第2章相交线与平行线 能力提升卷(含解析)2025-2026学年七年级下册数学北师大版

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第2章相交线与平行线 能力提升卷(含解析)2025-2026学年七年级下册数学北师大版

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第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,∠B的同位角是( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
2.如图,如果,那么,其依据可以简单说成( )
A.两直线平行,内错角相等 B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等 D.同位角相等,两直线平行
3.数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示( )
A.同旁内角、同位角、内错角
B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角
D.同位角、内错角、同旁内角
4.下列说法正确的是( )
A.不相交的两条直线叫作平行线
B.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.垂线最短
D.过同一平面内三点中任意两点,只能画出3条直线
5.如图,点B在点A北偏东60°的方向,点C在点B北偏西30°的方向,且,则点C到直线AB的距离是( )
A.6cm B.12cm C.3cm D.24cm
6.如图,一束光线与水平面成60°角照射到地面,现在地面AB上支放着一块平面镜CD,使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2),那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为(  )
A.30° B.45° C.50° D.60°
7.如图,给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是( )

A.内错角相等,两直线平行 B.同旁内角互补,两直线平行
C.同位角相等,两直线平行 D.对顶角相等,两直线平行
8.如图,,则( )
A.度 B.度 C.度 D.度
9.如图,在长方形纸片中,点E,F在边上,点G,H在边上,分别沿,折叠,点B和点C恰好都落在点P处.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图,,的平分线交于点,是上的一点,的平分线交于点,且平分,下列结论:①;②;③与互余的角有2个;④若,则,其中正确的是( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,在不添加任何字母的条件下,写出一个能判定的条件 .

12.光线在不同介质中传播速度不同,从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图,水面与水杯下沿平行,光线从水中射向空气时发生折射,光线变成,点G在射线上,已知,,则的度数为 .
13.如图,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提拉至所需处,若已知支架,可以绕着点自由旋转,当点旋转到如图所示的位置时,,此时为 .
14.若与互余,与互补,且,则 .
15.一副直角三角尺按如图的方式叠放在一起,将含角的三角尺固定不动,含角的三角尺绕顶点顺时针转动,使其一边与平行,则的度数为 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.如图,P是∠AOB的OB边上的一点,点A、O、P都在格点上,在方格纸上按要求画图,并标注相应的字母.
(1)过点P画OB的垂线,交OA于点C;过点P画OA的垂线,垂足为D;并完成填空:
①线段   的长度表示点P到直线OA的距离;
②PC   OC(填“>”、“<”或“=”)
(2)过点A画OB的平行线AE.
17.如图,直线相交于点O,已知、将分成两个角,且.求的度数.

18.已知:如图,,,,求的度数.

19.如图AF 与BD相交于点C,∠B=∠ACB, 且CD平分∠ECF.求证: .
请完成下列推理过程:
证明:∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= _____ ( )
∵∠ACB=∠FCD( )
∴∠ECD=∠ACB( )
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠___( )
∴ ( ).
20.已知:如图:,,请说明的理由.
21.如图,直线分别交直线于点,已知的平分线与的平分线相交于点.
(1)若,求的度数;
(2)若直线,求的度数.
22.如图,,.
(1)求证:;
(2)若,,求的度数.
23.(新考向)如图①,把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上.
(1)填空:______°,______°;
(2)现把三角尺绕点逆时针旋转.
①如图②.当,且点恰好落在边上时,求,的度数(结果用含的式子表示);
②当时,是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺(有四条边)某一边所在的直线垂直?如果存在,请直接写出所有的值和对应的那两条垂线;如果不存在,请说明理由.
试卷第1页,共3页
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《第2章 相交线与平行线 能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2024-2025学年七年级下册数学(北师大版2024)》参考答案:
1.C
【分析】同位角就是:两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角.
【详解】解:∠B与∠3是DE、BC被AB所截而成的同位角,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了同位角,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.同位角的边构成F形,内错角的边构成Z形,同旁内角的边构成U形.
2.D
【分析】根据“同位角相等,两直线平行”即可得.
【详解】解:因为与是一对相等的同位角,得出结论是,
所以其依据可以简单说成同位角相等,两直线平行,
故选:D.
【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.
3.D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角;两个角分别在截线的异侧,且夹在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为内错角;两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即可.
【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
故选:D.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角,并能区别它们.
4.B
【分析】本题主要考查平行线的定义,垂线的性质,垂线段最短,直线,对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义,要善于区分不同概念之间的联系和区别.
根据平行线、垂线的性质,垂线段最短和直线的概念逐一判断可求解.
【详解】解:A、应强调在同一平面内,故错误;
B、同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,故正确;
C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,故错误;
D、过同一平面内三点中任意两点,能画出3条直线或1条直线,故错误;
故选:B.
5.B
【分析】根据方向角的概念及点到直线的距离定义即可求解.
【详解】解:延长AB,如图所示:
∵点B在点A北偏东60°的方向,点C在点B北偏西30°的方向,
∴∠BAE=60°,∠CBF=30°,
又∵,
∴∠DBF=∠BAE=60°,
∴∠DBC=∠DBF+∠CBF=30°+60°=90°,
∴BC⊥AB,
∴点C到直线AB的距离为BC=12cm,
故选B.
【点睛】本题考查了方向角及点到直线的距离、平行线的性质,熟练掌握方向角及点到直线的距离的定义是解题的关键.
6.A
【分析】如图,根据对顶角相等可得出∠2=∠3,再根据两直线平行得出∠1+∠2=60°,再根据∠1=∠2求出∠2的度数,最后由三角形外角的性质得出结论.
【详解】如图所示,
∵∠2与∠3是对顶角
∴∠2=∠3
∵MN//AB
∵∠1+∠3=60°,
∴∠1+∠2=60°,
∵∠1=∠2
∴∠2=30°
∵∠2+∠DCA=60°
∴∠DCA=60°-∠2=60°-30°=30°
故选:A.
【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质,求出∠2=30°是解决此题的关键.
7.C
【分析】如图,根据题意得,则根据同位角相等,两直线平行即可判断.
【详解】解:如图,根据题意得,
所以,根据的是同位角相等,两直线平行;
故选:C.

【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,熟知同位角相等,两直线平行是关键.
8.B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质,分别过点作,可得,根据两直线平行,同旁内角互补,求出,即可解答.
【详解】解:如图,分别过点作,
∵,
∴,
∴,
∴.
故选:B.
9.A
【分析】本题主要考查了平行线的性质,折叠的性质,根据平行线的性质得出,,根据折叠的性质可得出∶,,进而得到,,即可解答.
【详解】解:∵四边形是长方形,
∴,
∴,,
根据折叠的性质可得出:,,
∴.



故选:A
10.B
【分析】由角平分线和平角的定义即可判断①;由角平分线的定义和平行线的性质即可判断②;由余角的定义即可判断③;由,,即可判断④.
【详解】解:∵平分,平分,
∴,
∵,
∴,
∴,故①正确;
∵平分,
∴,

∴,
∵,
∵,
∴,故②正确,
∵,
∴与互余的角有,,,,有4个,故③错误,
∵,,
又∵,
∴,故④正确;
综上分析可知,正确的有3个,故B正确.
故选:B.
【点睛】本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,解题关键是要牢记平行线的三个性质:两直线平行,同位角相等,两直线平行,内错角相等,两直线平行,同旁内角互补.
11.(答案不唯一)
【分析】根据平行线的判定方法解答即可.
【详解】解:添加,则根据同位角相等,两直线平行可得;
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】本题考查了平行线的判定,同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;熟练掌握平行线的判定方法是关键.
12.24°##24度
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差等知识点,掌握平行线的性质成为解题的关键.
先根据平行线的性质可得,然后根据角的和差即可解答.
【详解】解:∵,
∴,
∴.
故答案为:.
13.##44度
【分析】本题考查了平行线的性质,根据平行线的性质即可求解,掌握平行线的性质是解题的关键.
【详解】解:由题意得,,
∴,
故答案为:.
14.##121度
【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算,熟练掌握余角和补角的定义,是解题的关键.根据与互余,,先求出,再根据与互补,求出即可.
【详解】解:∵与互余,,
∴,
∵与互补,
∴.
故答案为:.
15.或或
【分析】本题考查了平行线的性质,角的和差,分三种情况:,,,分别画出图形,利用平行线的性质解答即可求解,运用分类讨论思想解答是解题的关键.
【详解】解:当时,如图,
则,
∵,
∴,
∴;
当时,如图,点落在上,
∴;
当时,如图,
则,
∴;
综上,的度数为或或,
故答案为:或或.
16.(1)图见解析,①PD,②<;(2)见解析
【分析】(1)①根据要求画出图形,再根据点到直线的距离的定义判断即可.
②根据垂线段最短,可得结论.
(2)取格点E,作直线AE即可.
【详解】解:(1)①如图,直线PC,直线PD即为所求作.线段PD的长度表示点P到直线OA的距离.
故答案为:PD.
②根据垂线段最短可知,PC<OC.
故答案为:<.
(2)如图,直线AE即为所求作.
【点睛】本题考查作图-应用与设计,点到直线的距离,平行线的判定等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
17.
【分析】根据题意设,,则得可求得x,进而求得结果.
【详解】解:∵,
∴设,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了对顶角的性质,角的和差关系等知识,根据题意用方程思想求解是关键.
18.
【分析】先根据邻补角互补求出的度数,进而证明,则.
【详解】解:如图,

解:(已知),
(邻补角互补),
又(已知),

∴(同位角相等,两直线平行),
(两直线平行,同位角相等).
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定,邻补角互补,证明是解题的关键.
19.∠FCD;角平分线的定义;对顶角相等;等量代换;ECD;等量代换; 同位角相等,两直线平行
【分析】首先根据角平分线的定义及对顶角的性质,可证得∠ECD∠ACB,再根据∠B=∠ACB,即可证得∠B=∠ECD,最后根据平行线的判定定理即可填得.
【详解】证明:∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等,两直线平行) .
【点睛】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质、平行线的判定定理,结合题意和图形证得∠B=∠ECD是解决本题的关键.
20.见解析
【分析】根据两直线平行内错角相等可得,∠ABC=∠BCD,结合已知又可知∠EBC=∠FCB,所以BE//CF(内错角相等,两直线平行),从而证两角相等.
【详解】解:∵AB//CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行内错角相等),
∵∠ABE=∠DCF(已知),
∴∠EBC=∠FCB,
∴BE//CF(内错角相等,两直线平行),
∴∠E=∠F(两直线平行内错角相等).
【点睛】本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明.
21.(1)
(2)
【分析】()由邻补角性质可得,再根据角平分线的定义即可求解;
()由平行线的性质可得,再根据角平分线的定义可得,最后根据三角形内角和定理即可求解;
本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形内角和定理,掌握以上知识点是解题的关键.
【详解】(1)解:因为,
所以,
因为平分,
所以;
(2)因为,
所以,
因为的平分线与的平分线相交于点,
所以,,
所以,
所以.
22.(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据平行线的性质得到,根据已知可得,从而可以判断;
(2)首先求出,再得到,根据平行线的性质可得.
【详解】(1)解:证明:,




(2),,

,,
∴.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟记性质与判定方法并判断出是解题的关键.
23.(1)120;90
(2)①,;②存在,当时,;当时,,;当时,
【分析】本题考查了角的计算,垂线的定义,主要利用了平行线的性质,直角三角形的性质,读懂题目信息并准确识图是解题的关键.
(1)根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答;
(2)①根据邻补角的定义求出,再根据两直线平行,同位角相等可得,根据两直线平行,同旁内角互补求出,然后根据周角等于计算即可得到;
②结合图形,分、、三条边与直尺垂直讨论求解.
【详解】(1)解:∵,,
∴,;
故答案为,;
(2)解:①如图2.



,,


②当时,,

∴;

当时,
,;

当时,

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答案第1页,共2页

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