资源简介

浙江省杭州市临安区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·临安模拟）2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
2．（2025·临安模拟）2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·临安模拟）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·临安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·临安模拟）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成.该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
6．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临安模拟）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·临安模拟）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·临安模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·临安模拟）因式分解：a3－a=　 　.
12．（2025·临安模拟）若，则　 　.
13．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是　 　.
14．（2025·临安模拟）如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则　 　．
15．（2025·临安模拟）已知二次函数的图象与x轴有两个不同交点，，且，则n的取值范围是　 　.
16．（2025·临安模拟）如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是　 　．
17．（2025·临安模拟）（1）化简：
（2）解不等式组：．
18．（2025·临安模拟）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，）
19．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8
乙 4 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
20．（2025·临安模拟）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于．
（1）求证：．
（2）请写出与之间的数量关系并证明．
21．（2025·临安模拟）如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
22．（2025·临安模拟）我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
24．（2025·临安模拟）如图1，是的直径，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）连结交于，连结，求证：平分；
（3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】将数表示成科学记数法的形式为的形式，其中，n等于整数位数减去1即可求解.，
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A为图形的正视图，故A错误；
B为图形的左视图，故B正确；
C为图形的俯视图，故C错误；
D不是图形的左视图，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据图形的三视图的概念逐一进行判断即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算不正确；
B．，故原式计算不正确；
C．，原式计算正确；
D．，故原式计算不正确；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．
5．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为（分）
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可．
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意可知：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴正△ABC和正△BDE的相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的面积比是三角形相似比的平方，可得出三角形的相似比，再根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出结论．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示，
∵四边形是菱形，点M是AC的中点，
∴AB=BC，点M在BD的中点，即对角线AC与BD的交点，
∴BM⊥CM，
∴△MBC是直角三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，
∴CM=BCsin∠MBC=，
∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，
∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，
∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=4，
又∵PF=CQ，
∴△PRF≌△QRC（ASA），
∴PR=QR，RF=RC
∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，
∴R、N两点重合，
∴CN=FN=CF=2，
∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，
∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，
∴△MCN是直角三角形，
根据勾股定理可得：MN==，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明△MBC是直角三角形，利用三角函数求得CM=， 再证明是等边三角形，得到；由四边形CEFG是菱形，易得△PRF≌△QRC，可证R、N两点重合，再根据∠MCD=30°，∠GCF=60°，可得 ∠MCN=90°，最后根据勾股定理可得：MN==，
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：一次函数与轴交于点，
∴k2=-3k1-2，
A、当k1=1时，k2=-5，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故A错误，
B、当k1=时，k2=，此时，，当x≥1时， 恒成立，故B正确，C、当k1=-1时，k2=1，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故C错误，
D、当k1=-2时，k2=4，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数与轴交于点，求得k2=-3k1-2，进而求出反比例函数与一次函数的解析式，即可判断是否正确．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点G，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠EAH=∠HCN，∠AEH=∠CNH，
∴△AEH∽△CNH，
∴，
同理可得：△ADH∽△CGH，
∴，
∵ 点是边的中点，
∴AE=AD，
又∵，
∴，
∴==2，
∴AH=2CH，DH=2GH，AD=2CG，
∵OA=OC，
∴OA+OH=2（OC-OH），
∴OA=3OH，
∵ ，
∴OA=，AC=，
∵ ，
∴=，
∴DC=6，AD=12，
∴CG=6，
∴DG==，
∵DH=2GH，
∴DH==，
故答案为：A．
【分析】延长交于点G，根据矩形的性质，易证△AEH∽△CNH，△ADH∽△CGH，根据相似三角形对应边成比例可得=2，由，由勾股定理进而求得AC=，DC=CG=6，AD=12，DG=，即可求得DH==.
11．【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：，，
∴∠ABC+∠EAB=180°，
∴∠EAB=110°，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠EAB+∠ECB=180°，
∴∠ECB=70°，
∵点D为弧AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCF=90°-∠ABC=20°，
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=70°-20°=50°，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质、圆内接四边形的性质可以得到∠ECB的度数，再根据垂径定理的推论可以求得∠BCD的度数，然后即可得到∠DCE的度数.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与x轴有两个不同的交点得，求出n的取值范围，再结合一元二次方程的根与系数，得，表示出，因为，解得，即可作答．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是边长为6的等边三角形，且边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∴BH=CH==3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH=，
∵AB：AD=3：5，AD=AB+BD=6+BD，
∴6：（6+BD）=3：5，
∴BD=4，
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴△DEB∽△AHB，
∴，
∴，
∴BE=2，DE=，
∴CE=BC+BE=8，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD=，
∵点F为DC中点，
∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，
∴EF=，
故答案为：．
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质得BH=CH=3，进而得出AH=，再根据AB：AD=3：5得BD=4，证明△DEB∽△AHB，利用相似三角形得BE=2，DE=，则CE=8，再利用勾股定理得CD=，再利用直角三角形斜边中线的性质可得出EF的长.
17．【答案】解：（1）原式===；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解为.
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）先分别计算每个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来，再取它们公共部分的解集，即可得出答案．
18．【答案】解：（1）作AC⊥地面BC于点C，则∠C=90°，如图所示：
由题意得：AB=3米，∠ABC=60°，
∴AC=3sin60°=（米），
答：单体的顶端距离地面的高度为米；
（2）作DM⊥EF于点M，则∠DME=90°，如图所示：
由题意得：DE=DF，EF=1米，∠EDF=40°，
∴EM=0.5米，∠EDM=20°，
∴DM=≈1.4（米），
答：此时双梯顶端距离地面的高度约为1.4米.
【知识点】解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作出单梯所在的直角三角形，利用直角三角形中角的正弦值即可得出答案；
（2）作DM⊥EF于点M，利用等腰三角形的三线合一的性质可得EM的长度和∠EDM的度数，再根据直角三角形中角的正切值即可得出答案.
19．【答案】（1）解：观察图①可知：甲同学的得分比乙同学的得分波动幅度大，
∴.
（2）解：甲同学书写准确性从小到大重新排列为：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
∴中位数a=，
乙同学书写准确性的平均数b=（分），
从操作规范性来分析，甲同学和乙同学的平均得分相等，但是甲同学的方差大于乙同学的方差，所以乙同学在物理实验操作中发挥较稳定；
从书写准确性来分析，乙同学的平均数比甲同学的平均数高，所以乙同学在物理实验中书写更准确；
从两个方面综合分析，乙同学的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以乙同学的综合成绩好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）根据表中的上统计量，从平均数和方差进行判断，理由合理即可．
（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
20．【答案】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKA=∠FKH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠B=∠BAD=∠D=90°，
∴∠FKA=∠BAD=∠D=90°，∠B=∠FKH=90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD=FK，DF=AK，
∴AB=FK，
∵FH⊥AE，∠FKH=90°，
∴∠BAE+∠AHF=90°，∠KFH+∠AHF=90°，
∴∠BAE=∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE=HF.
（2）解：由①可得：∴△BAE≌△KFH，
∴BE=KH，
又∵BE=DF，DF=AK，
∴AK=BE，
∴AH=AK+KH=BE+BE=2BE.
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ABCD是正方形得 AD=FK，DF=AK，则AB=FK，再证明 △BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知△BAE≌△KFH得BE=KH，再根据BE=DF，DF=AK得AK=BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系.
（1）证明：过点作交于．
∵正方形中，
∴，．
∵，
∴，
又
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，，
∴．
∴．
（2），
证明：∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵ 反比例函数图象过点，
∴，
∴A（-2，-2），
∵直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，
B（4，1），D（4，0），
∴S△ABD= 12×1×（4+2）=3 .
（2）解：由（1）可知，A（-2，-2），D（4，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线PD的解析式为y=px+q，
∵ ，
∴kp=-1，
∴p=-3，
∴直线PD的解析式为y=-3x+q，
把D（4，0）代入y=-3x+q，解得q=12，
∴直线PD的解析式为y=-3x+12，
∵点P（m，n）在直线PDy=-3x+12和反比例函数上，
∴-3x+12=
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，
当时，y=，
当时，y=，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形的面积公式即可；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b和直线PD的解析式为y=px+q，先求出直线AD的解析式，得出k的值，再根据两直线垂直，求出p的值，利用待定系数法求出直线PD的解析式，在与反比例函数解析式联立方程组，即可求出点P的坐标.
（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
22．【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
23．【答案】（1）解：根据题意，设上沿抛物线的函数表达式为，
把（0，0）代入解析式得：16a-=0，
解得a=，
答： 上沿抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵， 比点高，
∴P（4，-4），
设下沿抛物线的顶点式为，
把（0，0）代入解析式得：16a'-4=0，
解得：，
∴下沿抛物线的函数表达式为，
∵，
∴-=，
解得：或，
把或代入下沿抛物线的函数表达式得，y=-3，
∴B（2，-3）或（6，-3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据上演抛物线的顶点 设抛物线的顶点式，再把远点坐标代入解析式即可求解；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数表达式，然后根据得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可的触点B的坐标.
（1）解：∵上沿抛物线的顶点为，
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为；
（2）解：∵上沿抛物线的顶点比点高，
∴点纵坐标为，点的坐标为，
设下沿抛物线的顶点式为，
∵下沿抛物线过点，代入顶点式得：
，
解得，
下沿抛物线的表达式为，
∵，
∴
当时，
解得，或，代入下沿抛物线表达式得
故点的坐标为或．
24．【答案】（1）证明：∵AE是的直径，
∴，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（SAS），
∴∠BAE=∠DEC，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°-（∠DEC+∠AEB）=90°，
∴AE⊥ED.
（2）解：由（1）可知：Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，
∵∠AED=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∴∠KBE=∠EAD=45°，
∵∠ABE=90°，
∴∠KBE=∠ABK=45°，
∴BK平分∠ABE.
（3）解：过点E作EK∥FB，交AM于点K，连接EF，如图所示：
由（1）可知：∠BAE=∠DEC，
∵MN⊥BC，
∴∠MNE=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠MNE=∠ABE，
∴△ABE∽△ENM，
∴，
∵，
∴，
∴EN=BE，
∵BN=5，
∴EN=BE=2，
∴AE==，DC=BE=2，
∴ED=AE=，
∵AB=3，
∴EC=AB=3，
∵MN⊥BC，DC⊥BC，
∴MN∥DC，
∴△EMN∽△ECD，
∴，
∴MN=，EM=，
∴AM==，
∵AE是的直径，
∴，
∴EF⊥AM，
∵AE⊥ED，
∴，
∴EF==2，FM==，
∴EF=BE，
∴，
∴，
∵EK∥FH，
∴∠KEA=∠BAE，
∴∠KEA=∠FAE，
∴∠FAE+∠AME=90°，∠KEA+∠KEM=90°，
∴∠KEM=∠AME，
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥FH，
∴FH∥EK，
∴∠FGM=∠KEM，
∴∠FGM=∠AME，
∴FG=FM=.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质和圆周角定理以及角平分线的定义解答即可；
（3）过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到BE=EN，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质求得线段MN，EM，AM，AE，EF，再利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质解答即可.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：连结，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，
∴，即，
∴，
则．
1 / 1浙江省杭州市临安区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·临安模拟）2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．（2025·临安模拟）2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】将数表示成科学记数法的形式为的形式，其中，n等于整数位数减去1即可求解.，
3．（2025·临安模拟）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A为图形的正视图，故A错误；
B为图形的左视图，故B正确；
C为图形的俯视图，故C错误；
D不是图形的左视图，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据图形的三视图的概念逐一进行判断即可．
4．（2025·临安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算不正确；
B．，故原式计算不正确；
C．，原式计算正确；
D．，故原式计算不正确；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．
5．（2025·临安模拟）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成.该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为（分）
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可．
6．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意可知：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴正△ABC和正△BDE的相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的面积比是三角形相似比的平方，可得出三角形的相似比，再根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出结论．
7．（2025·临安模拟）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答．
8．（2025·临安模拟）如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示，
∵四边形是菱形，点M是AC的中点，
∴AB=BC，点M在BD的中点，即对角线AC与BD的交点，
∴BM⊥CM，
∴△MBC是直角三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，
∴CM=BCsin∠MBC=，
∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，
∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，
∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=4，
又∵PF=CQ，
∴△PRF≌△QRC（ASA），
∴PR=QR，RF=RC
∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，
∴R、N两点重合，
∴CN=FN=CF=2，
∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，
∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，
∴△MCN是直角三角形，
根据勾股定理可得：MN==，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明△MBC是直角三角形，利用三角函数求得CM=， 再证明是等边三角形，得到；由四边形CEFG是菱形，易得△PRF≌△QRC，可证R、N两点重合，再根据∠MCD=30°，∠GCF=60°，可得 ∠MCN=90°，最后根据勾股定理可得：MN==，
9．（2025·临安模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：一次函数与轴交于点，
∴k2=-3k1-2，
A、当k1=1时，k2=-5，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故A错误，
B、当k1=时，k2=，此时，，当x≥1时， 恒成立，故B正确，C、当k1=-1时，k2=1，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故C错误，
D、当k1=-2时，k2=4，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数与轴交于点，求得k2=-3k1-2，进而求出反比例函数与一次函数的解析式，即可判断是否正确．
10．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点G，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠EAH=∠HCN，∠AEH=∠CNH，
∴△AEH∽△CNH，
∴，
同理可得：△ADH∽△CGH，
∴，
∵ 点是边的中点，
∴AE=AD，
又∵，
∴，
∴==2，
∴AH=2CH，DH=2GH，AD=2CG，
∵OA=OC，
∴OA+OH=2（OC-OH），
∴OA=3OH，
∵ ，
∴OA=，AC=，
∵ ，
∴=，
∴DC=6，AD=12，
∴CG=6，
∴DG==，
∵DH=2GH，
∴DH==，
故答案为：A．
【分析】延长交于点G，根据矩形的性质，易证△AEH∽△CNH，△ADH∽△CGH，根据相似三角形对应边成比例可得=2，由，由勾股定理进而求得AC=，DC=CG=6，AD=12，DG=，即可求得DH==.
11．（2025·临安模拟）因式分解：a3－a=　 　.
【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．（2025·临安模拟）若，则　 　.
【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
13．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
14．（2025·临安模拟）如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：，，
∴∠ABC+∠EAB=180°，
∴∠EAB=110°，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠EAB+∠ECB=180°，
∴∠ECB=70°，
∵点D为弧AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCF=90°-∠ABC=20°，
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=70°-20°=50°，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质、圆内接四边形的性质可以得到∠ECB的度数，再根据垂径定理的推论可以求得∠BCD的度数，然后即可得到∠DCE的度数.
15．（2025·临安模拟）已知二次函数的图象与x轴有两个不同交点，，且，则n的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与x轴有两个不同的交点得，求出n的取值范围，再结合一元二次方程的根与系数，得，表示出，因为，解得，即可作答．
16．（2025·临安模拟）如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是边长为6的等边三角形，且边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∴BH=CH==3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH=，
∵AB：AD=3：5，AD=AB+BD=6+BD，
∴6：（6+BD）=3：5，
∴BD=4，
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴△DEB∽△AHB，
∴，
∴，
∴BE=2，DE=，
∴CE=BC+BE=8，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD=，
∵点F为DC中点，
∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，
∴EF=，
故答案为：．
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质得BH=CH=3，进而得出AH=，再根据AB：AD=3：5得BD=4，证明△DEB∽△AHB，利用相似三角形得BE=2，DE=，则CE=8，再利用勾股定理得CD=，再利用直角三角形斜边中线的性质可得出EF的长.
17．（2025·临安模拟）（1）化简：
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式===；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解为.
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）先分别计算每个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来，再取它们公共部分的解集，即可得出答案．
18．（2025·临安模拟）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，）
【答案】解：（1）作AC⊥地面BC于点C，则∠C=90°，如图所示：
由题意得：AB=3米，∠ABC=60°，
∴AC=3sin60°=（米），
答：单体的顶端距离地面的高度为米；
（2）作DM⊥EF于点M，则∠DME=90°，如图所示：
由题意得：DE=DF，EF=1米，∠EDF=40°，
∴EM=0.5米，∠EDM=20°，
∴DM=≈1.4（米），
答：此时双梯顶端距离地面的高度约为1.4米.
【知识点】解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）作出单梯所在的直角三角形，利用直角三角形中角的正弦值即可得出答案；
（2）作DM⊥EF于点M，利用等腰三角形的三线合一的性质可得EM的长度和∠EDM的度数，再根据直角三角形中角的正切值即可得出答案.
19．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8
乙 4 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
【答案】（1）解：观察图①可知：甲同学的得分比乙同学的得分波动幅度大，
∴.
（2）解：甲同学书写准确性从小到大重新排列为：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
∴中位数a=，
乙同学书写准确性的平均数b=（分），
从操作规范性来分析，甲同学和乙同学的平均得分相等，但是甲同学的方差大于乙同学的方差，所以乙同学在物理实验操作中发挥较稳定；
从书写准确性来分析，乙同学的平均数比甲同学的平均数高，所以乙同学在物理实验中书写更准确；
从两个方面综合分析，乙同学的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以乙同学的综合成绩好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）根据表中的上统计量，从平均数和方差进行判断，理由合理即可．
（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
20．（2025·临安模拟）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于．
（1）求证：．
（2）请写出与之间的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKA=∠FKH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠B=∠BAD=∠D=90°，
∴∠FKA=∠BAD=∠D=90°，∠B=∠FKH=90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD=FK，DF=AK，
∴AB=FK，
∵FH⊥AE，∠FKH=90°，
∴∠BAE+∠AHF=90°，∠KFH+∠AHF=90°，
∴∠BAE=∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE=HF.
（2）解：由①可得：∴△BAE≌△KFH，
∴BE=KH，
又∵BE=DF，DF=AK，
∴AK=BE，
∴AH=AK+KH=BE+BE=2BE.
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ABCD是正方形得 AD=FK，DF=AK，则AB=FK，再证明 △BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知△BAE≌△KFH得BE=KH，再根据BE=DF，DF=AK得AK=BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系.
（1）证明：过点作交于．
∵正方形中，
∴，．
∵，
∴，
又
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，，
∴．
∴．
（2），
证明：∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
21．（2025·临安模拟）如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数图象过点，
∴，
∴A（-2，-2），
∵直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，
B（4，1），D（4，0），
∴S△ABD= 12×1×（4+2）=3 .
（2）解：由（1）可知，A（-2，-2），D（4，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线PD的解析式为y=px+q，
∵ ，
∴kp=-1，
∴p=-3，
∴直线PD的解析式为y=-3x+q，
把D（4，0）代入y=-3x+q，解得q=12，
∴直线PD的解析式为y=-3x+12，
∵点P（m，n）在直线PDy=-3x+12和反比例函数上，
∴-3x+12=
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，
当时，y=，
当时，y=，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形的面积公式即可；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b和直线PD的解析式为y=px+q，先求出直线AD的解析式，得出k的值，再根据两直线垂直，求出p的值，利用待定系数法求出直线PD的解析式，在与反比例函数解析式联立方程组，即可求出点P的坐标.
（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
22．（2025·临安模拟）我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意，设上沿抛物线的函数表达式为，
把（0，0）代入解析式得：16a-=0，
解得a=，
答： 上沿抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵， 比点高，
∴P（4，-4），
设下沿抛物线的顶点式为，
把（0，0）代入解析式得：16a'-4=0，
解得：，
∴下沿抛物线的函数表达式为，
∵，
∴-=，
解得：或，
把或代入下沿抛物线的函数表达式得，y=-3，
∴B（2，-3）或（6，-3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据上演抛物线的顶点 设抛物线的顶点式，再把远点坐标代入解析式即可求解；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数表达式，然后根据得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可的触点B的坐标.
（1）解：∵上沿抛物线的顶点为，
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为；
（2）解：∵上沿抛物线的顶点比点高，
∴点纵坐标为，点的坐标为，
设下沿抛物线的顶点式为，
∵下沿抛物线过点，代入顶点式得：
，
解得，
下沿抛物线的表达式为，
∵，
∴
当时，
解得，或，代入下沿抛物线表达式得
故点的坐标为或．
24．（2025·临安模拟）如图1，是的直径，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）连结交于，连结，求证：平分；
（3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AE是的直径，
∴，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（SAS），
∴∠BAE=∠DEC，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°-（∠DEC+∠AEB）=90°，
∴AE⊥ED.
（2）解：由（1）可知：Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，
∵∠AED=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∴∠KBE=∠EAD=45°，
∵∠ABE=90°，
∴∠KBE=∠ABK=45°，
∴BK平分∠ABE.
（3）解：过点E作EK∥FB，交AM于点K，连接EF，如图所示：
由（1）可知：∠BAE=∠DEC，
∵MN⊥BC，
∴∠MNE=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠MNE=∠ABE，
∴△ABE∽△ENM，
∴，
∵，
∴，
∴EN=BE，
∵BN=5，
∴EN=BE=2，
∴AE==，DC=BE=2，
∴ED=AE=，
∵AB=3，
∴EC=AB=3，
∵MN⊥BC，DC⊥BC，
∴MN∥DC，
∴△EMN∽△ECD，
∴，
∴MN=，EM=，
∴AM==，
∵AE是的直径，
∴，
∴EF⊥AM，
∵AE⊥ED，
∴，
∴EF==2，FM==，
∴EF=BE，
∴，
∴，
∵EK∥FH，
∴∠KEA=∠BAE，
∴∠KEA=∠FAE，
∴∠FAE+∠AME=90°，∠KEA+∠KEM=90°，
∴∠KEM=∠AME，
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥FH，
∴FH∥EK，
∴∠FGM=∠KEM，
∴∠FGM=∠AME，
∴FG=FM=.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质和圆周角定理以及角平分线的定义解答即可；
（3）过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到BE=EN，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质求得线段MN，EM，AM，AE，EF，再利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质解答即可.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：连结，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，
∴，即，
∴，
则．
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