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第十章 二元一次方程组
单元测试B卷一、选择题
1．是二元一次方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（ ）公里．
A．5000 B．4000 C．5800 D．4800
4．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+k的解，且，则k的值为（　　）
A．k＝±5 B．k＝± C．k＝±7 D．k
6．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
7．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
8．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　）
①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻吨，小麦吨，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（ ）
；若，、取整数，则或或或；
若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则．
A．个 B．个 C．个 D．个
11．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里．
A．4000 B．3750 C．4250 D．3250
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
13．下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
①② ③ ④．
14．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ．
15．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
16．每个季节都有专属于这个季节的美食，青团无疑是专属于春天的美食．某甜品店销售三种口味青团：芝麻馅、豆沙馅、肉松馅． 且芝麻馅和豆沙馅的成本相同，豆沙馅和肉松馅每盒的成本为4：5，店长发现当芝麻馅、豆沙馅、肉松馅的销量之比为3：2：1时，总利润率为40%；过节促销时每个产品每盒都降价一元销售，当三者销量之比仍然为3：2：1时，总利润率为32%．已知销售义和豆沙馅所得利润为50%，销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%．已知青团的价格均为整数，则三种口味青团各销售一盒可获得利润 元．
三、解答题
17．解方程组：
18．解方程组
(1)；
(2)．
19．解下列方程组：
(1)；
(2)
20．小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下：
小云的研究：由①得，，
把③代入②得，，
化简得
通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解．
小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解．
经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题：
在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解．
请同学们回答他们提出的问题，并说明理由．
解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解
理由如下：
21．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？最省费用是多少？
22．【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下：
（1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程．
（2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题：
①若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数）
23．某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元．
(1)甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)根据需求，商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且购进两种纪念品的总费用不超过5250元，则最多购进甲种纪念品多少件？
24．有、两种型号呼吸机，若购买6台型呼吸机和2台型呼吸机共需12万元．若购买3台型呼吸机和5台型呼吸机共需万元．求、两种型号呼吸机每台分别多少万元？
25．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
试卷第1页，共3页
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《第十章 二元一次方程组单元测试B卷》参考答案：
1．A
【分析】把代入二元一次方程中，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：把代入二元一次方程，
得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，涉及一元一次方程，去括号，合并同类项等知识点．理解方程的解的定义是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解： 共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
，
可列方程组为，
故答案为：A．
3．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，
由题意可得，
两式相加可得，
解得：，
故这对轮胎最多可以行驶公里，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
5．B
【分析】根据方程的解的定义代入方程，可得，即，代入得，得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：将和代入y＝x+k可得，
，即，
代入得，
，即，
解得，
故选B
【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义、求平方根，准确进行转换是解题的关键．
6．C
【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
7．B
【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，
由题意得：15x+10y=240，
∴，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或或，
∴购买方案有7种，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：，
∴当时，该方程组的解也是方程的解，
故①正确，
②解方程组得：，
∵，
则，
解得：，
故②正确，
∵解方程组得：，
∴不论取什么实数，的值始终不变．
故③正确，
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，根据去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，列方程组即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
解方程组，
得到：，
故正确；
由可知，
，
，
又、取整数，
有或或或，
故正确；
对任意有理数都成立，
，
，
，
，
故正确．
正确的有三个．
故选：D ．
11．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：，
两式相加，得，
解得：，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
13．①③##③①
【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解．
【详解】解：二元一次方程组有①③．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键．
14．##
【分析】本题考查了二元一次方程及其解，掌握方程解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键．
把方程的解代入二元一次方程得到关于的一次方程，求解即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
，
，
故答案为：．
15．3
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键．
先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，解得：．
故答案为：3．
16．18
【分析】设芝麻馅、豆沙馅、肉松馅每盒售价分别为，销量分别为，成本分别为，根据题意列出方程，解方程得到，即，，由销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%，且为整数，得到，据此分类讨论由的整数解，解得三种口味青团的售价及成本即可解题．
【详解】解：设芝麻馅、豆沙馅、肉松馅每盒售价分别为，销量分别为，成本分别为，由题意得：
①-②得，
销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%，且为整数，
当时，代入①得
当时，
当时，（舍去）
故芝麻馅、豆沙馅、肉松馅每盒的成本分别是12，12，15，
芝麻馅、豆沙馅、肉松馅每盒的售价分别是16，18，23或15，18，24，
芝麻馅、豆沙馅、肉松馅每盒的利润是：或，
综上所述，三种口味青团各销售一盒可获得利润为18元，
故答案为：18．
【点睛】本题考查方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．
【分析】此题考查了二元一次方程组的求解方法，熟练掌握代入消元法求解二元一次方程组是解题的关键．
根据代入消元法求解，先消去y，求得x，再将x代入即可求解．
【详解】解：
把代入得：，
解得：，
将 代入可得，
方程组的解为：
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法解二元一次方程组．
（1），消去y，得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，再把x的值代入①，求出y即可；
（2）把，消去y，求出x，再把求出的x的值代入①，求出y即可．
【详解】（1）解：，
，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
∴原方程组的解是．
（2）解：，
，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
∴原方程组的解是．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）用代入消元法解方程即可
（2）先利用加减消元消去z，再利用加减消元算出x、y的值，最后带入即可求得z的值．
【详解】（1）解：，
①代入②得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
③①得：④，
②④得：，
将代入②得，
将，代入①中得：，
∴此方程的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握消元法是解题关键．
20．，，，，理由见详解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理得，再结合题干条件，则当时，则这个方程组无解；当时，则这个方程组有无数组解．即可作答．
【详解】解：依题意，，
得，
当的时，则这个方程组无解；
当的时，则这个方程组有无数组解．
故答案为：，，，．
21．(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
(2)安排8辆大车2辆小车，最节省费用，最省费用是1240元．
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；
（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，且因为大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
（2）解：设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10-m）辆，
根据题意可得：4m+1.5（10-m）≥33，
解得：m≥7.2，
为整数，则的最小值是8，
10辆大车1300元，合计1300元，
9辆大车1170元，1辆小车100元，合计1270元，
8辆大车1040元，2辆小车200元，合计1240元，
所以安排8辆大车2辆小车，最节省费用，最省费用是1240元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
22．①D；②
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组，
①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
②将方程变形为，同①的方法即可求解．
【详解】解：①依题意，
解得：
故选：D．
②即
∵的解是
∴
解得：
23．(1)140元；15元
(2)30件
【分析】（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据等量关系购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元
列方程组，然后解方程组即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品件，费用为元，根据不等关系购进两种纪念品的总资金不超过5250元，列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品为件，购进费用为15(100-m)元
根据题意，得140m+≤5250，
解得m≤30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列不等式解应用题，掌握二元一次方程组解应用题方法与步骤，列不等式解应用题方法，抓住等量关系与不等关系，列出方程组与不等式是解题关键．
24．A型号呼吸机每台万元，B型号呼吸机每台万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A型号呼吸机每台x万元，B型号呼吸机每台y万元，根据购买6台型呼吸机和2台型呼吸机共需12万元．若购买3台型呼吸机和5台型呼吸机共需万元建立方程组求解即可．
【详解】解：设A型号呼吸机每台x万元，B型号呼吸机每台y万元，
由题意得，
解得，
答：A型号呼吸机每台万元，B型号呼吸机每台万元．
25．（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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