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广东省东莞市南城区2025年中考二模数学试题
1．（2025·东莞模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．（2025·东莞模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．（2025·东莞模拟）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2025·东莞模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．；
B．；
C．与不是同类项，不能进行加法运算；
D．；
故选：D．
【分析】
根据相关法则计算即可．
5．（2025·东莞模拟）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：B．
【分析】
将实际问题转化为方向角的问题即可解答．
6．（2025·东莞模拟）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（　　）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
7．（2025·东莞模拟）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得，．
故选C．
【分析】设这个小组有x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
8．（2025·东莞模拟）如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】
解：∵为的切线，∴．
∵为的切线，
∴．
∵，
∴．
故选B．
【分析】由切线长定理知，，所以．
9．（2025·东莞模拟）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，即，故选项B，C，D错误，
，
，选项A正确；
故选：A．
【分析】根据正比例函数的性质即可求出答案.
10．（2025·东莞模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
∵是直径，
∴，
易证 ，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解．
11．（2025·东莞模拟）若，是一元二次方程的两个根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．（2025·东莞模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解∶原式
，
故答案为∶．
【分析】
先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
13．（2025·东莞模拟）方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①②得：，
解得③
把③代入②解得：．
解得
故原方程组的解是：．
故答案为：
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
14．（2025·东莞模拟）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．（2025·东莞模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由对称性得：
∵是的中点，
∵的长的最大值为3，则长的最大值为：
如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点，
在直线上，
设，则即
在中，由勾股定理得：
代入数据得：
整理得：
解得：(舍去)，或
∵在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【分析】连接，由对称性得：，根据线段中点可得，则长的最大值为6，当过圆心时，最长，过作轴交于点，设，则即，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．（2025·东莞模拟） 计算.
【答案】解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值、0指数、算术平方根、负指数，再进行合并即可求解.
17．（2025·东莞模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．
【答案】解：（1）
四边形就是所求作的矩形
（2）连接，如下图：
∵四边形是矩形，
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以为圆心，以长为半径画弧，再以为圆心以长为半径画弧，两弧交于点，即可求解；
（2）利用矩形的性质，求解AC长即可．
18．（2025·东莞模拟）光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求的长．
【答案】（1）解：，
，
折射率为：；

（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
，
，
在中，设，，
由勾股定理得，，
，
．

【知识点】勾股定理；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解；
（2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，结合勾股定理得出，由，即可求得．
（1））解：，
，
折射率为：；
（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
．
19．（2025·东莞模拟）某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
【答案】（1）200，25，36
（2）解：由图可知：
选中C的学生为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：设两个小组选择A、B话题发言的事件为A
画树状图如下：
共有6个等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而事件A的结果有2个，
∴P(A)=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的学生共有：（人），
选择D的人数百分率为：
，
a=25
故答案为：200，25，36；
【分析】（1）先根据总数=频数÷百分率，计算出总数，求出D的百分率和圆心角，最后求a
(2)根据C组的百分率，先求出C组的人数，补全条形图即可
（3）设设两个小组选择A、B话题发言的事件为A，画出树状图，列出所有结果，根据概率公式计算即可.
20．（2025·东莞模拟）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．
（1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？
【答案】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，
，
，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
∴甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据费用要求列出一元一次不等式求解．
（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
21．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
【答案】（1）①，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
易证，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】（1）①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
【分析】
（1）①直接根据圆的周长公式计算；
②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式分别得到和的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得．
（1）解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）解：如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
22．（2025·东莞模拟）问题情景
如图，与都是等腰直角三角形，且，求证：；
问题迁移
如图，在中，，，平分，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
求证：；
连接，若，，直接写出，的长；
问题变式
如图，在菱形中，，点是对角线（端点除外）上的动点，连接，作菱形，使，交于点，若，求的值（用含有的式子表示）．
【答案】[问题情景]证明：∵和为等腰直角三角形，∴，，
∴，
∴；
[问题迁移]证明：∵平分，
∴，
由旋转的性质知：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由上得：，，
∴，
∴，
∵，
∴；
[问题变式]解：∵菱形，，
∴，为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】问题情景：由与都是等腰直角三角形，，，可判定；
问题迁移：由平分，则，由旋转的性质知，，由，，故有，，证明，根据相似三角形的对应角相等可得，即可证；
根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论；
问题变式：由菱形性质可知为等边三角形，则，结合可求出，根据三角形内角和定理可证明，再用两角对应相等判定相似得到，得出，即可得解．
23．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当时，求点的横坐标；
②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：①令，
解得或；
点，，
令，得，
．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②∵、，由待定系数法，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可；
②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可．
（2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可．
（1）解：①令得，解得或；
点，，
令，得，
．
，．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②设直线的表达式为．
将点、代入，得，解得，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．
∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
1 / 1广东省东莞市南城区2025年中考二模数学试题
1．（2025·东莞模拟）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·东莞模拟）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·东莞模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（　　）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
7．（2025·东莞模拟）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·东莞模拟）如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（　　）．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025·东莞模拟）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·东莞模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·东莞模拟）若，是一元二次方程的两个根，则　 　．
12．（2025·东莞模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·东莞模拟）方程组的解为　 　．
14．（2025·东莞模拟）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　 　．
15．（2025·东莞模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为　 　．
16．（2025·东莞模拟） 计算.
17．（2025·东莞模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．
18．（2025·东莞模拟）光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求的长．
19．（2025·东莞模拟）某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
20．（2025·东莞模拟）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．
（1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？
21．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
22．（2025·东莞模拟）问题情景
如图，与都是等腰直角三角形，且，求证：；
问题迁移
如图，在中，，，平分，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
求证：；
连接，若，，直接写出，的长；
问题变式
如图，在菱形中，，点是对角线（端点除外）上的动点，连接，作菱形，使，交于点，若，求的值（用含有的式子表示）．
23．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当时，求点的横坐标；
②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．；
B．；
C．与不是同类项，不能进行加法运算；
D．；
故选：D．
【分析】
根据相关法则计算即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：B．
【分析】
将实际问题转化为方向角的问题即可解答．
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得，．
故选C．
【分析】设这个小组有x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】
解：∵为的切线，∴．
∵为的切线，
∴．
∵，
∴．
故选B．
【分析】由切线长定理知，，所以．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，即，故选项B，C，D错误，
，
，选项A正确；
故选：A．
【分析】根据正比例函数的性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
∵是直径，
∴，
易证 ，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解∶原式
，
故答案为∶．
【分析】
先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
13．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①②得：，
解得③
把③代入②解得：．
解得
故原方程组的解是：．
故答案为：
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由对称性得：
∵是的中点，
∵的长的最大值为3，则长的最大值为：
如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点，
在直线上，
设，则即
在中，由勾股定理得：
代入数据得：
整理得：
解得：(舍去)，或
∵在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【分析】连接，由对称性得：，根据线段中点可得，则长的最大值为6，当过圆心时，最长，过作轴交于点，设，则即，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．【答案】解：原式.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值、0指数、算术平方根、负指数，再进行合并即可求解.
17．【答案】解：（1）
四边形就是所求作的矩形
（2）连接，如下图：
∵四边形是矩形，
∴.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）以为圆心，以长为半径画弧，再以为圆心以长为半径画弧，两弧交于点，即可求解；
（2）利用矩形的性质，求解AC长即可．
18．【答案】（1）解：，
，
折射率为：；

（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
，
，
在中，设，，
由勾股定理得，，
，
．

【知识点】勾股定理；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解；
（2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，结合勾股定理得出，由，即可求得．
（1））解：，
，
折射率为：；
（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
．
19．【答案】（1）200，25，36
（2）解：由图可知：
选中C的学生为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：设两个小组选择A、B话题发言的事件为A
画树状图如下：
共有6个等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而事件A的结果有2个，
∴P(A)=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的学生共有：（人），
选择D的人数百分率为：
，
a=25
故答案为：200，25，36；
【分析】（1）先根据总数=频数÷百分率，计算出总数，求出D的百分率和圆心角，最后求a
(2)根据C组的百分率，先求出C组的人数，补全条形图即可
（3）设设两个小组选择A、B话题发言的事件为A，画出树状图，列出所有结果，根据概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，
，
，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
∴甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据费用要求列出一元一次不等式求解．
（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
21．【答案】（1）①，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
易证，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】（1）①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
【分析】
（1）①直接根据圆的周长公式计算；
②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式分别得到和的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出；
（2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得．
（1）解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，
，，
故答案为，；
②证明：设它所对的圆心角的度数为，
的长，的长，
所以，
，
而，
解得，
即，
因为，
解得；
（2）解：如图4，连接，，它们相交于点，
四边形为正方形，
，，
，，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为．
22．【答案】[问题情景]证明：∵和为等腰直角三角形，∴，，
∴，
∴；
[问题迁移]证明：∵平分，
∴，
由旋转的性质知：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由上得：，，
∴，
∴，
∵，
∴；
[问题变式]解：∵菱形，，
∴，为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】问题情景：由与都是等腰直角三角形，，，可判定；
问题迁移：由平分，则，由旋转的性质知，，由，，故有，，证明，根据相似三角形的对应角相等可得，即可证；
根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论；
问题变式：由菱形性质可知为等边三角形，则，结合可求出，根据三角形内角和定理可证明，再用两角对应相等判定相似得到，得出，即可得解．
23．【答案】（1）解：①令，
解得或；
点，，
令，得，
．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②∵、，由待定系数法，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可；
②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可．
（2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可．
（1）解：①令得，解得或；
点，，
令，得，
．
，．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②设直线的表达式为．
将点、代入，得，解得，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．
∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
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