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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点
2．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
3．小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
4．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（　　）
A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等
5．莒南县第六中学中拍摄秋季表彰盛典的摄影机架是三角形，这是利用了（ ）

A．对称性 B．稳定性 C．全等性 D．以上都是
6．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中正确的是（　　）
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△ABC中，GC是BC边上的高
C．△GBC中，CF是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BG边上的高
7．如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　）
A．4.8 B．6 C．8 D．12
9．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
10．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，AB=DE，∠B=∠E，使得△ABC≌△DEC，请你添加一个适当的条件 （写出一个即可）．
12．直角三角形的三条高的交点在 ．
13．在中，，则的形状是 ．
14．已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号）
①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段．
15．如图，四边形的对角线、相交于，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状；
(2)化简：．
17．如图，在中，比大，点D，E分别在上，连接，．
(1)求的度数；
(2)判断与之间的位置关系，并说明理由．
18．如图，．试说明：．
19．如图，已知点D在射线上，平分与，求证．小明的证明过程如下：
证明： 平分． ． ，． ．
小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
20．如图，，点C，F在AD上，，试说明：．
21．学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．

22．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．
（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．
（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
23．已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE______CF；并说明理由．
(2)如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：__________．并说明理由．
试卷第1页，共3页
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《第4章 三角形 基础测试卷-【千里马·单元测试卷】2024-2025学年七年级下册数学（北师大版2024）》参考答案：
1．D
【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
3．A
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：A、带①②去，符合判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
4．C
【分析】画出图形，逐项分析即可得；A、题目已知条件不能证明△ACD与△CDB的形状相同；B、又AC≠BC，所以△ACD与△CDB的周长不等；C、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CE是AB上的高，根据直角三角形的性质可以推CD=AD=BD，再根据三角形的面积公式可以得到S△ACD=S△CBD；D、此题可根据直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】如图，A、显然△ACD与△CDB的形状不同，故A不正确；
B、∵AC≠BC，∴△ACD与△CDB的周长不等，故B不正确；
C、在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CE是AB上的高，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，CD=AD=BD，
∴S△ACD=AD CE=BD CE=S△CBD，故C正确；
D、由于AD=CD=BD，所以∠A=∠DCA，∠B=∠DCB，
显然∠A、∠B不一定相等，因此两个三角形不全等，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，利用了三角形的面积公式和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．
5．B
【分析】根据三角形的稳定性进行求解即可
【详解】解：摄影机架采用了三角形结构，这是利用三角形的稳定性，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，解题的关键是掌握相关性质．
6．A
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A选项正确，B选项错误；
∵CF⊥AB于点F，
∴△GBC中，CF是BG边上的高，故C选项错误，D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论．
【详解】解：如图，连接，

∵伞柄平分两条伞骨所成的角，
∴，而，，
∴，
∴，
故选C．
8．B
【分析】连接CD，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，
∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝24，
∴S△BCD＝S△ABC＝24，
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝12，
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF＝S△CDE＝6．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
9．B
【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】
根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．
10．C
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
11．CB=CE(答案不唯一)
【详解】分析: 本题要判定△ABC≌△DEC，已知AB＝DE，∠B＝∠E，具备了一边一角对应相等，利用SAS即可判定两三角形全等了．
详解: 添加条件是：BC＝EC，
在△ABC与△DEC中，
BC＝EC
∠B＝∠E
AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为BC＝EC．
点睛: 此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，关键是用SAS即可判定两三角形全等．
12．直角顶点
【分析】根据三角形高的概念解答即可．
【详解】解：∵直角三角形有两条高与直角边重合，
∴它们的交点是直角顶点．
故答案为：直角顶点．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，注意：锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
13．直角三角形
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据各内角度数之间的关系，求出最大角的度数是解题的关键．在中，由三个内角度数之比及三角形内角和为,可求出的度数，进而可得出是直角三角形、
【详解】解：在中，,
是直角三角形，
故答案为：直角三角形.
14．③①②
【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形．
故答案为：③①②．
15．①②③
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据即可证明③，不能得出结论④．
【详解】解：∵，
∴，，
∵四边形的对角线相交于点O，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
由已知条件不能判断，故④错误．
故答案为：①②③．
16．(1)等边三角形；
(2)a＋b＋c．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到a b c＜0，b c a＜0，c a b＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）∵，
∴a b＝0且b c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a b c＜0，b c a＜0，c a b＜0，
∴，，，
∴原式＝b＋c a＋a＋c b＋a＋b c＝a＋b＋c．
【点睛】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
17．(1)
(2)，见解析
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
（1）由三角形的内角和可求得解；
（2）利用同位角相等，两直线平行即可判定．
【详解】（1）解：设，则．
在中，因为，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）解：．
理由：因为，
所以，
所以．
18．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
先根据角的和差可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
19．小明的证明不正确；正确的证明见解析
【分析】由平分，证明，再由邻补角，推出，根据可证明，即可证明．
【详解】解：小明利用的是，是不能证明与全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
20．见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
首先根据平行线的性质可得，利用等式的性质可得，然后再利用判定即可证明．
【详解】解：因为，
所以．
因为，
所以，即．
在和中，
所以，
所以，
所以．
21．同意，见解析
【分析】证明，推出，即可得到结论．
【详解】解：同意，
理由：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
测得的长就是、两点间的距离．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（1）；（2）或．
【分析】（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得；
（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或．
【详解】解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，
又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点，
，，
即，
又，，，
，
．
（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程
①当时，即：，解得：，
②当时．即：，解得．
故长为或．
【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．
23．（1）=，理由见解析；（2）EF=BE+AF，理由见解析．
【分析】（1）求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
【详解】（1）如图1中，
E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，
（2）EF=BE+AF．
理由是：如图2中，
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定（AAS）和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定（AAS）和性质.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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