的均值为万元．
19．(1)
(2)，
(3)存在唯一的一组点，理由见解析
【详解】（1）由题意：，，，
所以函数在点处的切线方程为.
（2），则.
令得或，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
．
（3）存在唯一的点对关于对称，证明如下：
假设存在，不妨设，
于是，即，也即，
设，则，显然，
即存在，使得，，令，则，
在上单调递减，即在上单调递减，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
又，
故存在唯一的实数使得，
即存在唯一的一组点对A，B满足题意.

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