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2.4.1直线与圆锥曲线的交点
同步课时作业
1.直线与椭圆的公共点的个数是( ).
A.0 B.1
C.2 D.随k的变化而改变
2.直线与椭圆的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.倾斜角为的直线l与抛物线相切，分别与x轴、y轴交于A，B两点，则过A，B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为( )
A.4 B.2 C. D.
4.过点的直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6.已知F是抛物线的焦点，A、B是该抛物线上的两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
7.过抛物线的焦点F作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若，则（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
8.如图，已知直线与抛物线交于两点，且两点在抛物线C的准线上的射影分别是点，若，则实数k的值是( )
A. B. C. D.
9.（多选）设抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点.若，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点.若为锐角三角形，则下列说法正确的是( )
A.双曲线过点
B.直线与双曲线有两个公共点
C.双曲线的一条渐近线的斜率小于
D.双曲线离心率的取值范围为
11.若点是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为，则的值是__________.
12.设抛物线的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_______________.
13.已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于两点.若，则_______.
14.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两点，与x轴交于点为坐标原点，.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:.
15.已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线恒过点，因为点P在椭圆内，所以直线与椭圆必相交.也可以代入消元，证明恒成立.
2.答案：C
解析：由椭圆，可得，，则椭圆的右顶点为，上顶点为.又直线恰好过点A，B，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选C.
3.答案：B
解析：直线l的倾斜角为，直线l的斜率为-1，则设直线l的方程为.
由消去x整理得，，解得.
直线l的方程为，令，得；令，得，即，.
过A，B两点的最小圆即以AB为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为.
又抛物线的准线方程为，过A，B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.故选B.
4.答案：B
解析：如图，根据双曲线的方程可知，该双曲线为等轴双曲线，点在双曲线的一条渐近线上.
因此过点的直线与双曲线只有一个公共点，分两种情况：
（1）直线与双曲线另一条渐近线平行，此时直线方程为.
（2）直线与双曲线相切，设该直线斜率为，则直线方程为，联立消去y整理得，令，解得或，因为，所以当且仅当时，直线与双曲线相切.综上，满足条件的直线有2条.故选B.
5.答案：C
解析：根据双曲线方程可知，点即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另外过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条.
6.答案：C
解析：由抛物线方程得焦点，准线方程为.
设，，则，.
由，得.
设AB的中点为，则，
所以AB的中点到x轴的距离为，故选C.
7.答案：B
解析：由题意得，则直线的方程为.
联立，解得，即.
所以.
又因为，所以，则，故选B.
8.答案：C
解析：设，则由，得.由，解得或(不合题意，舍去)，所以.又直线过定点，所以.故选C.
9.答案：CD
解析：由抛物线，得其焦点.由题意，设直线l的方程为，点，.联立消去y，得.则，，.根据抛物线的定义，得，.因为，所以，则，解得或（舍去）.所以，所以，解得，即直线l的方程为.故选CD.
10.答案：ACD
解析：A选项：将点的坐标代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故正确.
D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，解得，又，所以，所以.即，所以双曲线离心率的取值范围是，故正确.
C选项：双曲线的一条渐近线的方程为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故正确.
B选项：联立得，即，，由C选项得，，此时，故错误.故选ACD.
11.答案：2
解析：
设过点旦斜率为2的直线交拋物线交于两点，
，则
由①-②得，即，
由題意知，且，
故，所以.
12.答案：
解析：因为抛物线的方程为，所以焦点F为，准线l的方程为，点F到直线l的距离为2.即圆的半径为2，圆心为，故所求圆的方程为.
13.答案：
解析：抛物线的焦点为，将直线的方程与抛物线C的方程联立，整理得，设，则.由得，整理得，代入化简得，解得.
14.答案：(1)∵，，，
∴，∴，解得，
∴所求抛物线的方程为.
(2)由，得，即，
设，，
∴，
又，
∴，
∴，即.
解析：
15.答案：（1）
（2）的面积为定值
解析：（1）因为椭圆过点，所以，
又，，联立解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，，，
联立得，
，
所以
则
，
所以，满足.
所以
，
又原点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.

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