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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形
C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形
2．在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各三角形中，正确画出边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法中错误的是( )
A．三角形的三个内角中，最多有一个钝角
B．三角形的三个内角中，至少有两个锐角
C．直角三角形中有两个锐角互余
D．三角形中两个内角和必大于90°
5．从长度分别为2，3，5，6的四根细木棒中，任取三根首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），所围成的三角形最小周长为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．14
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AE＝AF，则可直接用“SAS”判断的是（　　）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDF C．△ADE≌△ADF D．△ABD≌△ABC
7．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1所示，他告诉小明，我在距树底端B点a米的C处，测得，你能测出的高度吗？
小明经过一番思考：“我若将，放倒在操场上不就可以测量了吗！”
于是他在操场上选取了一个合适的地方，画出一个直角三角形，如图2，使，米，．
小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了．
同学甲：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学乙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丙：小明的做法正确，是根据“”得得到的；
同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断．
你认为（ ）

A．甲、乙、丙的判断都正确 B．甲、乙的判断都正确
C．只有乙的判断正确 D．只有丁的判断正确
10．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的4倍，我们把这个三角形叫作“四倍角三角形”，在一个“四倍角三角形”中有一个内角为，那么另外两个角分别为（　　）
A． B． C． D．或
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的依据是 ．

12．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则表示重心的点是 ；
13．如图，，，请添加一个条件 ，使．
14．如图，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB＝15cm，就可得出小口瓶下半部的内径是 ．
15．如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ．

三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．如图，在湖的A，B两点间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点间的距离．请你用学过的数学知识设计一种测量方案．
(1)画出测量图案；
(2)写出测量步骤；
(3)求A，B两点间的距离（用几何语言说明）．
17．如图，在和中，延长交于，，，．求证：．
18．如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
19．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
20．如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
21．《诗经》有云：“蒹葭苍苍，白露为霜．所谓伊人，在水一方．”学校某项目学习小组为了解园林中某片水域的宽度，实地进行了有关测量，记录如下：
项目主题 测量水域的宽度
测量工具 激光笔、测角仪、卷尺、标杆等
测量方案示意图
测量步骤 ①在水域一侧的点处，将激光笔放置在与该水域垂直的方向上，激光笔光线指向了对岸的点处； ②从点出发，沿与垂直的方向走到点处，在点处竖直立起一根标杆后，继续沿之前的方向走同样的距离到达点处； ③再从点出发，沿与垂直的方向走到恰好被标杆遮挡，看不见点的点处
测量数据 ，，
(1)该项目学习小组能据此知道该片水域的宽度吗？如果能，请求出水域的宽度；如果不能，请说明理由；
(2)你认为在实地测量时，可能会遇到哪些困难？
22．如图，的三个内角的角平分线交于点O，过点O作，交于点D，的外角的角平分线交的延长线于点F．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求证：．
23．[核心素养]有一条公共边的两个三角形称为共边三角形，如图①、图②、图③中的与都是共边三角形，以下是共边三角形有关角的性质的探索．

(1)当点与点在公共边异侧时，若．
①如图①，则___________，___________；
②若把“异侧”改为“同侧”，如图②，求的度数；
(2)如图③，若，且点在内，请直接写出之间的数量关系．
试卷第1页，共3页
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《第4章 三角形 能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2024-2025学年七年级下册数学（北师大版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【详解】解：三角形根据边分类如下：
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【详解】解：∵在中，一个锐角等于，
∴另一个锐角的度数为，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了画三角形的高，作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
【详解】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的是边上的高，
故选：D．
4．D
【分析】根据三角形内角和的基本性质对各选项进行判断即可
【详解】A、三角形的三个内角中,至多有一个钝角,正确;
B、三角形的三个内角中，至少有两个锐角,正确;
C、直角三角形中有两个锐角互余,正确:
D、如果钝角为120°，其余两个角之和就不会大于90°,故D错误.
故选D
【点睛】此题考查三角形内角和的基本性质，难度不大
5．C
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，即可求解．
【详解】解：①长度分别为3、5、6，能构成三角形，且周长为3+5+6=14；
②长度分别为2、5、6，能构成三角形，且周长为2+5+6=13；
③长度分别为2、3、6，不能构成三角形；
综上所述，所围成的三角形最小周长为13．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
6．C
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠FAD，由全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△ADE与△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．B
【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
8．C
【详解】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使ED=AD，连接CE，
∵BD=CD，∠CDE=BCDA，DE=AD，
∴△CDE≌△BDA，
∴CE=AB=4，
∵在△ACE中，AC+CE>AE，AC-CE∴6+4>2AD，6-4<2AD，
∴1故选C.
点睛：三角形中，若已知两边长度分别为，则第三边上的中线x的长度满足：.
9．C
【分析】根据即可判断．
【详解】解：在和中，，
∴，故乙的判断正确；
只有，不能由和判断出，故甲、丙的判断都是错误的；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理：①两边夹角对应相等，②两角夹边对应相等，③三边对应相等，④两角及一边对应相等，⑤直角三角形中，直角边和斜边分别对应相等．
10．D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，以及分类讨论的思想方法．通过引入＂四倍角三角形＂的概念，要求学生能够灵活运用三角形的内角和定理，结合分类讨论的思想，解决不同情况下的问题．
【详解】在 中，不妨设 ，
（1）若 ，则 ，
（2）若 ，则 （不合题意），
（3）若 ，则 ， ，
综上所述，另外两个角的度数为 或 ．
故选D．
11．三角形的稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：这样做的依据是三角形的稳定性，如图所示，两根木条的打钉处各自与门框上两个直角顶点形成两个固定的三角形．

故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知三角形稳定性的特点．
12．D
【分析】根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如下图所示
由勾股定理可得：AN=BN= ,BM=CM=
∴N，M分别是AB，BC的中点
∴直线CD经过的AB边上的中线，直线AD经过的BC边上的中线，
∴点D是重心．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解决此题的关键，属于基础题意，比较简单．
13．∠A＝∠D（答案不唯一）
【分析】根据角边角可证得，即可．
【详解】解：可添加∠A＝∠D，理由如下：
∵，
∴∠DCE=∠ACB，
∵，∠A＝∠D，
∴．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．15cm
【分析】由条件可以证明△AOB≌△A′OB′，从而可以得出AB=A′B′，故只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．
【详解】解：∵O为AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O．
在△AOB和△B′OA′中，
，
∴△AOB≌△B′OA′(SAS)．
∴AB=A′B′=15cm．
故答案为：15cm．
【点睛】本题是一道关于全等三角形的运用试题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，在解答时将生活中的实际问题转化为数学问题是解答的关键．
15．5
【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图：连接，过点C作于点H，

∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．
（1）构造全等三角形作图即可；
（2）写过(1)中构造全等三角形的方法即可；
（3）利用全等三角形的性质，得到．
【详解】（1）解：如图．
（2）解∶在湖岸上选一点O，连接并延长到点C使，连接并延长到点D使，连接，则．测量的长即为A，B两点间的距离．
（3）解∶因为，，
所以，
所以．
17．证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由，，可得，证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
18．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等；
（2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，，
．
19．(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
20．（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．
21．(1)该项目学习小组能根据测量数据知道该片水域的宽度，理由见解析
(2)在实地测量时，水域两岸可能不是直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答；
（2）根据在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线，所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差，即可解答．
【详解】（1）解：该项目学习小组能知道该片水域的宽度，
理由：，，
，
在和中，
，
，
，
水域的宽度为；
（2）解：我认为在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线，
所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差．
22．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义可得，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，再结合第（1）问的结果即可证明．
【详解】（1）解：．
∵三角形的三条角平分线交于点O，
，
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了几何证明题，涉及到角平分线的性质和三角形外角的性质等，灵活运用所学知识是关键．
23．(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．
（1）①根据三角形内角和定理可得，进而整理可求出的度数；
②根据三角形内角和定理可得，进而整理可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理有，，由②得再代入即可．
【详解】（1）解：①在中，，，
，
在中，，，
，
故答案为：；
②由①知，，，
，
，
，
；
（2）解：，
由②知，，，
，
，
，
，
即．
答案第1页，共2页
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