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第十章 二元一次方程组
单元测试A卷一、选择题
1．解为的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
2．小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x+y+z＝1 B．x2＝4 C．x﹣3＝5 D．2x+y＝8
4．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知是方程组的解，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某车间有100名工人生产木材包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面，4块侧面和2块底面正好可以钉成一个包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产成的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．若，则的值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
11．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
二、填空题
13．将方程变形为用含的代数式表示的形式为 ．
14．若关于x，y的方程组的解是，则的值是 ．
15．小明从家到学校的路程为千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行千米．平路每小时行千米，下坡路每小时行千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要分钟，求小明家到学校经过的平路是 千米．
16．若实数，，满足关系式，则的值为
三、解答题
17．解方程组：
18．解下列方程组：
(1)；
(2)
19．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
20．在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 1 3
乙种货车辆数 2 4
累计运货物吨数 8 19
现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
21．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．
(1)求A、B两种航模每件分别多少元？
(2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？
22．已知 是二元一次方程 的一个解．
(1) ；
(2)完成下表，并在所给的直角坐标系上描出表示这些解的点并连接两点．
点
23．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价
24．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
25．根据以下素材，探索解决问题．
素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材二：谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分如下表：
项目 谷物 牛奶 鸡蛋
蛋白质（g） 9.0 3.0 12.0
脂肪（g） 2.1 3.2 8.0
水分（g） 40.2 89.8 74.1
素材三：乐乐餐饮公司有A，B两种午餐套餐（如下表），为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280g，肉类摄入量不少于．
套餐 肉类 蔬菜类 主食
A
B
问题解决：
(1)若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量；
(2)若早餐中要求蛋白质总含量占早餐总质量的，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为，求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量？
(3)为平衡膳食、请你选出一周内符合午餐要求的A，B套餐组合（一周按5天计算）________（填序号）．
①A套餐1天、B套餐4天 ②A套餐2天、B套餐3天
③A套餐3天、B套餐2天 ④A套餐4天、B套餐1天
试卷第1页，共3页
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《第十章 二元一次方程组单元测试A卷》参考答案：
1．A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，将代入各个选项中的二元一次方程组验证等式是否成立即可得到答案，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、将代入，两个方程都成立，符合题意；
B、将代入，其中，不符合题意；
C、将代入，其中，不符合题意；
D、将代入，其中，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查二元一次方程的运用，重点在于理解实际问题中的数量关系，将其转化为数学语言即方程组．
根据买铅笔和笔记本的总花费以及笔记本数量与铅笔数量的关系列出方程组．
【详解】解：买支铅笔花费元，买本笔记本花费元，一共花10元，
；
又∵笔记本数量比铅笔数量的倍少本，
∴，
∴方程组为，
故选：A．
3．D
【分析】直接利用方程的定义，结合未知数以及次数确定方法得出答案．
【详解】解：A．x+y+z＝1是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2＝4是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x﹣3＝5是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．2x+y＝8是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关次数与系数确定方法是解题关键．
4．B
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将代入得到，再加减消去p即可．
【详解】解：由题意得，
由得：，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：
得：，
∴，
故选：．
7．D
【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由，解得，
∴，解得，
∴；
故选D．
8．C
【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答．
【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，，
联立得
解得：，
故选：D．
10．A
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴，
①-②得：，
把代入①得： ，
则，
故选：A
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．B
【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得．
【详解】解：设三个区域原来的面积分别为，
由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了，
，即，
∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，
∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，
，
①，②，
由①得：，
将代入②得：，
，
则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为，
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误；
【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，得：，当，解得：；故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误；
综上所述：①②正确，
故选：A；
13．
【分析】本题考查了解二元一次方程；移项后把y的系数化为1即可．
【详解】解：移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
14．2
【分析】将方程组的解代入求出a，b的值，即可得出答案．
【详解】因为方程组的解是，
所以，
解得，
所以．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米，根据题意列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米，
依题意得，，
解得，
∴小明家到学校经过的平路是千米，
故答案为：．
16．22
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可．
【详解】解：由题意可得，、，即，
∴，即①．
∴，
∴②，③，，
联立①②③得，，
得，，
将代入③，解得，
将，代入①得，，解得：．
故答案为：22．
17．
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可．
【详解】解：，
把②代入①，得：，解得：，
把代入②，得：；
∴方程组的解集为：．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可；
（2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得，即③，
，得，即④，
联立③④，得，
解得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
，得，即，
把代入①，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为．
19．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由可得，再进一步求解即可．
【详解】解：，
，得，即③，
把③代入①，得，
即．
把代入③，得．
则方程组的解是．
20．货主应付运费元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．
设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，列二元一次方程组得到甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，由此得到货物的吨数，由此即可求解．
【详解】解：设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，
∴，解得，，
∴甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，
∵现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，
∴共有（吨）货物，
如果按每吨付运费30元计算，
∴（元），
∴货主应付运费元．
21．(1)每件A型航模元，每件B型航模元
(2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件A型航模元，每件B型航模元．
（2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模，
根据题意得：，
．
又∵m，n均为正整数，
或．
∴张老师共有2种购买方案，
方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；
方案2：购买1件A型航模，3件B型航模．
22．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，点的坐标定义，解题的关键是求出各个点的坐标．
（1）将方程的解代入方程中即可求解；
（2）将或的值代入二元一次方程，求出另一个未知数的值，然后填表，画图即可．
【详解】（1）解： 是二元一次方程 的一个解，
，
，
故答案为：；
（2）当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
完成表格如下：
点
各点在坐标系中的位置如下：
23．(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；
(2)一个“妮妮”的售价为21元
【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，
由题意得：，
解得：，
答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个．
（2）解：设一个“妮妮”的售价为m元，
由题意得：，
解得：，
答：一个“妮妮”的售价为21元．
24．原来的两位数为26．
【分析】可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可．
【详解】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：
，
解得：，
则原两位数为26．
答：原来的两位数为26．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
25．(1)
(2)该早餐中牛奶，谷物
(3)②
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、百分数的应用等内容；
（1）根据比例计算蛋白质总含量即可；
（2）根据营养成分得条件建立二元一次方程组求解即可；
（3）分别计算出每一方案的蔬菜总量和肉类总量，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，（g）；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
（2）解：设该早餐中牛奶，谷物，
由题意得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
（3）解：A套餐每天蔬菜250克，肉类80克，B套餐每天蔬菜300克，肉类50克，
一周按5天计算，
①A套餐1天、B套餐4天，蔬菜总量为克，肉类总量为克；
②A套餐2天、B套餐3天，蔬菜总量为克，肉类总量为克；
③A套餐3天、B套餐2天，蔬菜总量为克，肉类总量为克；
④A套餐4天、B套餐1天，蔬菜总量为克，肉类总量为．
只有A套餐2天、B套餐3天满足蔬菜不少于克，肉类不少于克，
故选：②．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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