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广东省深圳市南外集团2024-2025学年第二学期6月质量检测九年级数学试卷
1．（2025·深圳模拟）下列四张新能源图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形为轴对称图形，A不符合题意；
B、此图形为轴对称图形，B不符合题意；
C、此图形即为轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、此图形即不是中心对称图形，也不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
根据中心对称图形定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 °，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
2．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、两者不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 原选项计算正确，符合题意；
C、计算结果是4，原选项计算错误，不符合题意；
D、计算结果是 ，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式运算法则逐一排除即可.
3．（2025·深圳模拟）正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．中 B．加 C．考 D．油
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解： 由正方体展开图特点可知： “初”与“加”相对，
故答案为：B.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可.
4．（2025·深圳模拟）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．（2025·深圳模拟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．（2025·深圳模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动，甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 若设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据题意列方程得；
故答案为：A.
【分析】
根据已知条件找等量关系时间=，设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据 乙同学比甲同学提前7min到达活动地点列等量关系.
7．（2025·深圳模拟）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，AB=6，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（　　）
A．水平向右移动1cm B．水平向左移动1cm
C．水平向右移动1.5cm D．水平向左移动1.5cm
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABO和△DCO成位似图形 ，
∴ △ABO和△DCO位似比为：；
∵ 遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，
∴遮挡板MN和光屏AB的水平距离为4cm，
为了使像CD的长度变成AB的3倍 ，
即；
∵AB=6，
∴CD=18，
∴遮挡板MN和光屏AB的水平距离为3cm，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为9cm，
∴可将遮挡板MN向左移动1cm.
故答案为：B.
【分析】
根据位似三角形的位似比即可解答.
8．（2025·深圳模拟）如图，已知△ABC位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（2，1），（1，5）.若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k 的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（1，1），（2，1），（1，5），
∴设直线BC解析式为：y=kx+b，
将（2，1），（1，5）代入可得：，
解得：，
∴设直线BC解析式为：y=4x+9，联立 y=（k≠0） 可得：4x2-9x+k=0，
∵ 双曲线y=（k≠0） 与 △ABC有交点 ，
∴ =b2-4ac=81-16k≥0，即k≤，
∴k的最大值为.
故答案为：D.
【分析】
根据一次函数所在的坐标点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据双曲线与△ABC有交点 ，确定k的取值范围.
9．（2025·深圳模拟）若，则的值为　 　．
【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．（2025·深圳模拟）在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∴介于 和 之间的整数是3，
故答案为：3.
【分析】分别估算 的取值范围，即可得出介于 和 之间的整数.
11．（2025·深圳模拟）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是　 　（写出一个）．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴实数c的值可能是1(答案不唯一)。
故答案为：1(答案不唯一)。
【分析】利用根的判别式 即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论.
12．（2025·深圳模拟）如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约60°，即∠BAF=60°，最小能达到约37°，即∠CDF=37°，已知该三脚架的支柱AB=CD=1.5m，则该三脚架可调节的部分BC的长度为　 　.（答案精确到0.1m，已知cos37°≈0.8， sin37°≈0.6， tan37°≈0.75，≈1.732 ）
【答案】0.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，BG⊥EF，
∵∠BAF=60°，∠CDF=37°，AB=CD=1.5m，
∴在Rt△ABG中，BG=AB·sin∠BAF=≈1.299（m），
在Rt△CDG中，CG=CD·sin∠CDF=1.5×sin37°≈0.9（m），
∴BC=BG-CG≈0.4m
故答案为：0.4m.
【分析】
根据解直角三角形的应用，在Rt△ABG和Rt△CDG中，解得BG与CG的长，再根据BC=BG-CG可得
13．（2025·深圳模拟）如图，线段AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，AB=6，CD=5，则AC+BD·的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CM//AB，过点D作DM⊥CM于点M，过点B作BC//AC交CM于点F，
∵∠AOC=30°，AB=6，，
∴∠MCD=∠AOC=30°，
在Rt△CDM中，，
由勾股定理得：
∵CM//AB，BC//AC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AF=AB=6，AC=BF，
∴，AC+BD=BF+BD，
∴当BF+BD为最小时，AC+BD为最小，
根据“两点之间线段最短”得：BF+BD≤DF，
∴当点D，B，F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，
∴AC+BD的最小值是线段DF的长，
在Rt△DFM中，，，
由勾股定理得：，
∴AC+BD的最小值是.
故答案为：.
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DM⊥CM于点M，过点B作BC//AC交CM于点F，则∠MCD=∠AOC=30°，进而得，，证明四边形ABFC是平行四边形，AF=AB=6，AC=BF，则，AC+BD=BF+BD，由此得当BF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得：BF+BD≤DF，因此当点D，B，F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中，由勾股定理求出，即可得出AC+BD的最小值.
14．（2025·深圳模拟） 计算：；
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
根据实数的运算法则，先算同级别的，，，，再算加减.
15．（2025·深圳模拟） 下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：去分母，得6-5x-4>3x-6.第一步 移项，得-5x-3x>-6+4-6．第二步 合并同类项，得-8x>-8，第三步 x系数化成1，得x>1.第四步
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是　 　.
（2）在解答过程中，从第　 　步开始出错，错误原因是　 　.
（3）原不等式的正确解集为　 　.
【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）解不等式去分母，根据是不等式基本性质，不等式两边乘以一个不为零的非负数，不等式符号不改变；
（2）根据不等式的性质，可知，不等式两边乘以一个负数，不等式的符号要变号即可；
（3）根据解不等式，去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可.
16．（2025·深圳模拟）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务，深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的长，并绘制如下不完整的统计图表，
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x<20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x<60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤1000 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于　 　调查，本次调查的样本容量为　 　 .
（2）样本数据的中位数落在　 　组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议。
【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有2000××2000=600的学生观看时间低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次的调查为抽样调查；
根据B组的频数是40，在扇形统计图占20%，∴样本容量为：；
（2）根据C组的频数为200-20-40-60-10=70，∵样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，20+40<100，20+40+70>101，∴可以确定样本数据的中位数落在C组.
【分析】
（1）根据抽样调查的概念可以确定，本次的调查的样本容量，根据样本估计总体图表B中的频数与扇形统计图中B所占的百分数的比值等于样本容量；
（2）根据中位数的概念即可确定；
（3）根据样本总数乘以小于40分钟不合格所占的比例即可.

17．（2025·深圳模拟）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元／个和58元／个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．求与的函数关系式并确定该商家如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件。
解：设“滨滨”摆件的零售价格为元／件，“妮妮”摆件的零售价格为元／件，根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨’“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件；
（2）①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元。
购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（）个，
根据题意得：，
“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
因为为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值（最大值为2330）
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“滨滨”摆件的零售价格为x元/件，“妮妮”摆件的零售价格为y元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
(2)①设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件 个，根据题意即可确定w与m的函数关系式；②首先确定m的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案.
18．（2025·深圳模拟）如图 1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上.
（1）请你添加一个条件： ▲ ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明），
【答案】（1）解：∠CDA=∠ABD；
证明：连接OD
AB是⊙O直径
∠ADB=90°
∠ADO+∠ODB=90°
∠CDA=∠ABD
∠CDA+∠ADO=90°即∠CDO=90°
OD是半径
CD是⊙O的切线
（2）解：如图所示（答案不唯一）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质，∠ODB=∠ABD，根据直径所对的圆周角等于90°，只需添加∠CDA=∠ABD即可；
（2）根据圆与切线的关系，分别作PA和PB的垂线，交点为圆心为O，在以O为圆心，OA和OB为半径，画圆即可（答案不唯一）
19．（2025·深圳模拟）镁在燃烧时发出耀眼的白光.某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完.
发射时间x/s 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度y/cm 0 92 200 288 312 312 …
（1）①请利用表格数据描点，画出у与x的大致图像，根据图像估计y与x之间的函数关系是 （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）.
②求y与x之间的函数关系式.
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处.
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同，该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒。
【答案】（1）解：①二次函数；
②设，把，，，
代入得，
将代入后两个方程得，
化简得，两式相减得，
解得，
把代入
得，
解得，
所以；
（2）解：发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处
（3）解：当x=12.5时，y最大，镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，所以第个镁球燃烧完的时间为12.5+1.5=14s，此时y=308，
设第个镁球发射时间为x0秒，
则，
即，
解得x0=11或x0=14（舍去），
所以这2个镁球发射时间相隔14-11=3秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）由二次函数解析式，对称轴为x=
∴发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处
【分析】
（1） ① 根据图表，描点，画出图形，即可得；
② 根据二次函数解析式，把坐标代入解析式，求出a，b，c的值；
（2）根据二次函数的最值，求出二次函数的顶点坐标；
（3）先求出第一个镁球燃烧完时的时间，再由对称性可以求出第二个镁球发射的时间.
20．（2025·深圳模拟）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点。
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，展开铺平.折痕为EF；
第2步：再将BC边沿CE翻折得到GC；
第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.
证明如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠， ∴∠D=∠B=∠CGH =90°，CG=CB=CD， 又∵CH=CH， ∴ACGHEACDH （①） ∴GH=DH．设DH=x， ∵E是AB的中点，则AE = BE=EG=AB=3 在Rt△AEH中，可列方程： ② 解得：DH=2，即H是AD边的三等分点.
“破浪”小组进行如下操作：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕AC与折痕DE交于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN∥AD.
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是　 　；
②处所列方程是　 　；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】
①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为EF，将△EDC沿AD翻折得到AEGC，过点G折叠矩形纸片，使折痕MN//AB，若，求的值。
②在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BA上一动点，连接CE，将△EBC沿CE翻折得到△EGC，直线EG与直线AD交于点H.若DH =AD，请直接写出BE的长.
【答案】（1）；
（2）解：点是边的三等分点，证明如下：
分别是的中点，
是正方形，
，，，
，，
，
，
，，
，
，即，
点是边的三等分点．
（3）解：①
设
则，根据折叠可知，则
，=
，
．
四边形是矩形，
，相似比为
设ME=t，则NG=，MG=
在中，由勾股定理得
（舍），
②当点在线段上时，如图所示，
则，
同【探究操作】设，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得
，
当点在的延长线上时，连接，如图所示．
正方形的边长为6，
，．
由折叠的性质得，
又，
，
．
设．
，．
在，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，的长为3或12．
的长为3或12
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】
（1） ① 根据直角三角形全等的判定可知；
② 根据勾股定理可知；
（2）根据正方形的性质，以及三角形相似的判定即可得；
（3） ① 根据折叠定义，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的相似的判定，勾股定理即可得；
②分两种情况，第一种情况是当点在线段上时，根据线段的关系以及勾股定理即可得；
第二种情况当点在的延长线上时，根据折叠的性质，以及直角三角形全等的判定和性质，再根据勾股定理可得.
1 / 1广东省深圳市南外集团2024-2025学年第二学期6月质量检测九年级数学试卷
1．（2025·深圳模拟）下列四张新能源图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟）正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．中 B．加 C．考 D．油
4．（2025·深圳模拟）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
6．（2025·深圳模拟）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动，甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳模拟）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，AB=6，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（　　）
A．水平向右移动1cm B．水平向左移动1cm
C．水平向右移动1.5cm D．水平向左移动1.5cm
8．（2025·深圳模拟）如图，已知△ABC位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（2，1），（1，5）.若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k 的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
9．（2025·深圳模拟）若，则的值为　 　．
10．（2025·深圳模拟）在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
11．（2025·深圳模拟）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是　 　（写出一个）．
12．（2025·深圳模拟）如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约60°，即∠BAF=60°，最小能达到约37°，即∠CDF=37°，已知该三脚架的支柱AB=CD=1.5m，则该三脚架可调节的部分BC的长度为　 　.（答案精确到0.1m，已知cos37°≈0.8， sin37°≈0.6， tan37°≈0.75，≈1.732 ）
13．（2025·深圳模拟）如图，线段AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，AB=6，CD=5，则AC+BD·的最小值为　 　。
14．（2025·深圳模拟） 计算：；
15．（2025·深圳模拟） 下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：去分母，得6-5x-4>3x-6.第一步 移项，得-5x-3x>-6+4-6．第二步 合并同类项，得-8x>-8，第三步 x系数化成1，得x>1.第四步
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是　 　.
（2）在解答过程中，从第　 　步开始出错，错误原因是　 　.
（3）原不等式的正确解集为　 　.
16．（2025·深圳模拟）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务，深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的长，并绘制如下不完整的统计图表，
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x<20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x<60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤1000 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于　 　调查，本次调查的样本容量为　 　 .
（2）样本数据的中位数落在　 　组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议。
17．（2025·深圳模拟）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元／个和58元／个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．求与的函数关系式并确定该商家如何进货才能获得最大利润？
18．（2025·深圳模拟）如图 1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上.
（1）请你添加一个条件： ▲ ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明），
19．（2025·深圳模拟）镁在燃烧时发出耀眼的白光.某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完.
发射时间x/s 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度y/cm 0 92 200 288 312 312 …
（1）①请利用表格数据描点，画出у与x的大致图像，根据图像估计y与x之间的函数关系是 （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）.
②求y与x之间的函数关系式.
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处.
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同，该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒。
20．（2025·深圳模拟）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点。
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，展开铺平.折痕为EF；
第2步：再将BC边沿CE翻折得到GC；
第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.
证明如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠， ∴∠D=∠B=∠CGH =90°，CG=CB=CD， 又∵CH=CH， ∴ACGHEACDH （①） ∴GH=DH．设DH=x， ∵E是AB的中点，则AE = BE=EG=AB=3 在Rt△AEH中，可列方程： ② 解得：DH=2，即H是AD边的三等分点.
“破浪”小组进行如下操作：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕AC与折痕DE交于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN∥AD.
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是　 　；
②处所列方程是　 　；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】
①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为EF，将△EDC沿AD翻折得到AEGC，过点G折叠矩形纸片，使折痕MN//AB，若，求的值。
②在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BA上一动点，连接CE，将△EBC沿CE翻折得到△EGC，直线EG与直线AD交于点H.若DH =AD，请直接写出BE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形为轴对称图形，A不符合题意；
B、此图形为轴对称图形，B不符合题意；
C、此图形即为轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、此图形即不是中心对称图形，也不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
根据中心对称图形定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 °，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
2．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、两者不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 原选项计算正确，符合题意；
C、计算结果是4，原选项计算错误，不符合题意；
D、计算结果是 ，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式运算法则逐一排除即可.
3．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解： 由正方体展开图特点可知： “初”与“加”相对，
故答案为：B.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可.
4．【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 若设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据题意列方程得；
故答案为：A.
【分析】
根据已知条件找等量关系时间=，设乙同学的速度是xm/min ，则甲同学的速度是1.1xm/min，根据 乙同学比甲同学提前7min到达活动地点列等量关系.
7．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABO和△DCO成位似图形 ，
∴ △ABO和△DCO位似比为：；
∵ 遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，
∴遮挡板MN和光屏AB的水平距离为4cm，
为了使像CD的长度变成AB的3倍 ，
即；
∵AB=6，
∴CD=18，
∴遮挡板MN和光屏AB的水平距离为3cm，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为9cm，
∴可将遮挡板MN向左移动1cm.
故答案为：B.
【分析】
根据位似三角形的位似比即可解答.
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（1，1），（2，1），（1，5），
∴设直线BC解析式为：y=kx+b，
将（2，1），（1，5）代入可得：，
解得：，
∴设直线BC解析式为：y=4x+9，联立 y=（k≠0） 可得：4x2-9x+k=0，
∵ 双曲线y=（k≠0） 与 △ABC有交点 ，
∴ =b2-4ac=81-16k≥0，即k≤，
∴k的最大值为.
故答案为：D.
【分析】
根据一次函数所在的坐标点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据双曲线与△ABC有交点 ，确定k的取值范围.
9．【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∴介于 和 之间的整数是3，
故答案为：3.
【分析】分别估算 的取值范围，即可得出介于 和 之间的整数.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴实数c的值可能是1(答案不唯一)。
故答案为：1(答案不唯一)。
【分析】利用根的判别式 即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论.
12．【答案】0.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，BG⊥EF，
∵∠BAF=60°，∠CDF=37°，AB=CD=1.5m，
∴在Rt△ABG中，BG=AB·sin∠BAF=≈1.299（m），
在Rt△CDG中，CG=CD·sin∠CDF=1.5×sin37°≈0.9（m），
∴BC=BG-CG≈0.4m
故答案为：0.4m.
【分析】
根据解直角三角形的应用，在Rt△ABG和Rt△CDG中，解得BG与CG的长，再根据BC=BG-CG可得
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CM//AB，过点D作DM⊥CM于点M，过点B作BC//AC交CM于点F，
∵∠AOC=30°，AB=6，，
∴∠MCD=∠AOC=30°，
在Rt△CDM中，，
由勾股定理得：
∵CM//AB，BC//AC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AF=AB=6，AC=BF，
∴，AC+BD=BF+BD，
∴当BF+BD为最小时，AC+BD为最小，
根据“两点之间线段最短”得：BF+BD≤DF，
∴当点D，B，F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，
∴AC+BD的最小值是线段DF的长，
在Rt△DFM中，，，
由勾股定理得：，
∴AC+BD的最小值是.
故答案为：.
【分析】过点C作CM//AB，过点D作DM⊥CM于点M，过点B作BC//AC交CM于点F，则∠MCD=∠AOC=30°，进而得，，证明四边形ABFC是平行四边形，AF=AB=6，AC=BF，则，AC+BD=BF+BD，由此得当BF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得：BF+BD≤DF，因此当点D，B，F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中，由勾股定理求出，即可得出AC+BD的最小值.
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
根据实数的运算法则，先算同级别的，，，，再算加减.
15．【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】
（1）解不等式去分母，根据是不等式基本性质，不等式两边乘以一个不为零的非负数，不等式符号不改变；
（2）根据不等式的性质，可知，不等式两边乘以一个负数，不等式的符号要变号即可；
（3）根据解不等式，去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可.
16．【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有2000××2000=600的学生观看时间低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次的调查为抽样调查；
根据B组的频数是40，在扇形统计图占20%，∴样本容量为：；
（2）根据C组的频数为200-20-40-60-10=70，∵样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，20+40<100，20+40+70>101，∴可以确定样本数据的中位数落在C组.
【分析】
（1）根据抽样调查的概念可以确定，本次的调查的样本容量，根据样本估计总体图表B中的频数与扇形统计图中B所占的百分数的比值等于样本容量；
（2）根据中位数的概念即可确定；
（3）根据样本总数乘以小于40分钟不合格所占的比例即可.

17．【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件。
解：设“滨滨”摆件的零售价格为元／件，“妮妮”摆件的零售价格为元／件，根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨’“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件；
（2）①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元。
购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（）个，
根据题意得：，
“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
因为为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值（最大值为2330）
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“滨滨”摆件的零售价格为x元/件，“妮妮”摆件的零售价格为y元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
(2)①设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件 个，根据题意即可确定w与m的函数关系式；②首先确定m的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案.
18．【答案】（1）解：∠CDA=∠ABD；
证明：连接OD
AB是⊙O直径
∠ADB=90°
∠ADO+∠ODB=90°
∠CDA=∠ABD
∠CDA+∠ADO=90°即∠CDO=90°
OD是半径
CD是⊙O的切线
（2）解：如图所示（答案不唯一）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质，∠ODB=∠ABD，根据直径所对的圆周角等于90°，只需添加∠CDA=∠ABD即可；
（2）根据圆与切线的关系，分别作PA和PB的垂线，交点为圆心为O，在以O为圆心，OA和OB为半径，画圆即可（答案不唯一）
19．【答案】（1）解：①二次函数；
②设，把，，，
代入得，
将代入后两个方程得，
化简得，两式相减得，
解得，
把代入
得，
解得，
所以；
（2）解：发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处
（3）解：当x=12.5时，y最大，镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，所以第个镁球燃烧完的时间为12.5+1.5=14s，此时y=308，
设第个镁球发射时间为x0秒，
则，
即，
解得x0=11或x0=14（舍去），
所以这2个镁球发射时间相隔14-11=3秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）由二次函数解析式，对称轴为x=
∴发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处
【分析】
（1） ① 根据图表，描点，画出图形，即可得；
② 根据二次函数解析式，把坐标代入解析式，求出a，b，c的值；
（2）根据二次函数的最值，求出二次函数的顶点坐标；
（3）先求出第一个镁球燃烧完时的时间，再由对称性可以求出第二个镁球发射的时间.
20．【答案】（1）；
（2）解：点是边的三等分点，证明如下：
分别是的中点，
是正方形，
，，，
，，
，
，
，，
，
，即，
点是边的三等分点．
（3）解：①
设
则，根据折叠可知，则
，=
，
．
四边形是矩形，
，相似比为
设ME=t，则NG=，MG=
在中，由勾股定理得
（舍），
②当点在线段上时，如图所示，
则，
同【探究操作】设，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得
，
当点在的延长线上时，连接，如图所示．
正方形的边长为6，
，．
由折叠的性质得，
又，
，
．
设．
，．
在，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，的长为3或12．
的长为3或12
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】
（1） ① 根据直角三角形全等的判定可知；
② 根据勾股定理可知；
（2）根据正方形的性质，以及三角形相似的判定即可得；
（3） ① 根据折叠定义，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的相似的判定，勾股定理即可得；
②分两种情况，第一种情况是当点在线段上时，根据线段的关系以及勾股定理即可得；
第二种情况当点在的延长线上时，根据折叠的性质，以及直角三角形全等的判定和性质，再根据勾股定理可得.
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