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1.2.1 命题与量词
——高一数学人教B版（2019）必修一同步课时作业
1.下列命题中不是存在量词命题的是( )
A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意，是奇数 D.存在，是奇数
2.下列结论中正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题“，”是真命题；
④命题“有一个偶数是质数”是真命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列命题中真命题的序号为( )
①若，则，；
②若，则；
③存在不全等的三角形，使它们的面积相等；
④面积相等的两个三角形一定是全等三角形.
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
4.下列命题中，属于真命题的是( )
A.各边相等的多边形是正多边形
B.矩形的对角线互相垂直
C.三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分
D.对顶角相等
5.命题“矩形都有外接圆”是( )
A.全称量词命题、真命题 B.全称量词命题、假命题
C.存在量词命题、真命题 D.存在量词命题、假命题
6.下列命题是存在量词命题且是真命题的是( )
A.所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B.平行四边形的对角线相等
C.有些实数是无限不循环小数
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
7.（多选）下列命题中为真命题的是( )
A.，
B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C.，是无理数
D.任何实数都有算术平方根
8.（多选）若集合，集合，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.， D.，
9.（多选）下列命题中，与“，”表述的内容相同的是( )
A.能找到一个，使得成立 B.对有些，使得成立
C.任选一个，都有成立 D.至少有一个，使得成立
10.命题“有些负数满足不等式”用“”或“”可表述为____________.
11.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有、、、（除数）则称数集P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.下列命题是真命题的是为_______________.
①整数集是数域
②若有理数集，则数集M必为数域
③数域必为无限集
④存在无穷多个数域
12.下列命题：
①有的质数是偶数；
②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
③有的三角形的三个内角成等差数列；
④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，
其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________.(只填序号)
13.指出下列命题中哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
（1）对任意一个无理数x，也是无理数；
（2）对任意实数a，b，若，则；
（3）对任意一个实数x，都有；
（4）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
14.判断下列命题的真假：
（1）；
（2）0是最小的自然数；
（3）每个正方形都有4条对称轴；
（4）一定是无理数.
15.判断下列命题的真假：
（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）；
（4）；
（5）.
答案以及解析
1.答案：D
解析：对选项A，为存在量词命题，
对选项B，存在量词命题，
对选项C，为存在量词命题，
对选项D，为全称量词命题.故选：D
2.答案：B
解析：对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误；
对于B，含存在量词“至少有一个”，为存在量词命题，且当时，成立，该命题为真命题，所以选项B正确；
对于C，“两个无理数的和”省略了全称量词“（任意）两个无理数的和”，是全称量词命题，且无理数与的和为0，是有理数，该命题为假命题，所以选项C错误；
对于D，含存在量词“存在一个”，当时，，故不成立，该命题为假命题，所以选项D错误.故选：B.
3.答案：D
解析：对于A选项，是无理数，不是有理数，故A为真命题.对于B选项，是无理数，故B为真命题.对于C选项，一元二次方程的判别式，方程没有实数根，故C为真命题.对于D选项，存在三个角分别为，，的等腰三角形，故D为假命题.故选D.
4.答案：D
解析：对于A，各边相等的四边形可以是菱形，不是正方形，故A错误.
对于B，矩形的对角线相等但不垂直，故B错误.
对于C，三角形的中位线把三角形分成面积比为的两部分，故C错误.
对于D，对顶角相等，故D正确.故选D.
5.答案：A
解析：命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题.故选：A
6.答案：C
解析：
A × 命题中含有全称量词“所有”，为全称量词命题.
B × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题.
C √ 命题中含有存在量词“有些”，为存在量词命题；是实数，且是无限不循环小数，为真命题.
D × 命题中省略了全称量词“所有”，为全称量词命题.
7.答案：ABC
解析：对于A，当时，成立，故A正确，
对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确，
对于C，当，是无理数，故C正确，
对于D，负数没有算术平方根，故D错误，故选：ABC.
8.答案：BC
解析：由题意得，，则，故A错误；
，故B正确；
，，故C正确；
，，故D错误.故选BC.
9.答案：ABD
解析：C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选ABD.
10.答案：，使得
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
11.答案：③④
解析：①，但，故错误；
②令，则，但，故错误；
③若，则，，，···，（k为整数）都在p中，整数有无数个，则数域为无限集，故正确；
④把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，故正确.故答案为：③④.
12.答案：
②④； ①③
解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题.
13.答案：（1）全称量词命题，假命题
（2）全称量词命题，假命题
（3）全称量词命题，真命题
（4）存在量词命题，假命题
解析：（1）全称量词命题，假命题.如：是无理数，但是有理数，所以该命题是假命题.
（2）全称量词命题，假命题.当，时，满足，此时，，，所以该命题为假命题.
（3）全称量词命题，真命题.对任意一个实数x，都有，则，故该命题是真命题.
（4）存在量词命题，假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以该命题是假命题.
14.答案：（1）真命题
（2）真命题
（3）真命题
（4）假命题
解析：（1）由题意知，对于任意不等式恒成立.故此命题为真命题；
（2）根据自然数集的定义知，最小的自然数是0；故此命题为真命题；
（3）由正方形的图形特点知，每个正方形都有两条对角线和过对边中点的直线四条对称轴，故此命题为真命题；
（4）对于任意，不一定都是无理数，如时，不是无理数，故此命题为假命题.
15.答案：真命题：（1）（2）（3）（4）（5）
解析：（1）由交集的定义可知，集合中的元素即属于集合A又属于集合B，
因为，所以集合A中元素都属于集合B，即成立，故此命题为真命题；
（2）由交集的定义可知，集合中的元素即属于集合A又属于集合B，显然成立，故此命题为真命题；
（3）由元素与集合的关系知，因为集合中含有元素a，
所以成立，故此命题为真命题；
（4）因为集合中的所有元素a，b都在集合中，
由集合间的包含关系可知，成立，故此命题为真命题；
（5）因为，所以成立，故此命题为真命题.

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