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高中数学人教A版（2019）第一章
1.1集合的概念
一、单选题
1．（2021高三上·青岛期中）方程 的实数根所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·平和月考）下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
4．（2023·安徽模拟）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·辽阳期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，若 在 上的最大值为 ，则 的取值个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021高一上·大同期中）已知函数 是定义在R上的函数，且 是奇函数， 是偶函数， ，记 ，若对于任意的 ，都有 ，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·朝阳月考）在平面直角坐标系 中，设 为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从 中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 ， ．所有点 构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为 ；所有点 构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为 ．给出以下命题：
① 的最大值为 ：② 的取值范围是 ；③ 恒等于0．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、多选题
8．（2023高一上·岳阳期末）下列函数中满足：，当时，都有的有（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·湖南月考）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（　　）
A．
B．，且，恒有
C．函数在上的值域为
D．若，恒有的一个充分不必要条件是
三、填空题
10．（2024·越秀模拟）若，且，则　 　．
11．（2020高一上·沧县期中）若集合 ， ， ，则 的最大值为　 　．
12．（2020·南通模拟）已知 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为　 　.
13．（2017高一上·汪清期末）若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则a=　 　．
14．已知函数f（x）=（2﹣x）ex﹣ax﹣a，若不等式f（x）＞0恰好存在两个正整数解，则实数a的取值范围是　 　．
15．（2025高一上·南山期末）设与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，若，则的值为　 　．
16．（2025高一下·聊城月考）已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题
17．已知集合S满足：若，则.请解答下列问题：
（1）若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
（2）证明：若，则.
（3）在集合S中，元素能否只有一个 若能，把它求出来；若不能，请说明理由.
18．（2025高一上·兰州期末）已知．
（1）化简；
（2）若，且为第三象限角，求的值．
19．（2019高一上·宜丰月考）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足条件f（0）=0和f（x+2）-f（x）=4x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-2tx+2，当x∈[1，+∞）时，求函数g（x）的最小值．
20．（2020高二上·惠州期末）已知函数 的定义域为 ，关于 的不等式 （其中 ）的解集为 ．
（1）求 ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
21．（2024高一上·萍乡期中）已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（2）当取得最小值时，求直线l的方程．
22．（2020·如皋模拟）已知函数 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① ，②周期 ，③过点 ，④ .
（1）试写出能确定 解析式的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求 的解析式；
（2）求（1）中函数 的图象与直线 交点间的最短距离.
23．（2019高二上·浙江月考）记 ，设
（1）若 ，求 的单调递增区间；
（2）若对任意的 ，不等式 成立，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
3．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
5．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
7．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；函数的最大（小）值
8．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的性质
9．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
10．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
11．【答案】4
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
13．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
14．【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
15．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
16．【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，循环.
所以集合S中另外的两个元素为和.
（2）解：由题意，可知且，
由，得，
即，
所以若，则.
（3）解：集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下：令，
即.
因为，所以此方程无实数解，所以.
因此集合S中不可能只有一个元素.
【知识点】元素与集合的关系
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
19．【答案】解：（Ⅰ）由题意得 = = ，
即 ，
∴ .
（Ⅱ） ，
对称轴方程为： ，
①当 时，即 = =
②当 时，即 = = ，
综上， = .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
20．【答案】（1）解：由题意得 ， 解得 ∴定义域
（2）解：不等式 得 ，且因 ，解得
即 ，
由已知有 是 的真子集∴ 或 得
所以实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法
21．【答案】（1）存在，3x＋4y－12＝0
（2）3x＋3y－10＝0
【知识点】同角三角函数间的基本关系
22．【答案】（1）解：当选①③④时，
因为 ，所以 ，
因为过点 ， ，
所以 ，
两式相减得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 的解析式为 .
当选②③④时，
因为周期 ，所以 ，以下过程与选①③④相同..
（2）解：函数 的图像与直线 交点为 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 ， 或 ，
所以（1）中函数 的图像与直线 交点间的最短距离为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数模型的简单应用
23．【答案】（1）解：由题意，
∴ 的单调递增区间为
（2）解：①当 时， 在 上单调递减，∴ ，得 （舍去）；
②当 时， ， 在 上递减，在 上递增，
∴ ，得 ；
③当 时， ，∴ ，无解．
综上，
【知识点】函数的单调性及单调区间
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