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1.1.2 空间向量基本定理
——高二数学人教B版（2019）选择性必修一同步课时作业
1.已知空间向量，，则下列向量可以与，构成空间向量的一组基底的是( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
4.在下列命题中正确的是( )
A.已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B.若，所在的直线是异面直线，则，不共面
C.若三个向量，，两两共面，则，，共面
D.已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
5.已知是单位正交基底，且，则的坐标为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，若点M是侧面的中心，则在基下的坐标为( )
A. B. C. D.
7.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.已知，，则在上的投影向量为
B.已知两个向量，且，则
C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
8.（多选）给出下列命题，其中正确的有( )
A.空间中任意两个向量一定共面
B.若空间向量，，则与的夹角为钝角
C.若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线
D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
9.（多选）下列说法正确的是( )
A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B.单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直
C.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆
D.若空间向量，，满足，，则
10.在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，，，，，试用基底表示向量________.
11.若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数___________.
12.已知，，，均为空间向量，其中，，，若从，，，这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为__________.
13.在平行六面体中，，，，，.M为的中点，若，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
14.如图，在空间四边形ABCD中，，，，E为BC的中点，F在CD上，且.
(1)以，，为基底，表示；
(2)，，，，，求.
15.如图，在空间四边形中，点D为的中点，，设，，.
(1)试用向量，，表示向量，；
(2)若，，求的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误，
对于B，由于与，不共面，符合基底要求，故B正确，
对于C，，故，，共面，不符合要求，C错误，
对于D，，故，，共面，不符合要求，D错误，故选：B
2.答案：A
解析：对于A选项，不存在，使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.
3.答案：D
解析：设，又，
，解得，即.所以向量在基底下的斜坐标为.故选：D.
4.答案：D
解析：对于A，若，，三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用，，表示，所以A错误，
对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当，所在直线是异面直线时，，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量，，两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D正确，故选：D
5.答案：A
解析：根据空间向量坐标的定义知的坐标为.故选：A
6.答案：D
解析：连接（图略），由题可知，M为的中点，
，在基下的坐标为.故选：D
7.答案：BC
解析：对于A，因为，，所以，，所以在上的投影向量为，故A错误；
对于B，因为，所以因为，，所以，
解得，所以，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，则，，不共面，假设，，共面，则，显然无解，所以，，不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；
对于D，，但，则P，A，B，C四点不共面，故D错误.故选：BC.
8.答案：ACD
解析：对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C正确；
对于D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数x，y使得成立，所以，，一定不共面，则也是空间的一个基底，故D正确；故选：ACD.
9.答案：ABD
解析：对于A：若A，B，C，D是空间任意四点，则有，A选项正确；
对于B：单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B选项正确；
对于C，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C选项错误；
对于D，根据向量相等的定义，空间向量，，满足，，则明显成立，故D选项正确.故选：ABD.
10.答案：
解析：因为，所以，又，
所以故答案为：
11.答案：-1
解析：由，，不能构成空间的一个基底，则存在，使得，即，所以，解得.故答案为：-1.
12.答案：（答案不唯一）
解析：∵，，，∴，∴，，
∴可以构成空间的单位正交基底，设，则，∵从，，，这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，∴与，，中的任意两个向量均不共面，根据平面向量基本定理可得x，y，z均不为零，∴向量的坐标可以为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.
13.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得，
故.
(2)由条件得，，，，，，
故
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
(2)由(1)得，
15.答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
.
(2)因为，，，
所以，
所以，
，
所以

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