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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在“角、直角三角形、等边三角形、正方形”这四个图形中，对称轴条数最多的图形是（ ）
A．角 B．直角三角形 C．等边三角形 D．正方形
3．下列说法正确的是（ ）
A．两个全等的图形成轴对称
B．三角形有三条对称轴
C．角的对称轴是它的角平分线
D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称
4．如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．6
5．如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
6．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）

A． B． C． D．
7．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．一张菱形纸片按如图①、图②所示依次对折后，再按如图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）

A． B．
C． D．
9．如图，在中，，D为边上一动点．分别作点D关于的对称点E，F，连接，则等于（ ）

A． B． C． D．
10．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，…，第2025次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现了人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，宋体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字： ．
12．如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若线段长为，则的周长为 ．
13．如图，在中，若，，，则 ．

14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ．
15．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
(1)画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)在DE上画出点P，使最小
(3)在DE上画出点Q，使最小
17．如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：．
18．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．
19．将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；
(2)如果，求的度数．
20．如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
21．如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．

(1)求证：；
(2)求的度数．
22．如图，是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线于点B，点C，连接．
(1)如图1，当P，Q两点都在射线上时，则线段与的数量关系是 ___________．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线的反向延长线上时，线段是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
23．如图，在等边△ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒．
(1)当t=3秒时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由．
(2)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值．
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
试卷第1页，共3页
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《第5章 图形的轴对称 能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2024-2025学年七年级下册数学（北师大版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形，把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项：是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：不是轴对称图形，故C选项符合题意；
D选项：是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故选： C．
2．D
【分析】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．分别找出各图形的对称轴条数，进行判断即可．
【详解】解：在“角、直角三角形、等边三角形、正方形”这四个图形中，直角三角形不是轴对称图形，是轴对称图形的有角、等边三角形、正方形；角有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有四条对称轴，
所以对称轴最多的是：正方形．
故选D．
3．D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．两个全等的图形不一定成轴对称，故不正确；
B．等边三角形有三条对称轴，故不正确；
C．角的对称轴是它的角平分线所在的直线，故不正确；
D．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，等边三角形，全等三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
4．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由等边可得，根据可得，利用三线合一性质可得，代入数据即可解答．
【详解】解：等边，
，，
，
，
，
又，
．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
如图，
∴货物中转站可以供选择的地址有4处．
故选：D．
6．A
【分析】由作图可得：是的角平分线，是线段的垂直平分线，过作于，证明，结合，可得，故A符合题意，B不符合题意；由作图可得，E，D是随着作图需要可以变化位置的，可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：是的角平分线，是线段的垂直平分线，过作于，

∵，平分，，
∴，
∵，
∴，故A符合题意，B不符合题意；
由作图可得，E，D是随着作图需要可以变化位置的，
∴，不能确定其大小，故C，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是角平分线的作图与性质，线段的垂直平分线的作图，垂线段最短，理解题意是解本题的关键．
7．B
【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查轴对称图形的性质，折痕当做对称轴，即可求解．
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后圆形小孔应该靠近直角三角形较大锐角，且关于中间折线对称，故只有C选项符合，
故选C．
9．C
【分析】本题考查了对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，由对称得，由三角形内角和求得即可求解．
【详解】解：如图，连接，

由对称得，
∴
；
∵，，
∴，
∴．
故选C．
10．C
【分析】此题考查了图形类规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵，
∴当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹，
∴第2025次碰到矩形的边时的点为图中的点C；
故选：C．
11．甲，由（答案不唯一）
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：轴对称图形的汉字，如甲，由（答案不唯一）．
故答案为：甲，由（答案不唯一）．
12．12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】解：∵P点关于的对称点，
的周长为： cm
故答案为：12．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任一点到两个对应点之间的距离相等．
13．
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
14．或
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或．
故答案为或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
15．．
【详解】试题解析：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A==80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1==40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形外角的性质.
16．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解.
【分析】（1）由题意从三角形各顶点向DE引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接即可；
（2）由题意直接根据两点之间线段最短，连接B1C即可；
（3）根据题意利用轴对称图形的性质可作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求．
【详解】解：如图所示：
（1）△A1B1C1即为所求．
（2）连接B1C与直线DE的交点P即为所求．
（3）作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求．
【点睛】本题主要考查有关轴对称--最短路线的问题，其中的作图步骤，是此类问题的基础，需熟练掌握，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意掌握作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．
17．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由三线合一得垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：因为，D是的中点，
所以，即垂直平分．
因为点E在上，
所以．
18．见解析
【分析】首先证明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得结论．
【详解】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质得出，就有的周长而求出结论；
（2）设，则，由可以求出，由直角三角形的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得： ，．
∵的周长，
∴的周长．
∵，，
∴的周长；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，三角形的周长公式的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一：
（1）证明，得到，三线合一即可得出平分；
（2）平行线的性质，求出的度数，等边对等角，得到的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明；
（2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴，
∴ 在中，，
即．
22．(1)
(2)存在，见解析
【分析】（1）连接，由垂直平分，推出，由平分，即可推出，利用证明即可解决问题；
（2）存在．连接，同理利用证明即可解决问题．
【详解】（1）解：．
理由：如图1中，连接．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：存在，
理由：如图2中，连接．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．(1)AP⊥BC，证明见解析
(2)9秒或15秒
(3)秒或秒
【分析】(1)根据等边三角形的性质即可得到结论；
(2)根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(3)根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】（1）解：当t=3秒时，CP=3×1=3(cm)，
∵在等边△ABC中，AB=6cm，
∴BC=AB=6cm，
∴此时，P为BC的中点，
∴AP为等边△ABC的中线，
∴AP⊥BC；
（2）解：∵由题意得：，
∴当P为AB中点时，满足题意，
此时，P点运动路程为：BC＋BP=6＋3=9(cm)，
∴P点运动时间为：9÷1=9(秒)；
当P为AC中点时，满足题意，
此时，P点运动路程为：BC＋AB＋AP=6＋6＋3=15(cm)，
∴P点运动的时间为：15÷1=15(秒)，
∴综上，t的值为9秒或15秒；
（3）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为1.5厘米/秒，
∴由题意得：当时，点P在BC上，点Q在AC上，
∴PC＋CQ=t＋1.5t=2.5tcm，
，
∴2.5t=9，
解得：，符合；
当时，点Q在AB上，点P在BC上，
，，
．
，解得：，
∴不符合，舍去；
当时，P、Q都在AB上，不符合题意；
当时，点Q在BC上，点P在AB上，
∴BP=(t－6)cm，BQ=(1.5t－12)cm，
，，
解得：，符合，
∴综上，符合条件的t的值为：秒或秒．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题的解决方法，用时间t表示出各时段的线段的长度列出方程求解是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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