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第八章 实数
单元测试B卷一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　　)
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算术平方根是 D．是的一个平方根
2．的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
3．对于两个实数，定义一种新的运算如下，，如：，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在一列数，，，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个）中，无理数出现的频率为（　　）
A．0.9 B．0.5 C．0.3 D．0.1
5．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
6．在与之间的整数是（ ）
A．，，0，1，2，3 B．，，0，1，2
C．，0，1，2 D．，0，1，2，3
7．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在实数中，无理数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．与最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
11．若x＜0，则等于(　　)
A．x B．2x C．0 D．﹣2x
12．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为，，；
④方程的解为或．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．已知a、b满足则ab=
14．如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算 ；嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中x的值为 ．
16．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为 ；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是 ．
三、解答题
17．求下列各数的立方根：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．把下列各数分别填入相应的横线上．
、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数：______________________________________________．
（2）分数：______________________________________________．
（3）无理数：______________________________________________
20．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
21．已知，且与互为相反数，
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根为的立方根为，求．
22．已知a、b满足b＝+4，求3b﹣2a的平方根．
23．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根
24．用长的篱笆材料在空地上围一个绿化场地，现在有两种设计方案：一种是围成正方形场地，另一种是围成圆形场地，请用代数式表示两种方案围成的场地面积，并比较大小．
25．对于任意一个四位自然数，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，．
(1)判断和是不是“富贵数”；
(2)证明：对任意一个“富贵数”，其都能被整除；
(3)已知某“富贵数”，满足条件（且均为整数）．记，若能被整除，求出所有满足条件的的值．
试卷第1页，共3页
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《第八章 实数单元测试B卷》参考答案：
1．B
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求解.
【详解】解：A、的平方根是，故此选项正确；
B、的平方根是，故此选项不正确；
C、的算术平方根是，故此选项正确；
D、是的一个平方根，故此选项正确；
故选择：B
【点睛】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根及算术平方根的性质.
2．C
【分析】根据相反数和倒数的概念求解即可．
【详解】解：∵的相反数为，的倒数为2021，
∴的相反数的倒数是2021，
故选：C．
【点睛】本题考查相反数和倒数，解答的关键是理解相反数和倒数概念：只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数．
3．C
【分析】根据题干中提供的信息进行计算即可．
【详解】解：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义实数运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的求解方法．
4．B
【分析】本题考查了算术平方根、无理数，频率，根据算术平方根、无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）逐个判断即可得无理数个数，再根据频率频数总数即可求解．熟记无理数的概念是解题关键．
【详解】解：，
则无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），共3个，
∴无理数出现的频率为，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】此题主要考查了无理数的估算．由，，由此即可确定与的取值范围，再根据取值范围即可求出符合条件的整数．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴在与之间的整数是，0，1，2．
故选：C．
7．C
【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案．
【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确；
②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确；
③当时，则，所以③说法不正确；
④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键．
8．B
【详解】∵在实数中，是无理数，其余的是有理数，
∴在上述6个数中无理数有2个.
故选B.
9．C
【分析】估算出的范围，即可得出与最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵和中比较接近的是，
∴比较接近4，即更接近．
故选：C
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．
10．D
【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
11．D
【分析】分别利用平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】∵x＜0，
∴.
故答案为D.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这些定义是本题解题的关键.
12．A
【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可；
【详解】①，，
，故①错误；
②，
，
则或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为，，，故③正确；
④，
，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故选：A
13．-6
【详解】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解：根据题意得，a+3=0，b-2=0，
解得a=-3，b=2，
∴ab=（-3）×2=-6．
故答案为-6．
本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
14．2025
【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质．
根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论．
【详解】解：∵分别是2025的两个平方根，
，
，
，
故答案为：2025．
15． ，
【分析】根据新运算法则：，即可算出的结果；再根据新运算法则：，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：
∵，
∴，
即，
解得：，．
故答案为：，
【点睛】本题考查了实数的新定义运算、解一元二次方程，解本题的关键在理解新定义运算法则．
16．
【分析】本题考查了新定义下的运算、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据“和百数”的定义列出方程，解方程求出结果．
根据“和百数”的定义可列方程，解方程求出的值即可得到这个数；
首先根据是“和百数”，可得：，根据这个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，可知是整数，所以可知，因为和为从到之间的整数，所以可得当，时，，，此时时为满足条件的最大数．
【详解】解：是“和百数”，
则，
，
解得，，
这个数为；
是“和百数”，
则，，
，
，
一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，
是整数，即是整数，
各数位上的数字均不为，
，
，
当，时，，即，
和为从到之间的整数，
不成立，
当，时，，即，
，，
此时为满足条件的数的最大，
满足条件的数为，
故答案为：；．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据立方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解；
（3）根据立方根的定义即可求解；
（4）根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴的立方根是-8；
（2）∵，
∴的立方根是0.2；
（3）∵，
∴的立方根是；
（4）∵，
∴的立方根是．
【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查实数的运算，以及去绝对值和乘方运算．在处理绝对值时，需要先判断括号内的表达式的正负，再去绝对值．同时化简时要注意运算的优先级，避免出错．
（1）直接提取，进行运算即可；
（2）利用乘法分配律展开进行运算即可；
（3）先判断括号内的表达式的正负，再去绝对值，进行算术平方根运算；
（4）先乘方和去绝对值，进行开方运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
19．见解析
【分析】根据实数的分类进行填空即可．
【详解】解：，，
（1）整数：{、0、、、…}
（2）分数：{、、、、…}
（3）无理数：{、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）、…}
【点睛】本题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
20．(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义，准确计算即可．
（1）直接开平方即可；
（2）两边同时除以，然后两边开立方即可．
【详解】（1）解：
或；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和相反数的定义．
（1）利用非负数的性质求得，，再利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义结合相反数的定义求得，再利用算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴的平方根为；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．±4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而得出b的值，代入即可得出答案．
【详解】解：∵和都有意义，
∴a+2≥0且﹣2a﹣4≥0，
解得：a＝﹣2，
故b＝4，
则3b﹣2a＝16，
故3b﹣2a的平方根是：±4．
【点睛】此题考查的是求式子的平方根，掌握二次根式有意义的条件求出a和b的值是解决此题的关键．
23．(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，无理数的估算，化简二次根式：
（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值即可；
（2）根据（1）所求先求出的值，再根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，
∴，
∴；
∵的算术平方根是4，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
24．围成圆形场地时，围成的场地面积较大．
【分析】根据周长求出正方形的边长，再根据面积公式，正方形的面积＝边长×边长求出其面积，然后根据周长求出圆的半径，根据S＝πr2计算其面积，最后比较两种不同图形面积的大小即可．
【详解】解：∵用长的篱笆材料，
∴所围成的正方形的边长为m，
∴其面积为()2=(m2)，
∴所围成的圆的半径为m，
∴其面积为π·()2=π·=(m2)，
∵16>4π，
∴<，
∴围成圆形场地时，围成的场地面积较大．
【点睛】本题考查了列代数式以及实数大小比较，用到的知识点：正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，牢记公式是解题的关键．
25．(1)是“富贵数”，不是“富贵数”
(2)证明见解析
(3)，，
【分析】本题考查了新定义运算，列代数式等知识，解题的关键在于理解题意，正确列出代数式．
（1）根据“富贵数”的定义进行运算判断即可；
（2）设任意一个“富贵数”，的千、百、十、个位上的数字分别为，则，，，根据，进行证明即可；
（3）由题意知， ，，则，由能被整除，，确定值为，根据，分当；；时，分别求解对应的值即可．
【详解】（1）解：满足，
是“富贵数”，
，
不是“富贵数”，
是“富贵数”，不是“富贵数”；
（2）证明：设任意一个“富贵数”，的千、百、十、个位上的数字分别为，则，，
，
，
，其中为整数，
对任意一个“富贵数”，其都能被整除；
（3）解：由题意知， ，，
，
能被整除，，
的值为或（舍去），
，
∵，
当时，；
当时，；
当时，；
所有满足条件的的值分别为，，．
答案第1页，共2页
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