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1.3.2抛物线的简单几何性质
同步课时作业
1.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A.开口向下，准线方程为 B.开口向左，准线方程为
C.开口向下，准线方程为 D.开口向左，准线方程为
2.已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB的中点C的横坐标是( )
A.2 B. C. D.
3.F是抛物线的焦点，A，B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.4 B. C.3 D.
4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么( )
A.6 B.8 C.9 D.10
5.在平面直角坐标系中，抛物线，P为x轴正半轴上一点，线段的垂直平分线l交C于A，B两点.若，则四边形的周长为( )
A. B.64 C. D.80
6.抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.设拋物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于点O的一点，过点P作于点Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
8.直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标为，则( )
A.2 或-1 B.-1 C.2 D.3
9.（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点.若，则( )
A.直线AB的斜率为 B.
C. D.
10.（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线C上，若，则( )
A.F的坐标为 B.
C. D.以MF为直径的圆与x轴相切
11.已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数m的值为___________.
12.抛物线关于直线对称的抛物线的准线方程是__________.
13.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点A，则该抛物线的标准方程为__________.
14.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为__________.
15.已知抛物线C的焦点，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.
（1）求证：点F在直线BD上.
（2）设，求的内切圆M的方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：抛物线的开口朝下，准线方程为.故选C.
2.答案：B
解析：设，，C的横坐标为，则.因为AB是抛物线的一条焦点弦，所以，所以，则.故选B.
3.答案：D
解析：抛物线的焦点，准线方程为.
设，，根据抛物线的定义得，所以，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D.
4.答案：B
解析：由题意知，抛物线的焦点为.
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，.
又，.故选B.
5.答案：A
解析：如图，因为线段的垂直平分线l交C于A，B两点，所以结合抛物线的对称性可得与互相平分，则四边形为菱形.设点且，则线段的垂直平分线l的方程为.设l与x轴交于点H，又，则在中，，则，所以点，代入拋物线，可得，解得.在中，，所以四边形的周长为.故选A.
6.答案：C
解析：设，，A，B在l上的射影分别为M，N，
则，，故.
又，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立.故.故选C.
7.答案：B
解析：连接PF.由题意及抛物线的定义可知，则为等腰三角形，则线段FQ的垂直平分线经过点P.
8.答案：C
解析：由得，
则，且，所以.
9.答案：ACD
解析：如图，取线段FM的中点H，连接AH，，轴，
又，，，
则，代入抛物线方程得（舍负），，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，故A正确；
，，，故B错误；
，故C正确；
，，，，，，，
，均为锐角，可得，故D正确.故选ACD.
10.答案：BCD
解析：对于抛物线，可得，，且焦点在y轴正半轴上，则点，A错误；
由抛物线的定义可得，可得，B正确；
由可知，可得，所以，C正确；
因为MF的中点坐标为，则点到x轴的距离，所以以MF为直径的圆与x轴相切，D正确.
故选BCD.
11.答案：8
解析：由题意得，抛物线的焦点为点，双曲线的右顶点为，所以，解得.
12.答案：
解析：抛物线的标准方程为，
其准线方程为.直线关于对称的直线的方程为，所求的抛物线的准线方程为.
13.答案：
解析：设点关于直线对称的点为，过A且平行于x轴的直线交抛物线于B，则有.
由可得
即.
由题意可知，，F，B三点共线，因为，F都在x轴上，所以，F重合，即，，，所以抛物线的标准方程为.
14.答案：或
解析：设焦点，，即，解得或.当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为；当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题意可知，抛物线的方程为.
设直线l的方程为，，，.
联立得方程组消去x并整理，得，故，.
直线BD的方程为，
即.
令，得，点在直线BD上.
（2）由（1）可知.
，.
由，，
得，
则，.
故直线l的方程为或.
由（1）知点在直线BD上，.
，
，
故直线BD的方程为或.
又KF为的平分线，可设圆心.
点到直线l及BD的距离分别为，，
由，得或（舍去）.
故圆M的半径.
圆M的方程为.

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