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高中数学人教A版（2019）必修第一册第一章1.2集合间的基本关系
一、单选题
1．（2024高一上·西青期中）如果，那么正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·淳安期末）已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
3．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M N，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]
4．（2018高一上·浙江期中）用d（A）表示集合A中的元素个数，若集合A={0，1}，B={x|（x2-ax）（x2-ax+1）=0}，且|d（A）-d（B）|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d（M）=（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
5．（2024高一上·吉林期中）设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
6．下列集合中，是空集的是（　　）
A．{x|x2+3=3} B．{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}
C．{x|﹣x2≥0} D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}
7．若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（　　）
A．Q∪P B．P∩Q C．P∪CRQ D．Q∪CRP
二、多选题
8．（2024高三上·南通月考）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·单县模拟）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．则（　　）
A．若，则对应集合X有5个元素
B．若，，，则
C．若，，则
D．
三、填空题
10．（2025高一上·普陀期末）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的真子集；③集合表示同一集合；④集合，集合，则，其中正确的命题的序号是　 　．
11．（2024高一上·南海月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是　 　
12．已知集合 ， ，则A　 　B．
13．（2024高一上·天津市期中）已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 　 　.
14．（2024高一上·江苏月考）已知函数，集合，，若，则的取值范围为　 　.
15．（2024高一上·上海市期中）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为　 　.
16．（2024高三上·青岛月考）已知集合（，），若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为　 　.
四、解答题
17．高一（1）班学生期中考试表明：①36人的数学成绩不低于80分；②20人的物理成绩不低于80分；③15人的数学、物理成绩均不低于80分，则高一（1）班至少有多少人？
18．（2019高一上·金华月考）集合 ，集合 ，若 ，求实数 的值．
19．已知集合A={x|x2+4ax﹣4a+3=0}，B={x|x2+2ax﹣2a=0}，C={x|x2+（a﹣1）x+a2=0}．
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围；
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，求a的取值范围．
20．已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．
21．（2023高二上·朝阳开学考）设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，
设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
22．（2019高一上·杭州期中）已知集合 ， ，若 ，求 的取值范围．
23．（2024高一上·丰台期中）给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质.
（1）设集合，，请直接写出，是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求的值；
（3）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
2．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
3．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题
4．【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题
5．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
6．【答案】D
【知识点】空集
7．【答案】A
【知识点】子集与真子集
8．【答案】A,B,D
【知识点】集合中元素的个数问题
9．【答案】B,C
【知识点】集合中元素的个数问题
10．【答案】④
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；空集
11．【答案】
【知识点】集合间关系的判断
12．【答案】=
【知识点】集合相等
13．【答案】1
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断
14．【答案】
【知识点】集合相等
15．【答案】
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题
16．【答案】
【知识点】子集与真子集
17．【答案】解：设不数学不低于80的人为集合A，
集合A中元素个数用card（A）表示，
则card（A）=36；
同理，设物理不低于80的人为集合B，
card（B）=20，则card（A∩B）=15
则card（A∪B）
=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）
=36+20﹣15=41，
∴至少有41人
【知识点】集合中元素的个数问题
18．【答案】解： ，
因为 ，故 ，所以 ，
整理得到 ，解得 或 .
【知识点】元素与集合的关系；集合相等
19．【答案】解：对于A，若为空集，则（4a）2﹣4（3﹣4a）＜0，解得①；
对于B，若为空集，则（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＜﹣1或③，
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得，所以A，B，C中至少有一个非空的a范围是或a≥﹣1．
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有或或解这三个不等式组得﹣1≤a＜0或或，结合（1）中三个集合全空的a范围，取它们的并集得：
a的范围是（﹣2，﹣1）∪[﹣1，0）∪（）．
【知识点】空集
20．【答案】解：由M=N及集合中元素的互异性，得 ①或 ②
解①得： 或 ，
解②得： ，
当 时，违背了集合中元素的互异性，所以舍去，
故a、b的值为 或
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
21．【答案】（1）解：，，，．
（2）解：设使得，
则，
所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，，，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，，，
元素个数为2的非空子集有，，．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，，，
则，．
所以n的最小值为4．
（3）解：由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第j列之和．
因为是数表第i行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，，，，
，，时，，
．所以的最小值为3．
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合中元素的个数问题；空集
22．【答案】解：因为 ，所以得到 ，
当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题
23．【答案】（1）解：因为中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合M，所以具有性质；
中的，，所以集合N不具有性质。
所以集合具有性质，集合不具有性质。
（2）解：记，易知，
令，则，
因为具有性质，所以，
不妨设，则，且，
则，且，且，
①当时，显然，，
所以，解得， 此时，具有性质；
②当时，则，，解得，
此时，与题意不符（舍），
综上，，。
（3）解：记，易知，，
因为具有性质，所以，
不妨设，，此时，
若，显然，所以，
因为具有性质，所以，，
因为且与互为相反数，所以，中一正一负，所以中有0，有正数也有负数，
下面对中元素的正负个数进行讨论：
（1）当中有1个负数，4个正数时，
不妨设，，
因为均大于，所以均不属于，
因为具有性质，所以，
因为，所以不可能同时等于，
所以此时不具有性质，舍去；
（2）当中有4个负数，1个正数时，
不妨设时，，
因为均小于，
所以均不属于，
因为具有性质，所以，
因为，所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（3）当中有2个负数，3个正数时，
不妨设时，，，
因为，所以，
因为具有性质，所以，
因为，所以，
即，①
因为均大于，
所以均不属于，
因为具有性质，所以，，
因为，，所以，，，
故，，，，
所以，，，②
由①②，得，
所以。
（4）当中有3个负数，2个正数时，
由（3）可得，
由此，当恰有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，，
，。
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
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