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第一章 特殊平行四边形 单元试卷
一、选择题
菱形具有而矩形不一定具有的性质是
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
菱形的两条对角线长为 和 ，那么这个菱形的周长为
A． B． C． D．
如图，四边形 是菱形，，， 于 ，则
A． B． C． D．
在正方形 中，， 是对角线 上两点，连接 ，，，，则添加下列哪一个条件可以判定四边形 是菱形
A． B． C． D．
如图，，，， 分别是 ，，， 的中点，且 ，下列结论：① ；②四边形 是菱形；③ 平分 ；④ ，其中正确的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别交 ， 于 ，，连接 ，．若 ，，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且 ，则 的度数为
A． B． C． D．
如图，矩形 中， 是 的中点，点 在 边上运动，， 分别是 ， 的中点，则 的长随着 点的运动
A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定
如图，在边长为 的菱形 中，， 为 边上的高，将 沿 所在直线翻折得 ， 与 边交于点 ，则 的长度为
A． B． C． D．
如图，矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， 平分 交 于点 ，，则 度数为
A． B． C． D．
如图，正方形 和正方形 中，点 在 上，，， 是 的中点，那么 的长是
A． B． C． D．
如图，在 中，，，， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 为 中点，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题
如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使平行四边形 成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只需添加一个即可）
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ，若 ，，则 的长为 ．
如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 处，点 为折痕 上的任一点，过点 作 ，，垂足分别为 ，，如果 ，，那么 的值为 ．
已知：如图， 为坐标原点，四边形 为矩形，，，点 是 的中点，点 在边 上运动，当 是腰长为 的等腰三角形时，则 点的坐标为 ．
如图，把菱形 沿 折叠，使 点落在 上的 点处，若 ，则 的大小为 ．
如图，正方形 的边长为 ，， 为 上一点，则 的最小值为 ．
三、解答题
如图，在平行四边形 中，，，垂足分别为 ，，且 ．
(1) 求证：平行四边形 是菱形；
(2) 若 ，，求平行四边形 的面积．
如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，过点 作对角线 的垂线交 的延长线于点 ．
(1) 证明：四边形 是平行四边形．
(2) 若 ，，求 的周长．
在四边形 中，，，连接 ， 为对角线 中点，连接 并延长交 于点 ，连接 与 ，，，．
(1) 求证：四边形 为菱形．
(2) 延长 到点 使得 ，连接 ．
①补全图形．
②求证：．
如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ，．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 若 ，，求 的长．
如图 ，正方形 的边长为 ，点 从点 出发，沿射线 方向以 /秒的速度移动，点 从点 出发，向点 以 /秒的速度移动（不到点 ）．设点 ， 同时出发移动 秒．
(1) 在点 ， 移动过程中，连接 ，，，则 的形状是 ，始终保持不变；
(2) 如图 ，连接 ，设 交 移动 ，当 时，求 的长；
(3) 如图 ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ，当 与 的夹角为 ，求 的值．
答案
一、选择题（共12题）
1. A
2. C
3. A
4. B
【解析】由正方形的性质知，，，，
，
，同理，，
当 ，有 ，四边形 是菱形．
5. C
【解析】 ，，， 分别是 ，，， 的中点，
，，，，
，
，
四边形 是菱形，
① ，正确；
②四边形 是菱形，正确；
③HF平分 ，正确；
④当 ，如图所示：， 分别为 ， 中点，
连接 ，延长 到 上一点 ，
，，
，只有 时才可以成立，
而本题 与 很显然不平行，故本小题错误．
综上所述，①②③共 个正确．
6. C
7. C
8. C
9. C
【解析】 在边长为 的菱形 中，
， 为 边上的高，
，由折叠易得 为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又由折叠的性质知，，
．
10. B
【解析】 四边形 是矩形，
，，，，，
，
平分 ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在等腰 中，，
．
11. D
【解析】如图，连接 ，，
正方形 和正方形 中，，，
，，，
，
由勾股定理得：
是 的中点，
．
12. D
【解析】 在 中，，，，
，即 ．
又 于 ， 于 ，
四边形 是矩形，
．
是 的中点，
．
的最小值即为直角三角形 斜边上的高，即等于 ，
的最小值是 ．
二、填空题
13. 答案不唯一，如： 或
14.
【解析】过点 作 于 ， 于 ，
两条纸条宽度相同，
，
，，
四边形 是平行四边形．
．
又 ，
，
四边形 是菱形，
连接 ， 相较于点 ，
，，
，
．
15.
【解析】过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如图所示．
四边形 是矩形，
，．
，，
．
由折叠可得：，，
．
，
．
，，
，
四边形 是矩形，
．
，
．
，
，
．
，
，
即 的值为 ．
16. 或 或
【解析】（） 是等腰三角形的底边时， 就是 的垂直平分线与 的交点，此时 ；
（） 是等腰三角形的一条腰时：
①若点 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点，
在直角 中，，则 的坐标是 ．
②若 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点，
过 作 于点 ，
在直角 中，，
当 在 的左边时，，则 的坐标是 ；
当 在 的右侧时，，则 的坐标是 ．
故 的坐标为： 或 或 ．
17.
【解析】根据菱形的对角相等得 ，
，
，
根据折叠得 ，
，
，
，
．
18.
【解析】作 关于 的对称点为 ，连接 ，交 于 点，再连接 交 于 点，
则 最小值为 长，
，
，
在 中，，
．
三、解答题
19.
(1) 四边形 是平行四边形，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
平行四边形 是菱形．
(2) 如图，连接 交 于点 ．
由（）知四边形 是菱形，，
，，
，，
在 中，，
，
．
20.
(1) 四边形 是菱形，
，，
，，
，即 ，
，
，
四边形 是平行四边形．
(2) 四边形 是菱形，，，
，，，
四边形 是平行四边形，
，，
的周长为 ．
21.
(1) ，
，
为 中点，
，
又 与 是对顶角，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
， 为 中点，
，
又 ，，
，
是直角三角形，
，
平行四边形 为菱形．
(2) ①
②
，，
为 的垂直平分线，，
，
又 由（）知，，
，
，
又 ，
四边形 是等腰梯形，
．
22.
(1) 四边形 是平行四边形，
，
，
又 ， 平分 ，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．
(2) 在矩形 中，，
又 是等腰直角三角形，
，
，，
在 中，
，
．
23.
(1) 等腰直角三角形
(2) 如图 ，过点 作 ，交 于点 ，
则 ．
所以 ，
所以 ．
在 与 中，
所以 ，
所以 ．
因为 中，，，
所以 ，
所以 ．
(3) 如图 ，连接 ，，
设 与 交于 ．
由（）得 ，又 ，
所以 ，
又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
在 中，得 ，
所以 ．
【解析】
(1) 等腰直角三角形．理由如下：
如图 ，
在正方形 中，，．
依题意得：．
在 与 中，
所以 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 是等腰直角三角形．

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